Positiv selvtilstøtende matrise

En symmetrisk reell matrise (eller: selvtilsluttet ekte ) sies å være positiv eller positiv semidefinit hvis den assosierte symmetriske bilineære formen er positiv . Mer generelt, et kompleks kvadratisk matrise sies å være positiv dersom det tilhørende sesquilinear formen er (Hermitisk) positiv , matrisen da nødvendigvis å være selv sluttet .

Den virkelige saken

Definisjoner

Vi sier at en ekte symmetrisk matrise M i rekkefølge n er positiv (eller positiv semidefinit) hvis den tilfredsstiller en av følgende ekvivalente egenskaper:

M er et positivt element (en) av den virkelige C * -algebra M n, n (ℝ) , dvs. at spekteret er inkludert i ℝ + .
Den symmetriske bilineære formen assosiert med M er positiv: for en hvilken som helst kolonnematrise x med n reelle elementer, x T Mx ≥ 0 (hvor x T betegner den transponerte matrisen til x ).
De egenverdiene av M (som nødvendigvis er reelle) er positive eller null.
Det er en reell matrise N slik at M = N T N .
Alle de viktigste mindreårige i M er positive eller null: for en hvilken som helst ikke-delaktig del I av {1,…, n }, er determinanten for submatrisen M I, I av M (dannet av dens elementer med radindekser og kolonner i I ) er positiv eller null.

Det sies å være positivt bestemt hvis det også er inverterbart .

Bevis for ekvivalenser

1. og 3. er tydelig ekvivalente.

Egenskap 2. betyr at M definerer på ℝ n en positiv kvadratisk form , eiendom 3. at på, n , sett på som euklidisk rom med det skalære produktet , definerer M en positiv autoadjoint endomorfisme . Ekvivalensen mellom 2. og 3. kommer fra denne doble tolkningen, i lys av den gaussiske reduksjonen og spektralsetningen . Siden enhver ekte symmetrisk matrise er diagonaliserbar (jf. Spektral nedbrytning ), eksisterer det en ortogonal matrise P (hvis kolonner er egenvektorer av M ) og en diagonal matrise D (hvis diagonale koeffisienter er egenverdiene til M ) slik at M = PDP T . $\ langle x, y \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {x_ {i} y_ {i}}$

Hvis 2. er sant, vel vitende om at egenverdiene til en reell symmetrisk matrise er reelle, ser vi ved å bruke 2. på egenvektorene at 3. er sant.

Siden P -1 = P T , matrisen M er også kongruente med diagonalmatrisen D . Så omvendt, hvis 3. er sant, så er 2. sant.

Hvis 4. er sant ( M = N T N ), så er 2. sant. $\ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, x ^ {{\ mathsf {T}}} Mx = \ left (Nx \ right) ^ {{\ mathsf {T}}} \ left (Nx \ høyre) = \ | Nx \ | ^ {2} \ geqslant 0$

Omvendt, hvis 2. (derfor 3.) er sant, kan vi utlede en reell matrise N slik at M = N T N (matrisen N er ikke unik; det er hvis vi pålegger at den enten er positiv, jf. § “ Properties” nedenfor ): det er tilstrekkelig å definere matrisen Δ som den diagonal matrise hvis diagonale uttrykk er kvadratroten til de av D , og for å sette N = Δ P T fordi da N T N = M . Hvis vi ønsker en positiv symmetrisk matrise, bare spør heller N = P Δ P T .

Hvis 4. (eller 2., eller 3.) er sant for M, er 4. også sant for de store mindre undermatrisene til M , derfor er 5. sant.

Omvendt, antar 5. sann og bevise 2 .. For en hvilken som helst p fra 1 til n , er alle de viktigste mindreårige av den p -te dominerende hovedundermatrise M p er, ved antagelse, positive eller null således (i henhold til ekspresjonen av de karakteristiske polynom som en funksjon av disse ) det (ε I p + M p )> 0 for alle ε> 0. I følge Sylvesters kriterium er ε I n + M derfor (bestemt) positiv, slik at den verifiserer 2. Vi utleder at M også ved å få ε til å gå mot 0.

I resten av denne artikkelen vil vi betegne settet med kvadratiske matriser av ordensymmetrisk med reelle koeffisienter og den delen av dannet av positive matriser. $\ mathcal {S} _n$ $ikke$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$

Eksempler

La være en reell funksjon av virkelige variabler, definert på et åpent av , differensierbart i et nabolag av et punkt av dette åpne og to ganger differensierbart på dette punktet. Hvis den når et lokalt minimum kl. , Er dens hessiske matrise positiv y ( nødvendig tilstand av ubegrenset annenordens optimalitet ). $f$ $ikke$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $x$ $f$ $x$
Gitt en tilfeldig vektor med verdier der hver komponent innrømmer en varians, definerer vi dens kovariansmatrise med $(T_ {1}, \ prikker, T_ {n})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ Gamma = {\ Big (} {\ mathrm {cov}} (T_ {i}, T_ {j}) {\ Big)} \ i {\ mathcal {S}} _ {n}.$ Dette er positivt. Faktisk for enhver kolonnematrise med bemerkede virkelige elementer : $x$ $ikke$ $x_ {1}, \ prikker, x_ {n}$ $x ^ {{\ mathsf {T}}} \ Gamma x = {\ mathrm {Var}} (x_ {1} \, T_ {1} + \ cdots + x_ {n} \, T_ {n}) \ geqslant 0.$ Det er positivt definitivt hvis og bare hvis den eneste lineære kombinasjonen som er sikker, er den som alle koeffisientene er null på. $T_ {1}, \ prikker, T_ {n}$
Enhver Gram-matrise er positiv selvforbundet.
La være en ekte symmetrisk matrise hvis diagonale termer er positive og definert av $PÅ$ $B$ $B _ {{ij}} = {\ frac {A _ {{ij}}} {{\ sqrt {A _ {{ii}} A _ {{jj}}}}}.$ Da er positivt halvdefinert hvis og bare hvis det er. Vi tenker spesielt på sammenhengen . $PÅ$ $B$
Å redusere noen ekstra diagonale termer for en positiv bestemt matrise er en operasjon som ikke nødvendigvis bevarer positivitet (selv om radiene til Gerschgorin-platene reduseres). I moteksemplet nedenfor er det positivt klart mens det ikke er: $PÅ$ $B$ $A = {\ begynn {pmatrix} 10 & 9 & 7 \\ 9 & 10 & 9 \\ 7 & 9 & 10 \\\ slutt {pmatrix}}, B = {\ begynn {pmatrix} 10 & 8 & 2 \ \ 8 & 10 & 8 \\ 2 & 8 & 10 \\\ slutt {pmatrix}}.$

Eiendommer

Enhver positiv symmetrisk ekte matrise innrømmer en unik positiv symmetrisk ekte kvadratrot . Mer formelt: ${\ displaystyle \ forall M \ i {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+} \ quad \ eksisterer N \ i {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+} \ quad N ^ { 2} = M.}$ Dette resultatet (den " eksistens " -delen som demonstreres i passasjen til § "Definisjoner" ovenfor ) generaliserer til n- th røtter .
Hvis to symmetriske reelle matriser M og N er positive og pendler , er MN positive symmetriske.
Ved karakterisering 2. av § “Definisjoner”, er et skjæringspunkt mellom halvrom (i uendelig antall). For karakteriseringen 5. er et semi-algebraisk sett (en) av base ( dvs. d. Karakterisert av et endelig antall polynomiske ulikheter). ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$
Karakteriseringen av § “Definisjoner” viser at det er en lukket konveks kjegle som ikke er tom for . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$
I det euklidiske rommet (utstyrt med det vanlige skalære produktet: som betyr sporet ) skrives den normale kjeglen og tangenten til in ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ langle A, B \ rangle: = \ operatorname {tr} (AB)}$ $\ operatorname {tr}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle A \ i {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {N} _ {{\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}} {(A)} = (- {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}) \ cap (A ^ {\ bot}) \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {T} _ {{\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}} {(A)} = \ {D \ i {\ mathcal {S}} _ {n} \ mid \ forall v \ in \ ker A \; \; v ^ {\! \ Top \!} Dv \ geqslant 0 \}.}$

Den komplekse saken

Vi utvider de tidligere egenskapene og definisjonene til komplekse matriser.

La M være en kvadratmatrise av orden n . Det sies å være positivt hvis det tilfredsstiller en av følgende ekvivalente egenskaper:

M er et positivt element i komplekset C * -algebra M n, n (ℂ).
M er selvforbundet (eller: Hermitian ) og alle dens egenverdier er positive eller null.
Den sesquilineære formen assosiert med M er (Hermitian) positiv : for en hvilken som helst kolonnematrise z med n komplekse elementer, er z * Mz en positiv real (der z * betegner den vedlagte matrisen til z ).
Det er en kompleks matrise N slik at M = N * N .

Det sies å være positivt bestemt hvis det også er inverterbart.

Merknader

Matrisen skal ikke være selvforbundet a priori : denne egenskapen er en konsekvens av hver av karakteriseringene, spesielt - i motsetning til det virkelige tilfellet - av positiviteten til den tilknyttede formen.
På rommet til Hermitian-matriser av orden n , kalles den delvise ordenen assosiert med de konvekse koniske positive matriser rekkefølgen til Lowner (en) (oppkalt etter Charles Loewner ).

Enhver positiv (Hermitian) matrise innrømmer en unik positiv (Hermitian) kvadratrot .

Merknader og referanser

Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra artikkelen med tittelen “ Positive matrix ” (se listen over forfattere ) .

Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Alt-i-ett-matematikk for lisens 2: komplett kurs, eksempler og korrigerte øvelser , Dunod ,2014( les online ) , s. 134.
Positiviteten til de dominerende store mindreårige er ikke nok, noe matrisen viser . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$
(in) Roger A. Horn og Charles R. Johnson, Matrix Analysis , Cambridge University Press ,2013, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1985) ( lest på nettet ) , s. 439, viser at 5. ⇒ 3.
Eksemplet på konstante funksjoner viser at det ikke nødvendigvis er positivt bestemt
For fullstendig bevis, se § “Positiv matrise” i artikkelen om kvadratrøtter til en matrise .