Bildemåling

I måling teori , bilde måling er en måling som er definert på en målbar plass og overføres til en annen målbar plass via en målbar funksjon .

Definisjon

Vi gir oss to målbare mellomrom og en målbar applikasjon og et mål . Bildemålet på $μ$ av $f$ er et mål over betegnet og definert av: $\ scriptstyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})$ $\ scriptstyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})$ $\ scriptstyle f \ colon X_ {1} \ rightarrow X_ {2}$ $\ scriptstyle \ mu \ kolon \ Sigma _ {1} \ rightarrow [0, + \ infty]$ $\ scriptstyle \ Sigma _ {2}$ $\ scriptstyle f _ {\ ast} \ mu$

(f _ {\ ast} \ mu) (B) = \ mu \ left (f ^ {{- 1}} (B) \ right) {\ text {for all}} B \ in \ Sigma _ {2} .

Denne definisjonen gjelder også for komplekse signerte tiltak .

Variabel endringsformel

Formelen for å endre variablene er en av de viktigste egenskaper: En funksjon g på X 2 er integrerbar i forhold til bilde tiltaket $f * μ$ hvis og bare hvis den sammensatte funksjonen $g\circ f$ er integrerbar i forhold til det målet $μ$ . I dette tilfellet sammenfaller de to integralene:

\ int _ {{X_ {2}}} g ~ {\ mathrm d} (f _ {\ ast} \ mu) = \ int _ {{X_ {1}}} g \ circ f ~ {\ mathrm d} \ mu.

Eksempler og applikasjoner

Det naturlige Lebesgue-målet på enhetssirkelen S 1 , sett her som en delmengde av det komplekse planet ℂ, er ikke definert som bildemålet til Lebesgue-målet $λ$ på realene ℝ, men av dets begrensning, som vi også vil merke $λ$ , i intervallet $[0, 2π [$ . La $f$ $: [0, 2π [\to$ $S$ $1 være$ den naturlige bindingen definert av $f$ $($ $t$ $) = e$ $i$ $t$ . Lebesgue-tiltaket på S 1 er da bildemålet $f$ $*$ $λ$ . Denne målingen $f$ $*$ $λ$ kan også kalles en buelengde tiltak eller en vinkelmåling , da $f$ $*$ $λ$ -measure av buen S 1 er nettopp lengden av buen.
Den foregående eksempel strekker seg til definere Lebesgue mål på den n -dimensjonale torusen T n . Lebesgue-tiltaket på T n er, opp til renormalisering, Haar-tiltaket på den tilkoblede kompakte Lie-gruppen T n .
En tilfeldig variabel er et målbart kart mellom et sannsynlighetsrom og ℝ. Den sannsynlighet mål på en tilfeldig variabel er bildet mål på ℙ av den tilfeldige variable X : $\ scriptstyle (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P})$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} = X _ {\ ast} \ mathbb {P} = \ mathbb {P} (X ^ {- 1} (\ cdot)).}$
Tenk på den målbare funksjonen $f: X \to X$ og sammensetningen av $f$ i seg selv $n$ ganger: $f ^ {{(n)}} = \ understøtte {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {{n {\ text {times}}}} \ kolon X \ til X.$ Denne iterative funksjonen danner et dynamisk system . Det er ofte nyttig å finne et mål $μ$ på X som kartet $f$ forlater uendret, eller et uforanderlig mål (en) , dvs. som tilfredsstiller: $f * μ = μ$ .

Henvisning

(no) VI Bogachev , Measure Theory , Springer,2007, avsnitt 3.6-3.7