Black-Scholes-modell

Den Black-Scholes-modellen brukes til å utpeke to svært like begreper:

det Black-Scholes -modellen eller Black-Scholes-Merton -modellen som er en matematisk modell av markedet for et lager , der prisen på aksjen er en stokastisk prosess i kontinuerlig tid ; i motsetning til " Cox Ross-Rubinstein-modellen " som følger en stokastisk prosess i diskret tid (jf. stokastiske prosesser er tilfeldige funksjoner av tiden);
den delvise differensialligningen Black-Scholes er ligningen tilfreds med prisen på et derivat av en primitiv.

Robert C. Merton var den første til å publisere en artikkel som utviklet det matematiske aspektet av en opsjonsprisingsmodell , og siterte Fischer Black og Myron Scholes . Disse, publisert i 1973 , er basert på utviklingen av teoretikere som Louis Bachelier eller Paul Samuelson . Det grunnleggende bidraget fra Black and Scholes-modellen er å knytte den implisitte prisen på opsjonen til prisendringene på den underliggende eiendelen.

Robert Merton og Myron Scholes mottok i 1997 den prisen på Bank of Sweden i økonomisk vitenskap til minne om Alfred Nobel for sitt arbeid. Fischer Black, som døde i 1995 og derfor ikke var kvalifisert, ble sitert som en bidragsyter.

Antakelser og modell

Black-Scholes-modellen er basert på en rekke forhold:

prisen på den underliggende eiendelen S t følger en geometrisk Brownian-bevegelse med konstant volatilitet og konstant drift : $\ sigma$ $\ mu$

{\ displaystyle Pr [{\ frac {\ Delta p_ {t} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}} <{\ frac {VaR_ {q} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}}] = 1-q}

er en Wiener-prosess ,

{\ displaystyle \ phi ^ {-} 1 (1-q)}

er en Wiener-prosess ,

{\ displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p_ {t})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

er en Wiener-prosess ,

{\ displaystyle VaR_ {q} = - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

er en Wiener-prosess ,

{\ displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p _ {\ textbf {P}})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p _ {\ textbf {P}}) }

er en Wiener-prosess ,

{\ displaystyle ES_ {p} = E [X | X> VaR_ {p}]}

er en Wiener-prosess ,

{\ displaystyle ES_ {p} = {\ frac {1} {p}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {p} VaR (_ {\ theta}) (X) \, \ mathrm {d} \ theta }

er en Wiener-prosess ;

det er ingen voldgiftsmuligheter;
tid er en kontinuerlig funksjon ;
det er mulig å gjøre kortsalg ;
det er ingen transaksjonskostnader;
det er en risikofri , kjent på forhånd og konstant rente;
alle underliggende er helt delelig (for eksempel kan du kjøpe 1/100 th av en aksje);
i tilfelle en aksje gir den ikke utbytte mellom det tidspunktet opsjonen blir verdsatt og utløpet.

Hver av disse hypotesene er nødvendig for beviset på formelen.

Når alle disse hypotesene er oppfylt, snakker vi da om en Black-Scholes-modell, eller vi sier at vi er i Black-Scholes-saken. Modellen tilsvarer ikke antagelsene til finansmarkedene. Men generaliseringen av bruken av denne modellen refererer til forestillingen om "rasjonell etterligning" (eller, akkurat, i dette tilfellet "irrasjonell") som forårsaker fenomenet "selvoppfyllende" beslutningstaking. For eksempel når hyrden til en flokk hopper i vannet og sauene hans følger ham, kan vi forutse og konkludere med at flokken og hyrden blir våte. Sluttresultatet er relevant, men den første hypotesen er mindre.

Black-Scholes formel

Black-Scholes-formelen gjør det mulig å beregne den teoretiske verdien av et europeisk alternativ fra følgende fem data:

${\ mathcal {}} S_ {0}$ nåværende verdi av den underliggende aksjen
${\ mathcal {}} T$ tiden som er igjen til opsjonen før den utløper (uttrykt i år),
${\ mathcal {}} K$ utøvelsesprisen som er satt av opsjonen,
${\ mathcal {}} r$ den risikofrie renten ,
${\ mathcal {}} \ sigma$ den volatiliteten i aksjekursen.

Hvis de første fire dataene er åpenbare, er eiendelens volatilitet vanskelig å vurdere. To analytikere kan ha en annen oppfatning om verdien av å velge. ${\ mathcal {}} \ sigma$ ${\ mathcal {}} \ sigma$

Den teoretiske prisen på en kjøpsopsjon , som gir rett, men ikke forpliktelse til å kjøpe eiendelen S til verdien K på datoen T, er preget av utbyttet : $({\ mathcal {S}} _ {{T}} - K) ^ {{+}} = \ max (S _ {{T}} - K; 0)$

Det er gitt av forventningen under nøytral risikosannsynlighet for oppdatert terminalutbetaling .

${\ displaystyle C = \ mathbb {E} ({\ text {Payoff}} \ times e ^ {- rT}) ~}$ ,

enten Black-Scholes-formelen:

${\ displaystyle C (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = S_ {0} {\ mathcal {N}} (d_ {1}) - Ke ^ {- rT} {\ mathcal {N} } (d_ {2})}$

Tilsvarende er den teoretiske prisen på en salgsopsjon til utbetaling gitt av: $(K - {\ mathcal {S}} _ {{T}}) ^ {{+}} = \ max (K-S _ {{T}}; 0)$

${\ displaystyle P (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = - S_ {0} {\ mathcal {N}} (- d_ {1}) + Ke ^ {- rT} {\ mathcal { N}} (- d_ {2})}$

med

${\ mathcal {N}}$ fordelingsfunksjonen til den reduserte sentrerte normalloven , dvs. ${\ mathcal {N}} \ venstre (0,1 \ høyre)$ ${\ mathcal {N}} (x) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{x}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {{- {\ frac {1} {2}} u ^ {2}}} fra$
$d_ {1} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ venstre [\ ln \ venstre ({\ frac {S_ {0}} {K}} \ høyre) + \ venstre (r + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ høyre) T \ høyre]$
$d_ {2} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {T}}$

Vi kan også bruke formelen i omvendt retning. Gitt hvilken opsjonspris som er oppgitt i markedene, hvilken verdi må velges for at Black-Scholes-formelen skal gi akkurat den prisen? Vi oppnår dermed den underforståtte volatiliteten som er av stor praktisk og teoretisk interesse. ${\ mathcal {}} \ sigma$

Demonstrasjon

Prisberegningen for et europeisk utbetalingsalternativ er basert på formelen som vi aksepterer her (forventningen tas under sannsynlighetsrisikoenøytral). $h$ $C = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} h]$

Prisen på en europeisk samtale med modenhet T og streik K skrives:

${\ begin {align} C & = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} (S_ {T} -K) {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K }}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{-rT}} {\ mathbb {E}} [{1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb { E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{- rT}} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) \ end {justert}}$

Disse to siste vilkårene kan beregnes eksplisitt ved hjelp av prisuttrykket til det underliggende. Vi vil derfor begynne med å etablere dette uttrykket. Den er plassert under risiko nøytral sannsynlighet, hvilket betyr at driften er (eller r-a 'a' er utbyttet rate) .Vi har: . $r$ ${\ frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} = rdt + \ sigma dW_ {t}$

Vi anser de nye prosessene som: . Itô- formelen brukt på gir: $(Z_ {t}) _ {{0 \ leq t \ leq T}}$ $Z_ {t} = ln (S_ {t})$ $Z$

${\ begin {align} dZ_ {t} & = {\ frac {\ partial ln} {\ partial x}} (S_ {t}) dS_ {t} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} ln} {\ partial ^ {2} x}} (S_ {t}) d <S, S> _ {t} \\ & = (r - {\ frac {\ sigma ^ { 2}} {2}}) dt + \ sigma dW_ {t} \ end {justert}}$

Ved å integrere den siste linjen kommer vi til , deretter ved å bruke det faktum at vi oppnår ønsket formel: $Z_ {t} = Z_ {0} + (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}$ $S_ {t} = e ^ {{Z_ {t}}}$

$S_ {t} = S_ {0} e ^ {{(r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}}}$

Vi har implisitt brukt her det faktum at prosessen er strengt positiv. Vi kan bevise dette resultatet ved å vise at prosessen som er funnet er den unike løsningen på den stokastiske differensiallikningen . For dette kan vi bruke Itôs formel på prosessen og vise at den er konstant. $S$ $dS_ {t} = rS_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t}$ $\ left (S_ {t} e ^ {{- (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t- \ sigma W_ {t}}} \ høyre) _ {t}$

Merk at den tilfeldige variabelen følger en normalfordeling . $W_t$ ${\ mathcal {N}} (0, t)$

Vi har : ${\ begin {align} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} \ left ((r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2} }) T + \ sigma W_ {T}> ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) \ høyre) \\ & = {\ mathbb {P}} \ venstre ({\ tfrac {1} {{\ sqrt {T}}}} W_ {T}> {\ frac {ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) - (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ right) \\ & = {\ mathbb {P}} (G> -d_ {2}) \ end {aligned}}$

Hvor og . $G \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)$ $d_ {2} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ left [ln ({\ tfrac {S_ {0}} {K}}) + (r - {\ frac { \ sigma ^ {2}} {2}}) T \ høyre]$

Som og har samme lov da: $G$ $-G$

${\ begin {align} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} (- G> -d_ {2}) \\ & = {\ mathbb {P} } (G <d_ {2}) \\ & = N (d_ {2}) \ end {align}}$

Hvor er fordelingsfunksjonen til en redusert sentrert gaussisk. $IKKE(.)$

La oss nå se på beregningen av første periode. Ved å følge de samme forrige trinnene, kan man enkelt se at:

${\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] = S_ {0} {\ mathbb {E}} \ venstre [e ^ { {(r - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T + \ sigma {\ sqrt {T}} G}} {1 \! \! 1} _ {{G> -d2} } \ høyre]$

Derfor,

${\ begin {align} e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] & = S_ { 0} \ int _ {{{\ mathbb {R}}}} {1 \! \! 1} _ {{x> -d_ {2}}} e ^ {{{\ tfrac {-x ^ {2} } {2}} + \ sigma {\ sqrt {T}} x - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}} T}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi} }}} \\\\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {1} {2}} (x - \ sigma {\ sqrt {T}}) ^ {2}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2} - \ sigma {\ sqrt {T}}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{d_ {1}}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} N (d_ {1}) \ ende {justert}}$

Til slutt, ved å kombinere de to siste resultatene, får vi: $C = S_ {0} N (d_ {1}) - Ke ^ {{- rT}} N (d_ {2})$

Anmeldelser

Matematikeren Benoît Mandelbrot gjennom sine mange arbeider om emnet setter spørsmålstegn ved gyldigheten av Harry Markowitzs teori og dens konsekvenser CAPM , utviklet av William F. Sharpe og Black-Scholes-formelen. Han mener at disse teoriene, uansett hvor vakre de måtte fremstå og så enkle i bruken, er helt ute av kontakt med virkeligheten i finansmarkedene. Den ødeleggende kritikken av Roll (in) utgjør som tautologisk eller umulig å observere markedsporteføljen. Konklusjonene av modellen har blitt stilt spørsmålstegn ved mange ganger under de forskjellige aksjemarkedskrasjene. De har ført til policyer for risikostyring som kan kvalifiseres som uansvarlig fra finansinstitusjoner.

En av kritikkene som kommer ofte er det faktum at disse teoriene er basert på normalfordelingen (Gauss lov eller "bjelkekurve"), som i stor grad undervurderer "usannsynlige" hendelser som kriser eller krasjer da. At de til slutt er mye mindre. sjelden enn denne loven gir. Det er imidlertid enkelt å rette opp dette problemet ved å ta hensyn til en tilpasset volatilitet (se smil av volatilitet ). Et annet problem: forutsetningene som bygger på disse teoriene er veldig urealistiske (spesielt rasjonaliteten til investorer ...).

Til tross for all denne kritikken, forblir Black and Scholes-modellen referanseindeksen blant fagpersoner og akademikere på grunn av sin (relativt) enkle og praktiske natur.

Løsning av ligningen

Kontinuerlig retur

Proporsjonal avkastning

Greske bokstaver

De greske bokstavene som brukes av Black-Scholes-modellen er som følger:

For samtalen og putten

$\ Delta = {\ frac {\ partial P} {\ partial S}}$
$\ Gamma = {\ frac {\ partial ^ {2} P} {\ partial S ^ {2}}}$
$\ Theta = - {\ frac {\ partial P} {\ partial T}}$
$\ rho = {\ frac {\ partial P} {\ partial R}}$
${\ mathcal {V}} = {\ frac {\ partial P} {\ partial V}}$

Utledningsformler

Historisk og økonomisk betydning

Den ble utgitt i 1973 , og var en utvidelse av Paul Samuelson og Robert Merton . Den franske matematikeren Louis Bachelier innviet studiet av emnet i 1900 . Den grunnleggende intuisjonen til Black og Scholes var å knytte den implisitte prisen på opsjonen til endringer i prisen på den underliggende eiendelen. Oppdagelsen deres hadde raskt en betydelig innflytelse, og variasjoner av modellen deres brukes i alle segmenter av finansmarkedene. Så tidlig som i 1977 ble Oldrich Vasicek inspirert av den til å finne den moderne teorien om renten .

Black and Scholes-modellen i praksis

Den grunnleggende oppgaven med Black and Scholes-modellen var at prisen på kjøpsopsjonen er implisitt angitt hvis den underliggende handles i markedene.

Bruken av Black-Scholes-modellen og -formelen er svært utbredt i finansmarkedene, i en slik grad at noen tilbud er gitt i volatilitet snarere enn i absolutt pris. Faktisk er de andre parametrene i modellen (løpetid, sluttkurs, risikofri rente og pris på den underliggende) lett observerbare på markedene.

Black and Scholes 'modell modellerer imidlertid ikke nøyaktig den virkelige verden. Erfaringen viser at volatiliteten i virkeligheten avhenger av innløsningsprisen og løpetiden.

I praksis er volatilitetsoverflaten (den underforståtte volatiliteten som en funksjon av innløsningsprisen og løpetiden) ikke flat. Ofte for en gitt løpetid, har implisitt volatilitet mot innløsningskurs en form for smil (kalt volatilitet smil ). På penger, er det implisitt volatilitet lavere og lenger bort fra penger, jo høyere den er. Vi bemerker også at smilet ofte ikke er symmetrisk på aksjemarkedet: høyere på put- siden enn på call- siden . Dette er fordi markedsaktørene er mer følsomme for nedadgående risiko enn opprisiko i aksjen.

For en gitt innløsningspris kalles forskjellen mellom den observerte underforståtte volatiliteten og den på pengene som skjevheten .

Volatilitetsoverflaten til en underliggende endres også over tid. Markedsdeltakere vurderer det hele tiden, og endrer forventningen om sannsynligheten for en innløsningspris og løpetid for at en opsjon havner i valutaen.

Modellutvidelser

Ovennevnte formel er ikke unntatt fra kritikk: den tillater ikke støtte ikke-konstante renter og volatiliteter eller å prisere europeiske opsjoner med utbytte .

Derfor, før krasjet i 1987, kunne vi observere at opsjonene på S & P500-aksjene hadde en konstant underforstått volatilitet, men siden denne krasjen viser den implisitte volatiliteten et "smil".

Imidlertid kan modellen enkelt modifiseres for å støtte ikke-konstante hastigheter og flyktigheter.

Derfor kritiserer mange vitenskapelige publikasjoner i fagfellevurderte tidsskrifter for finansmatematikk denne formelen og foreslår å utvide den, korrigere den, forklare forskjellene eller foreslå alternative løsninger.

Det kan også utvides for europeiske opsjoner som betaler utbytte. For opsjoner på indekser (som FTSE 100 eller CAC 40 ) der hvert av selskapene som inngår i beregningen kan betale utbytte en eller to ganger i året, er det rimelig å anta at utbyttet utbetales uten avbrudd.

Betaling av utbytte over en periode bemerkes da: $\ venstre [t, t + \ delta t \ høyre]$

q \, S_ {t} \, dt

for en konstant. Under denne formuleringen kan den gratis arbitrageprisen i henhold til Black-Scholes-modellen vises som: $q$

C (S, T) = e ^ {{- qT}} S_ {0} N (d_ {1}) - e ^ {{- rT}} KN (d_ {2}) \,

P (S, T) = e ^ {{- rT}} KN (-d_ {2}) - e ^ {{- qT}} S_ {0} N (-d_ {1}) \,

eller nå:

F = e ^ {{(rq) T}} S_ {0} \,

er prisen endret på forhånd som oppstår i vilkår og . Denne formelen er generelt kjent som Black-Scholes-Merton . $d_1$ $d_2$

Den samme formelen brukes til å prise opsjoner på valutakurser, bortsett fra at den nå tar rollen som den utenlandske risikofrie renten og den umiddelbare valutakursen. Dette er modellen til Garman-Kohlhagen (1983). $q$ $S$

Det er også mulig å utvide Black-Scholes-rammeverket til opsjoner på instrumenter som gir diskret utbytte. Dette er nyttig når alternativet er basert på enkle handlinger.

En typisk modell bør anta at en andel av aksjekursen (prisen) blir utbetalt som utbytte på forhåndsbestemte datoer. $\ delta$ $T_ {1}, T_ {2} ...$

Prisen på aksjene er deretter modellert av: $S_ {t} = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (t)}} e ^ {{\ sigma W_ {t} + \ mu t}}$

hvor er antall utbytter som ble utbetalt i tide . $n (t)$ $t$

Prisen på en kjøpsopsjon på slike aksjer er igjen:

C (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})) \,

P (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (KN (-d_ {2}) - FN (-d_ {1})) \,

eller nå:

F = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (T)}} e ^ {{rT}} \,

er forhåndskursen på utbyttebetalende aksjer.

Det er vanskeligere å vurdere amerikanske alternativer. Et eksempel på en modell er Whaley som gir en eksplisitt analytisk formel; Cox Ross og Rubinstein-modellen simulerer hendelsene på prisen på det underliggende (hopp, utbytte, etc.) ved hjelp av et binomialtreet der hver node er assosiert med en sannsynlighet.

Til slutt bør det nevnes at utviklingen når det gjelder utvidelse av modellen har gått i følgende fire retninger:

lokal volatilitetsmodell. Volatilitet blir en deterministisk funksjon av det underliggende og av tiden. Dette er tilfelle med den såkalte Dupire-modellen;
stokastisk volatilitetsmodell. Volatilitet blir en stokastisk funksjon med diffusjon. Dette er tilfelle med den såkalte Heston- eller Pitterbarg-modellen;
hoppmodell;
modell som kombinerer tilnærmingene nevnt ovenfor (for eksempel modell med lokal volatilitet og hopp, modell med lokal og stokastisk volatilitet, etc.).

Se også

Relaterte artikler

Finansiell matematikk
Valgsvurdering
Binomialmodell , en annen modell som ofte brukes til å evaluere alternativer
Alternativ (økonomi) , ring , put , straddle , warrant
Virkelig opsjonsanalyse

Bibliografi

Benoît Mandelbrot . Fraktaler, sjanse og økonomi , Flammarion , 1959, 1997.
Benoît Mandelbrot . A Fractal Approach to Markets , Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, Odile Jacob editions , 2005.
Nicole El Karoui , risikodekning i finansmarkedene (file.pdf)

Merknader og referanser

(in) " Velkommen til en ikke-Black-Scholes-verden " ( Arkiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Hva skal jeg gjøre? ) [PDF] .