Ringmorfisme

En morphism av ringene er påført mellom to ringer (enhet) A og B , i samsvar med de lover av disse ringene, og sender den nøytrale multiplikative Ved multiplikativ nøytral B .

Definisjon

En ringmorfisme er et kart f mellom to (enhets) ringer A og B som tilfredsstiller følgende tre egenskaper:

For alle a , b i A :

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( a ∙ b ) = f ( a ) ∙ f ( b ) f (1 A ) = 1 B .

Eksempler

Inkluderingen av ringen av relative heltall Z i ringen av reelle tall R (dvs. kartet i mellom disse to settene definert av i ( n ) = n ) er en injiserende morfisme;
For n strengt positivt heltall, er projeksjonen av Z på ringen Z / n Z en kursform.
Den komplekse bøyningen er en bijektiv morfisme av kommutasjonsfeltet C med komplekse tall på seg selv, kalt automorfisme av C ;
Gitt en ring av funksjoner, for eksempel ring av kontinuerlige funksjoner fra R til R og et punkt c i startsettet, er kartet som til en funksjon f assosierer verdien f ( c ) en morfisme, sa evalueringsmorfismen ;
På samme måte, A som en kommutativ ring og c et element av A , er kartet som assosieres med et polynom P av ringen A [ X ] dens verdi P ( c ) en morfisme fra A [ X ] til A ;
Hvis P er en inverterbar matrise i ringen av firkantede matriser med koeffisienter i en ring R , er kartet som assosieres med en firkantmatrise M, matrisen PMP –1 en automorfisme av ringen av matriser.
Hvis R er en ring og E en modul (til venstre) på R , vurderer vi for hver a av R applikasjonen f a fra E til E definert av f a ( x ) = ax , som er en endomorfisme av den abeliske gruppen E . Anvendelsen som har tilknyttede f har da en morphism av ringen ringene A til ringen fra gruppen endomorphism av E .

På den annen side er følgende eksempler ikke morfismer:

Nullkartlegging (unntatt hvis ankomstringen er den trivielle ringen ): selv om den bevarer de to operasjonene, og som sådan er en morfisme av pseudo-ringer , verifiserer den ikke tilstanden knyttet til nøytrale multiplikative.
I samme ånd, anvendelse av Z til ringen av matriser (2,2) med heltallige koeffisienter som assosierer matrisen med et heltall n er bevarer de to operasjoner, men ikke en morphism for ønske om å sende det hele tall 1 på enheten matrise . $\ begin {pmatrix} n & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}$

Egenskaper knyttet til en enkelt operasjon

En ringmorfisme er spesielt en gruppemorfisme mellom de underliggende additivgruppene. Vi gjenoppretter derfor noen kjente egenskaper for disse generelt:

f (0 A ) = 0 B
for alle a av A , f (- a ) = - f ( a )
vi kan introdusere morfismens kjerne , definert som det gjensidige bildet av {0 B } og betegnet Ker ( f ). En morfisme f er injeksjonsdyktig hvis og bare hvis kjernen er redusert til {0 A }.

På samme måte, f som en morfisme av multiplikative monoider , utleder vi at hvis a er inverterbar i A , er f ( a ) også og:

f ( a –1 ) = [ f ( a )] –1 .

Sammensetning av morfismer

Den identidetsmapping av en hvilken som helst ring A er en morphism.
Den sammensatte av to morphisms er en morphism.

Ringen utgjør dermed en kategori , forsynt med morfismer .

Dessuten, hvis en ringmorfisme er bijektiv, er dens gjensidige også en morfisme.

Vi kaller isomorfisme av ringer en bijektiv morfisme ( automorfisme når avgangs- og ankomstringene er de samme). To ringer mellom hvilke det er en isomorfisme sies å være isomorfe .

Stikk og forlengelser

Når vi har en injiserende morfisme mellom to ringer, dvs. i fra A til S , er det vanlig å glemme skillet mellom settet A og dets bilde A 1 = i ( A ). Vi identifisere de isomorfe strukturene A og A- 1 til det punkt av frivillig å glemme skillet mellom disse to sett, og for å bruke notasjoner som ikke skiller dem.

Hvis vi for eksempel konstruerer komplekse tall som par av realer, er det komplekse tallet 3 per definisjon paret av real (3.0) og er ikke lik det reelle 3. Å bruke notasjoner som skiller dem ville være veldig upraktisk., Og vi "identifiserer "dem. Dermed står det at R er en "subsett" av C, slik at det strengt tatt er det bare et sett med en injektiv morphism til C .

I slike sammenhenger er det ofte at A er nedsenket i S , og S er en forlengelse av A .

Morfismer, underringer, idealer

Ringmorfismer oppfører seg med underringer som gruppemorfismer med undergrupper:

Den omvendte bilde av en subring av B med en morphism er en subring av A .
Den direkte bilde av en subring A ved en morphism er en subring av B .

Med idealer, som med fremtredende undergrupper, kan vi bare konkludere i en retning:

Bildet inverse av en ideell venstre (hhv. Høyre resp. Tosidige) til B ved en morphism er en ideell venstre (hhv. Høyre resp. To-sidig) av A . Dette er spesielt tilfelle med kjernen , det gjensidige bildet av det null bilaterale idealet.
Når det gjelder det direkte bildet av et ideal av A , kan vi bare konkludere med at det er et ideal (av samme art) av underringen f ( A ).

Kommutative feltmorfier

En kommutativ kroppsmorfisme er per definisjon en ringmorfisme mellom to kommutative kropper .

Enhver kroppsmorfisme er injiserende, dens kjerne er et ideal , og en kropp som ikke har andre idealer enn null-idealet og seg selv. Det er derfor en isomorfisme hvis og bare hvis den er surjective.

Alt dette er generalisert til venstre kropp .

Morfismer fra et kategorisynspunkt

I kategorien (enhetlige) ringer er monomorfismene nøyaktig de injiserende morfismene. På den annen side, hvis en surjectiv morfisme er en epimorfisme (som i enhver underkategori av kategorien sett ), er det motsatte ikke sant: injeksjonen av Z i Q er en ikke-surjective epimorfisme.

Merknader og referanser

Hvis f er adjektiv , innebærer den andre eiendommen den tredje: jfr. Morfisme av monoider .
Denne utstillingen av embeddings og utvidelser er hentet fra David M. Burtons konsultasjon , A first course in rings and ideals , Addison Wesley,1970, s. 31 og Paul Cohn , Algebra , t. 1, Wiley ,1974( ISBN 0-471-16430-5 ), s. 137-138
For hele seksjonen "Morfismer, underringer, idealer", se DM Burton, op. cit. , s. 27-28 (denne boken antar ikke enhetsringer, men det endrer ikke noe for disse uttalelsene)
(in) Louis Rowen , Ring Theory , vol. 1, Academic Press ,1988( ISBN 0-12-599841-4 ), s. 15. Eksemplet på inkludering av Z i Q er for Rowen "tragedien" i kategorien ringer.