I sammenheng med generell algebra eller universell algebra er en monomorfisme rett og slett en injiserende morfisme .
I det mer generelle rammeverket for kategoriteori er en monomorfisme en venstreforenklet morfisme , dvs. en morfisme slik at for enhver Z ,
eller til og med: applikasjonen
Monomorfismer er generaliseringen til kategorier av injeksjonsfunksjoner ; i visse kategorier sammenfaller dessuten de to begrepene. Men monomorfismer forblir mer generelle gjenstander (se eksemplet nedenfor ).
Det dobbelte av en monomorfisme er en epimorfisme (det vil si at en monomorfisme i kategorien C er en epimorfisme i den dobbelte kategorien C op ).
De etablerte begrepene monomorfisme og epimorfisme ble opprinnelig introdusert av Bourbaki , som brukte monomorfisme som en stenografi for å betegne injeksjonsfunksjoner. Senere ga kategoriteoretikere disse to begrepene definisjonen ovenfor, noe som forårsaket en viss misforståelse i tilfeller der den nye forestillingen ikke falt sammen med den gamle. Saunders Mac Lane forsøkte å rette opp situasjonen ved å gjenopprette "monomorfisme" til sin tidligere setistiske betydning, og kalle den kategoriske forestillingen "monisk morfisme", men hans valg kom ikke i bruk.
Enhver morfisme av en konkret kategori hvis underliggende applikasjon er injiserende, er en monomorfisme.
I kategorien sett er det omvendte sant, og derfor er monomorfismene nøyaktig de injiserende morfismene. Det omvendte gjelder også i de fleste vanlige kategorier på grunn av eksistensen av gratis gjenstander på en generator. Spesielt gjelder dette for enhver konkret abelsk kategori , og også for kategorien av grupper og for ringer .
På den annen side, i andre konkrete kategorier, er monomorfismene ikke nødvendigvis injiserende. For eksempel, i den kategori Div av Abelsk grupper delbare og morphisms mellom dem, er det ikke monomorphisms injektiv: vurdere å bruke kvotienten f : Q → Q / Z . Det er ikke injiserende; det er imidlertid en monomorfisme av denne kategorien. Faktisk, hvis f ∘ g 1 = f ∘ g 2 for to morfismer g 1 , g 2 : G → Q hvor G er en delbar abelgruppe, så f ∘ h = 0 hvor h = g 1 - g 2 (som har betydning i en additivkategori ). Dette betyr at den ( delbare ) gruppen im ( h ) er inkludert i Z så trivielt , med andre ord: h = 0 , derfor g 1 = g 2 .
Det er også begrepene vanlig monomorfisme, sterk monomorfisme og ekstrem monomorfisme. En vanlig monomorfisme utjevner et par morfismer. En ekstrem monomorfisme er en monomorfisme som bare kan trivielt vurderes ved hjelp av en epimorfisme: mer presist, hvis m = g ∘ e med e en epimorfisme, så er e en isomorfisme . En sterk monomorfisme tilfredsstiller en viss løfteegenskap med hensyn til kommutative firkanter som antyder en epimorfisme .
(en) Jaap van Oosten, “ Basic Category Theory ” , om University of Utrecht ,2002
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">