Geometrisk gjennomsnitt

I matematikk er det geometriske gjennomsnittet en type middel .

Elementær definisjon

Det geometriske gjennomsnittet av to positive tall $a$ og $b$ er det positive tallet $c$ slik at:

{\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = {\ frac {c} {b}}}

Geometrisk tolkning

Geometrisk er dette tallet $c$ siden av et kvadrat hvis areal er det samme som for rektangelet til sidene $a$ og $b$ , siden i dette tilfellet:

c ^ {2} = ab.

Vi kan direkte beregne det geometriske gjennomsnittet av to tall ved å ta kvadratroten til forrige uttrykk:

c = {\ sqrt {ab}} = (ab) ^ {{1/2}}.

Generalisering

Diskret sak

I denne siste formen ser vi at logaritmen (i hvilken som helst base) forvandler uttrykket til et aritmetisk gjennomsnitt: (forutsatt at $a$ og $b$ ikke er null, logaritmen ikke er definert som 0). ${\ displaystyle \ log c = {\ frac {\ log a + \ log b} {2}}}$

Derav generaliseringen: det geometriske gjennomsnittet av en ikke-null positiv kvantitativ statistisk serie er definert slik at logaritmen er det aritmetiske gjennomsnittet av logaritmene til seriens verdier.

Formuleringen kan gjøres som følger:

\ log {\ bar x} = {\ frac {\ log x_ {1} + \ log x_ {2} + \ ldots + \ log x_ {n}} n} = {1 \ over n} \ sum _ {{ i = 1}} ^ {n} \ log x_ {i}.

Vi kan utlede:

{\ bar x} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ ldots \ times x_ {n}}} = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {{i = 1}} ^ {n} {x_ {i}}}}.

For en statistisk serie hvis totale antall forekomster er uendelig eller ukjent, men hvis antall mulige ikke-null positive verdier er endelig og deres respektive frekvenser i serien er kjent, blir den matematiske formuleringen:

{\ displaystyle \ log {\ bar {x}} = {\ frac {f_ {1} \ log x_ {1} + f_ {2} \ log x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ log x_ { n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i} \ log x_ {i }}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}}, \ quad \ mathrm {med} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i }} = 1.}

Vi utleder (bruker for eksempel den naturlige logaritmen ):

{\ displaystyle {\ bar {x}} = \ exp \ left ({\ frac {f_ {1} \ ln x_ {1} + f_ {2} \ ln x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ ln x_ {n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} høyre) = \ exp \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n } f_ {i} \ ln x_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}} høyre),}

fra hvor :

{\ bar x} = {x_ {1}} ^ {{f_ {1}}} \ times {x_ {2}} ^ {{f_ {2}}} \ times \ ldots \ times {x_ {n}} ^ {{f_ {n}}} = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} {{x_ {i}} ^ {{f_ {i}}}}.

Kontinuerlig sak

Den geometriske middelverdi av en fordeling $f$ av en kontinuerlig variabel med verdien i et avgrenset skalar intervallet $[ x 0 , x 1 ]$ er generaliseringen ved grensen av de foregående diskrete statistisk formel:

\ log {{\ bar f} _ {{x_ {0}}} ^ {{x_ {1}}}} = \ int _ {{x_ {0}}} ^ {{x_ {1}}} {\ logg xf (x) ~ {\ mathrm d} x},

fra hvor :

{\ displaystyle {\ bar {f}} _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} \ ln xf ( x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ mathrm {with} \ quad \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1 .}

Dimensjonen er ikke en frekvens, men er dens kontinuerlige variabel.

Hvis fordelingen $f$ er definert på alle de virkelige verdiene til dens kontinuerlige variabel, er det geometriske gjennomsnittet av fordelingen:

{\ displaystyle {\ bar {f}} = \ exp \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ ln xf (x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ mathrm {med} \ quad \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1.}

Renter

For statistikere er det geometriske gjennomsnittet ( antilogaritme av gjennomsnittet av logaritmene til hver observasjon) mindre følsom enn det aritmetiske gjennomsnittet ved de høyeste verdiene i en dataserie. Det gir derfor et nytt og bedre estimat av den sentrale tendensen til dataene i tilfelle en langhalefordeling i den øvre enden av kurven (distribusjonstype hyppig i helse- eller miljøtiltak, f.eks. Giftig i kroppen, blodet eller miljøet , der visse individer eller grupper som er sårbare eller utsatt for bestemte tilfeller er mer berørt)

Se også

Root Mean Square : Basert på det aritmetiske gjennomsnittet av rutene .
Gjennomsnitt : presentasjon av andre gjennomsnitt
Statistisk : det aritmetiske gjennomsnittet er en upartisk estimator av forventningen.
Aritmetisk-geometrisk ulikhet