Bruddmekanikk

De bruddmekanikk er tilbøyelig til å angi en egenskap av materialet som kan føre til resistens mot brudd sprø ( brudd ) eller duktil. For hvis konstruksjonene er beregnet slik at de nominelle spenningene som hovedregel ikke overskrider materialets elastiske grense og derfor er beskyttet mot ødeleggelse ved brudd av duktil type  ; de er ikke systematisk trygge for ødeleggelse ved brudd av den sprø typen, enten fra en sprekk som allerede eksisterte ved igangkjøring eller som ble opprettet i drift av utmattelse (se Meudon-jernbanekatastrofen , Frankrike ) eller av stresskorrosjon.

Metoder for sprekkutbredelse

Forplantningen av en sprekk i et volum kan brytes ned i tre komponenter som kalles modus  :

• Mode I - Åpning i henhold til det normale til sprekkplanet,
• Mode II - Åpning parallelt med sprekkens plan og vinkelrett på sprekkfronten, og
• Mode III - Åpning parallelt med sprekkens plan og parallelt med sprekkfronten.

Hver modus er generelt karakterisert individuelt, selv om den virkelige forplantningen av en sprekk er kombinasjonen av disse 3 modusene.

Sprø bruddmodus

Den sprø type feilmodus kan oppstå når spenninger oppstår under følgende omstendigheter:

• Lave temperaturer,
• Høye lastehastigheter, og
• Feil som allerede eksisterer eller er opprettet under service.

De aktuelle plutselige bruddene kan klassifiseres i to kategorier:

• Skøre brudd relatert til mangel på duktilitet i materialet som er stresset under en viss temperatur (minimum tillatt veggtemperatur), som mild stål, og
• Duktilt brudd uten varsel, det vil si med svært lav plastisk deformasjon. Dette kan være tilfelle for materialer med høy elastisk grense hvor det ikke er noen veldig tydelig avhengighet mellom seighet og temperatur, det vil si hvor svikt under belastning er knyttet til den nærmeste øyeblikkelige forplantningen av d 'en sprekk fra en pre. -eksisterende mangel.

De klassiske seighetstestene (f.eks. Slagtester) tillater ikke å definere en mengde som sannsynligvis vil ta hensyn til det sprøtt bruddfenomenet i beregningene.

Det følgende forklarer begrepet motstand eller utholdenhet mot brudd, samt parametrene som den er utsatt for, for eksempel temperatur, belastningshastighet, spenningskonsentrasjon eller til og med stressnivå.

Undersøkelses- og testmetoder som er tilgjengelige for designere for å vurdere sprø bruddevne, presenteres, samt en tilnærming til elastisk lineær bruddmekanikk.

I utformingen av strukturer laget av duktile materialer, er evnen til å tåle belastningen trygt basert på spenningsanalyse for å sikre at den nominelle spenningen forblir begrenset innenfor materialets elastiske område. Brudd som oppstår innenfor dette elastiske området ( under materialets flytegrense ) klassifiseres som sprø brudd. Disse bruddene kan initieres fra små kontinuitetsdefekter i materialet (linje med intermetalliske inneslutninger for eksempel) eller fra sprekkdefekter som ikke i stor grad endrer fordelingen av den nominelle spenningen, og som vanligvis ikke blir tatt hensyn til i spenningsanalysen.

For en veldig høy belastningshastighet kan en diskontinuitet i betydelig grad redusere den gode duktiliteten til materialet som er forutsagt av en tilfredsstillende strekkprøve utført på maskinbearbeidede prøver ( uten overflatefeil og med avrundede konturer ) og forårsake ødeleggelse av strukturen ved sprø brudd. Det er denne modusen for brudd som er opprinnelsen til den tragiske ulykken som skjedde på femkantplattformen Alexander Kielland .

Det blir derfor åpenbart at et lyddesign må forvise alle diskontinuiteter (singulariteter), noe som forblir vanskelig i sveiset konstruksjon og spesielt i støpt konstruksjon.

For mange tradisjonelle konstruksjoner som båter, broer og trykkutstyr har erfaring med design, materialer og produksjonsmetoder gjort det mulig å etablere en tilfredsstillende korrelasjon for materialet mellom å bestå testen. Bøying av standard innvirkning på hakkprøven og god ytelse i tjeneste.

I det luftfartsfeltet gjør utmattelsesanalyse det ofte mulig å forutsi levetiden ved oppstart av sprekker. Sprekkespredningsfasen brukes derfor til å utføre bruddforebyggende inspeksjoner, hvis intervaller er definert av bruddmekanikken.

En av motivasjonene til å anvende begrepene bruddmekanikk og testene som skal utføres på sveisede skjøter eller støpte deler, er å kunne beskytte seg selv fra designfasen mot effekten som foreligger av diskontinuiteter. . Det er allment anerkjent at sveisede skjøter og støpegods alltid har en rekke diskontinuiteter, noe som setter designeren i et dilemma. Designeren vil alltid ønske å bruke sveisede skjøter eller støpegods uten diskontinuiteter, noe som er absolutt urealistisk.

Den praktiske tilnærmingen består i å anerkjenne tilstedeværelsen av disse diskontinuitetene i forsamlingene og bestemme en kritisk størrelse som en diskontinuitet blir skadelig fra, med andre ord som de må søkes og elimineres fra. Men hvordan bestemmer man fra hvilken kritisk dimensjon en diskontinuitet har sannsynligheten for å bli skadelig?

Siden den konvensjonelle slagbøyningstestmetoden ikke lenger er hensiktsmessig, kan testmetoder for bruddmekanikk (bruddprøving), når det er aktuelt, bidra til å etablere en sammenheng mellom kritisk størrelse på en diskontinuitet og bruddspenning for et gitt materiale eller sveis og derfor tillate en direkte estimat av størrelsen på akseptable feil for forskjellige konfigurasjoner og driftsforhold. Imidlertid betyr den permanente utviklingen av materialer (materialer med høy elastisk grense), stadig mer komplekse design og nye sveise- eller støpeteknologier at ingeniører ikke kan ha det nødvendige perspektivet på oppførselen til disse materialene. Nye design og forventede begrensninger ikke nødvendigvis attestert. Derfor vil det alltid være et stort behov for designeren å håndtere problemet med diskontinuiteter analytisk.

Griffiths idé

Bruddmekanikk ble oppfunnet under første verdenskrig av den engelske luftfartsingeniøren, AA Griffith , for å forklare brudd på sprø materialer. Griffiths arbeid ble motivert av to motstridende fakta:

• spenningen som kreves for å knuse et vanlig glass er omtrent 100 MPa;
• den teoretiske spenningen som kreves for å bryte atombindinger er ca 10.000 MPa.

En teori var nødvendig for å forene disse motstridende observasjonene. I tillegg antyder eksperimenter med glassfibre som Griffith selv har utført, at bruddspenningen øker jo mer diameteren på fibrene er liten. Følgelig utleder han at parameteren uniaxial resistance to failure , som hittil ble brukt for å forutsi feilmodus i utformingen av strukturer, ikke kunne være en verdi uavhengig av materialets egenskaper. Rr{\ displaystyle R_ {r}}

Griffith antyder at svakheten til strekkstyrken som ble observert i eksperimentene, samt avhengigheten av styrken til den motstanden, skyldtes tilstedeværelsen av allerede eksisterende mikroskopiske feil i det nåværende materialet.

For å teste hypotesen om eksisterende mangler introduserte Griffith en kunstig diskontinuitet i sine eksperimentelle prøver. Den kunstige diskontinuiteten var en viktigere form for åpningssprekk enn de andre diskontinuitetene som antas å eksistere i prøven.

Eksperimentene viste at produktet av kvadratroten av defektlengden (a) og strekkspenningen (σf) var omtrent konstant, noe som uttrykkes av ligningen:

(1)σfpå≈VS{\ displaystyle (1) \ qquad \ sigma _ {f} {\ sqrt {a}} \ approx C}

Griffith-kriterium: forenklet beregning

Hvis man antar tilstedeværelsen av en sprekk av størrelse i et materiale under spenning (spenning ), kan beregningen av verdien av spenningen som denne sprekken vokser fra, estimeres enkelt, jfr. Griffith's Criterion- artikkel . på{\ displaystyle a}σ{\ displaystyle \ sigma}σf{\ displaystyle \ sigma _ {f}}

Forklaringen på denne relasjonen i form av lineær elastisitetsteori utgjør et problem med entallpunkt. I lineær elastisitet forutsier teorien at spenningen (og dermed kraften) på enden av en sprekk i et ideelt elastisk materiale er uendelig. For å unngå dette problemet utviklet Griffith en termodynamisk tilnærming for å forklare forholdet han observerte.

Utviklingen av en sprekk krever oppretting av to nye overflater og derfor en økning i overflatenergi. Griffith fant et uttrykk for konstant C i planet for sprekkoverflatenergi ved å løse elastisitetsproblemet til en endelig sprekk i en elastisk plate. Kort fortalt var tilnærmingen som følger:

• Beregn den potensielle energien som er lagret i en perfekt prøve under en enakselig strekkbelastning,
• Juster spenningen slik at den påførte belastningen ikke (plastisk?) Deformerer prøven, og innfør deretter en sprekk i prøven. Sprekken slapper av stresset og følgelig slapper av den elastiske energien rundt sprekkens ansikter. På den annen side øker sprekken ved sin eksistens den totale overflatenergien til prøven.
• Beregn forskjellen i fri energi (overflatenergi - elastisk energi) som en funksjon av sprekkens lengde. Bruddet oppstår når den frie energien når en maksimumsverdi for en kritisk sprekklengde, utover hvilken den frie energien avtar på grunn av sprekkens forplantning (økning av overflatenergien), det vil si å øke sprekkens lengde til den forårsaker brudd. Ved å bruke denne metoden fant Griffith det

(2)VS=2Eγπ{\ displaystyle (2) \ qquad C = {\ sqrt {\ cfrac {2E \ gamma} {\ pi}}}}

eller:

E er Youngs modul av materialet, og γ er overflatenergitettheten til materialet

Verdiene E = 62 GPa og γ = 1  J / m 2 gir en utmerket modell for å bestemme bruddspenningen som Griffith forutsier for et sprøtt materiale.

Bidrag fra GR Irwin

Griffiths arbeid ble i stor grad ignorert av ingeniørmiljøet til begynnelsen av 1950-tallet. Årsakene ser ut til å være at for materialene som ble brukt i konstruksjonen av konstruksjonene, er det faktiske energinivået som kreves for å forårsake feil, flere størrelsesordener større enn tilsvarende overflatenergi og at det i konstruksjonsmaterialer alltid er plastiske deformasjoner ved sprekkespissen, noe som gjør hypotesen om det elastiske mediet lineært med uendelige spenninger på spissen av den ganske urealistiske sprekken F. Erdogan (2000) .

Griffiths teori passer perfekt med eksperimentelle data om svært skjøre materialer som glass. Selv om forholdet fremdeles er gyldig for duktile materialer som stål , er overflateenergien ( γ ) som Griffiths teori forutsier ofte urealistisk. En innsatsstyrke ledet av GR Irwin ved US Naval Research Laboratory (NRL), dannet under andre verdenskrig, innså at plastisitet måtte spille en viktig rolle i svikt av duktile materialer. σypå=VS{\ displaystyle \ sigma _ {y} {\ sqrt {a}} = C}

I duktile materialer (og selv i materiale som synes å være sprø), en plast-sone utvikles på sprekk foran. Økningen i dimensjonen til plastsonen er en funksjon av økningen i lasten til sprekken forplantes og frigjør spenningene bak sprekkespissen. Lastesyklusen / frigjør plastbelastningen på kanten av sprekkfronten fører til spredning av energi som en termisk behandling av stressavslapping. Derfor må en avledende betegnelse legges til energibalanseforholdet som utviklet av Griffith for sprø materialer. I fysiske termer er det nødvendig med ekstra energi for sprekkutbredelse i duktile materialer sammenlignet med sprø materialer.

Irwins strategi var å dele energien:

• Energien lagret i elastisk deformasjon (fjæreffekt) som frigjøres under forplantningen av en sprekk. Dette er den termodynamiske drivkraften til brudd.
• Spredt energi som inkluderer plastdissipasjon og overflateopprettelsesenergi (og andre avledende krefter som kan være på jobb). Den avledede termodynamiske energien gir motstand mot svikt. Den totale energien som blir spredt er gitt av:

(3)G=2γ+Gs{\ displaystyle (3) \ qquad G = 2 \ gamma + G_ {p}}

hvor er overflatenergien og er den plastiske spredningen (så vel som spredningen fra andre kilder) per enhet av sprekken. γ{\ displaystyle \ gamma}Gs{\ displaystyle G_ {p}}

Den modifiserte versjonen av Griffiths energikriterium kan da skrives som:

(4)σf=E Gπpå.{\ displaystyle (4) \ qquad \ sigma _ {f} = {\ sqrt {\ cfrac {E ~ G} {\ pi a}}}.}

• For et skjørt materiale som for eksempel glass dominerer begrepet overflatenergi og .G≈2γ=2J/m2{\ displaystyle G \ approx 2 \ gamma = 2 \, \, J / m ^ {2}}
• For et duktilt materiale som stål for eksempel dominerer begrepet plastisk spredning og .G≈Gs=1000J/m2{\ displaystyle G \ approx G_ {p} = 1000 \, \, J / m ^ {2}}
• For polymerplast nær overgangstemperaturen til forglassingsfasen har vi en mellomverdi på .G≈2-1000J/m2{\ displaystyle G \ ca 2-1000 \, \, J / m ^ {2}}

Stressintensitetsfaktor

En annen viktig prestasjon i arbeidsgruppen var å finne en metode for å beregne mengden tilgjengelig energi for et brudd på nivået av asymptotisk stress og forskyvningsfeltene rundt en sprekkfront i et ideelt elastisk fast stoff, i tilfelle en lademodus Jeg .

(5)σxy≈(K12πr) fxy(θ){\ displaystyle (5) \ qquad \ sigma _ {xy} \ approx \ left ({\ cfrac {K_ {1}} {\ sqrt {2 \ pi r}}} \ right) ~ f_ {xy} (\ theta )}

med “r” som representerer avstanden til sprekkfronten.

(6)σx≈(K12πr) cos⁡θ2[1-synd⁡θ2synd⁡3θ2]{\ displaystyle (6) \ qquad \ sigma _ {x} \ approx \ left ({\ cfrac {K_ {1}} {\ sqrt {2 \ pi r}}} \ right) ~ \ cos {\ cfrac {\ theta} {2}} \ left [1- \ sin {\ cfrac {\ theta} {2}} \ sin {\ cfrac {3 \ theta} {2}} \ right]}(7)σy≈(K12πr) cos⁡θ2[1+synd⁡θ2synd⁡3θ2]{\ displaystyle (7) \ qquad \ sigma _ {y} \ approx \ left ({\ cfrac {K_ {1}} {\ sqrt {2 \ pi r}}} \ right) ~ \ cos {\ cfrac {\ theta} {2}} \ left [1+ \ sin {\ cfrac {\ theta} {2}} \ sin {\ cfrac {3 \ theta} {2}} \ right]}(8)τxy≈(K12πr) synd⁡θ2cos⁡θ2cos⁡3θ2{\ displaystyle (8) \ qquad \ tau _ {xy} \ approx \ left ({\ cfrac {K_ {1}} {\ sqrt {2 \ pi r}}} \ right) ~ \ sin {\ cfrac {\ theta} {2}} \ cos {\ cfrac {\ theta} {2}} \ cos {\ cfrac {3 \ theta} {2}}}

I flyspenning:

(9)σz=ν(σx+σy){\ displaystyle (9) \ qquad \ sigma _ {z} = \ nu (\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y})}

I flyspenning

(10)σz=0{\ displaystyle (10) \ qquad \ sigma _ {z} = 0}

K1{\ displaystyle K_ {1}}er den eneste parameteren som gir et kjennetegn ved spenningsfeltet som er nær sprekkespissen. Det er stressintensitetsfaktoren (i plan belastning). Verdien av kan beregnes i spenningsanalyse ved sprekkespissen (på spissspissen). Uttrykk av er bestemt for et stort antall tilfeller for lasting og delkonfigurasjon. Alle uttrykk er av formen: K1{\ displaystyle K_ {1}}K1{\ displaystyle K_ {1}}

(11)K1=βσπpå{\ displaystyle (11) \ qquad K_ {1} = \ beta \ sigma {\ sqrt {\ pi a}}}i MPa √ m

med

• β{\ displaystyle \ beta} faktor som tar hensyn til sprekkens geometri og spenningsfordelingen.
• σ{\ displaystyle \ sigma} spenninger i materialet som er normalt i forhold til sprekkplanet og i fravær av dette.

På lastenivå som produserer den brutale forplantningen av en sprekk, det vil si å forårsake ruinen av den delen der denne sprekken befinner seg, tilsvarer en spesiell verdi av . Denne spesielle verdien av er betegnet med symbolet, og det er en egenskap for materialet så vel som flytegrensen. Disse to egenskapene varierer med temperatur, lasthastighet og metallurgisk struktur. K1{\ displaystyle K_ {1}}K1{\ displaystyle K_ {1}}K1vs.{\ displaystyle K_ {1c}}

K1vs.{\ displaystyle K_ {1c}} karakteriserer materialets motstand mot plutselig spredning.

Energikriterium

Når variasjonen i elastisk energi er større enn variasjonen i overflatenergi, er det sprekkutbredelse som tilsvarer en reduksjon i systemets frie energi. I en plate med uendelig dimensjon i et ideelt elastisk materiale som inneholder en sprekk, forplantes denne når:

(12)σ=σr=2Eγsπpå{\ displaystyle (12) \ qquad \ sigma = \ sigma _ {r} = {\ sqrt {\ frac {2E \ gamma _ {s}} {\ pi a}}}}

Med

E = Youngs modul, og σr={\ displaystyle \ sigma _ {r} =} bryte stress.

2γs{\ displaystyle 2 \ gamma _ {s}}tilsvarer energien som er nødvendig for å skape en enhetlig overflate for sprekkdannelse. Det er faktisk en kritisk energi som vi bemerker: i .G1vs.{\ displaystyle G_ {1c}}J.m-2{\ displaystyle Jm ^ {- 2}}

Vi kan derfor omskrive (12) slik:

(1. 3)σ=σr=EG1vs.πpå{\ displaystyle (13) \ qquad \ sigma = \ sigma _ {r} = {\ sqrt {\ frac {EG_ {1c}} {\ pi a}}}}

De to kriteriene og karakteriserer den brutale forplantningen av en sprekk. Disse to kriteriene er knyttet til forholdene: K1vs.{\ displaystyle K_ {1c}}G1vs.{\ displaystyle G_ {1c}}

For en tilstand av plane stammer, tilfelle av tykke strukturer;

(14)K1vs.=EG1vs.1-ν2{\ displaystyle (14) \ qquad K_ {1c} = {\ sqrt {\ frac {EG_ {1c}} {1- \ nu ^ {2}}}}}

med

ν={\ displaystyle \ nu =} Poisson-modul.

For en tilstand av plane spenninger, tilfelle av tynne strukturer;

(15)K1vs.=EG1vs.{\ displaystyle (15) \ qquad K_ {1c} = {\ sqrt {EG_ {1c}}}}

Mekanikk for elastoplastisk brudd

Integrert J

Definisjon

Integralet J (krumlinjær integral) representerer et middel for å beregne restitusjonshastigheten for belastningen eller arbeidsenergien (energi) per enhet av brutt sone i et materiale. Det teoretiske konseptet med integralen J ble utviklet uavhengig i 1967 av Cherepanov og i 1968 av Jim Rice . Disse arbeidene viser at konturen som avgrenser plastsonen nær sprekkfronten (kalt J) er uavhengig av sprekkens profil (kontur).

Deretter ble eksperimentelle metoder utviklet for å tillate måling av kritiske bruddegenskaper fra laboratorie-skala prøver for materialer der størrelsen på prøvene er utilstrekkelig for å sikre gyldigheten av de mekaniske forutsetningene. Linjær elastisitet av bruddet, og for å utlede en kritisk verdien av bruddsenergien . J1vs.{\ displaystyle J_ {1c}}

Mengden definerer punktet hvorfra en plastsone blir dannet i materialet på forplantningstidspunktet og for en lastemodus. J1vs.{\ displaystyle J_ {1c}}

Integralet J tilsvarer restitusjonshastigheten for spenningsenergien til en sprekk i et fast stoff som utsettes for en konstant belastning. Dette er sant, under kvasi-statiske forhold, like mye for de lineært elastiske materialene som for prøvene som ble testet i liten skala i ferd med å gi seg foran sprekk.

To-dimensjonal integral-J

Den todimensjonale integralen-J ble opprinnelig definert av (se figuren motsatt)

(16)J=∫Γ(W dx2-t⋅∂u∂x1 ds){\ displaystyle (16) \ qquad J = \ int _ {\ Gamma} \ left (W ~ \ mathrm {d} x_ {2} - \ mathbf {t} \ cdot {\ cfrac {\ partial \ mathbf {u} } {\ partial x_ {1}}} ~ \ mathrm {d} s \ right)}

Med:

W(x1,x2){\ displaystyle W (x_ {1}, x_ {2})} er belastningens energitetthet, x1,x2{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}} er de to retningene, t=ikke⋅σ{\ displaystyle \ mathbf {t} = \ mathbf {n} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}} er trekkvektoren, ikke{\ displaystyle \ mathbf {n}}er det normale i kurven ,Γ{\ displaystyle \ Gamma} σ{\ displaystyle \ sigma} er Cauchy stress tensor, og u{\ displaystyle \ mathbf {u}} er forskyvningsvektoren.

Stammeenergien er gitt av:

(17)W=∫0ϵσ:dϵ ;  ϵ=12[∇u+(∇u)T] .{\ displaystyle (17) \ qquad W = \ int _ {0} ^ {\ epsilon} {\ boldsymbol {\ sigma}}: \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ epsilon}} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ epsilon}} = {\ tfrac {1} {2}} \ venstre [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ { T} \ høyre] ~.}

Integral-J nær en sprekkfront uttrykkes ofte, i sin generelle form (og i Einstein-notasjon ), av:

(18)JJeg=limϵ→0∫Γϵ(WikkeJeg-ikkejσjk ∂uk∂xJeg)dΓ{\ displaystyle (18) \ qquad J_ {i} = \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} \ int _ {\ Gamma _ {\ epsilon}} \ left (Wn_ {i} -n_ {j} \ sigma _ {jk} ~ {\ cfrac {\ partial u_ {k}} {\ partial x_ {i}}} \ right) \ mathrm {d} \ Gamma}

Med:

JJeg{\ displaystyle J_ {i}}er komponenten av integral-J for en sprekkåpning i retningen ,xJeg{\ displaystyle x_ {i}} ϵ{\ displaystyle \ epsilon} er en liten region nær sprekkfronten.

Ved å bruke Green's teorem kan vi vise at denne integralen tar verdien null når kurven er lukket, at regionen som dermed avgrenses ikke inneholder et entallspunkt og danner en overflate av slekten 0 . Hvis ansiktet til sprekken ikke er under spenning, er integral-J uavhengig. Γ{\ displaystyle \ Gamma}

Ris demonstrerte også at verdien av integral-J representerer hastigheten på energirestitusjon for forplantning av flysprekker.

J-integralet ble utviklet for å løse vanskeligheter som oppstod i beregningen av spenningene nær en sprekk i et lineært elastisk materiale. Ris viste at integral-J i konstant modus for lasting og uten å nå plastisk tilpasning kan også brukes til å beregne hastigheten på energirestitusjon i et plastmateriale.

Demonstrasjon av nullverdien til J-integralet på en lukket kurve

For å vise J-integralens uavhengighet, må vi først vise at den tar verdien null på en lukket kurve som avgrenser et område av slag 0. La oss ganske enkelt ta uttrykket gitt av: J1{\ displaystyle J_ {1}}

J1: =∫Γ(Wikke1-ikkejσjk ∂uk∂x1)dΓ{\ displaystyle J_ {1}: = \ int _ {\ Gamma} \ left (Wn_ {1} -n_ {j} \ sigma _ {jk} ~ {\ cfrac {\ partial u_ {k}} {\ partial x_ {1}}} \ høyre) \ mathrm {d} \ Gamma}

Vi kan skrive det:

J1=∫Γ(Wδ1j-σjk ∂uk∂x1)ikkejdΓ{\ displaystyle J_ {1} = \ int _ {\ Gamma} \ left (W \ delta _ {1j} - \ sigma _ {jk} ~ {\ cfrac {\ partial u_ {k}} {\ partial x_ {1 }}} \ høyre) \; n_ {j} \; \ mathrm {d} \ Gamma}

I følge Green's teorem har vi:

∫Γfj ikkej dΓ=∫PÅ∂fj∂xj dPÅ{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} f_ {j} ~ n_ {j} ~ \ mathrm {d} \ Gamma = \ int _ {A} {\ cfrac {\ partial f_ {j}} {\ partial x_ { j}}} ~ \ mathrm {d} A}

Ved å bruke dette resultatet kan vi uttrykke som: J1{\ displaystyle J_ {1}}

J1=∫PÅ∂∂xj(Wδ1j-σjk ∂uk∂x1)dPÅ=∫PÅ[∂W∂x1-∂σjk∂xj ∂uk∂x1-σjk ∂2uk∂x1∂xj] dPÅ{\ displaystyle {\ begin {align} J_ {1} & = \ int _ {A} {\ cfrac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left (W \ delta _ {1j} - \ sigma _ {jk} ~ {\ cfrac {\ partial u_ {k}} {\ partial x_ {1}}} \ right) \ mathrm {d} A \\ & = \ int _ {A} \ left [{\ cfrac {\ partial W} {\ partial x_ {1}}} - {\ cfrac {\ partial \ sigma _ {jk}} {\ partial x_ {j}}} ~ {\ cfrac {\ partial u_ {k}} { \ partial x_ {1}}} - \ sigma _ {jk} ~ {\ cfrac {\ partial ^ {2} u_ {k}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {j}}} \ right] ~ \ mathrm {d} A \ end {align}}}

Med:

PÅ{\ displaystyle A}området inne i stien .Γ{\ displaystyle \ Gamma}

Nå, hvis det ikke er noen kraft tilstede, krever likevektstilstanden (bevaring av lineær momentum) at:

∇⋅σ=0⟹∂σjk∂xj=0 .{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ mathbf {0} \ qquad \ innebærer \ qquad {\ cfrac {\ partial \ sigma _ {jk}} {\ partial x_ {j}}} = 0 ~.}

For:

ϵ=12[∇u+(∇u)T]⟹ϵjk=12(∂uk∂xj+∂uj∂xk) .{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ epsilon}} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {T} \ right] \ qquad \ impliserer \ qquad \ epsilon _ {jk} = {\ tfrac {1} {2}} \ left ({\ cfrac {\ partial u_ {k}} {\ delvis x_ {j}}} + {\ cfrac {\ delvis u_ {j}} {\ delvis x_ {k}}} \ høyre) ~.}

Derfor :

σjk∂ϵjk∂x1=12(σjk∂2uk∂x1∂xj+σjk∂2uj∂x1∂xk){\ displaystyle \ sigma _ {jk} {\ cfrac {\ partial \ epsilon _ {jk}} {\ partial x_ {1}}} = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ sigma _ {jk } {\ cfrac {\ partial ^ {2} u_ {k}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {j}}} + \ sigma _ {jk} {\ cfrac {\ partial ^ {2} u_ { j}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {k}}} \ right)}

Fra vinkelmoment likevekt vi har . Derfor : σjk=σkj{\ displaystyle \ sigma _ {jk} = \ sigma _ {kj}}

σjk∂ϵjk∂x1=σjk∂2uj∂x1∂xk{\ displaystyle \ sigma _ {jk} {\ cfrac {\ partial \ epsilon _ {jk}} {\ partial x_ {1}}} = \ sigma _ {jk} {\ cfrac {\ partial ^ {2} u_ { j}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {k}}}}

Integralen-J kan skrives:

J1=∫PÅ[∂W∂x1-σjk ∂ϵjk∂x1] dPÅ{\ displaystyle J_ {1} = \ int _ {A} \ left [{\ cfrac {\ partial W} {\ partial x_ {1}}} - \ sigma _ {jk} ~ {\ cfrac {\ partial \ epsilon _ {jk}} {\ partial x_ {1}}} \ right] ~ \ mathrm {d} A}

Nå for et elastisk materiale kan spenningen avledes fra den lagrede energifunksjonen ved å bruke: W{\ displaystyle W}

σjk=∂W∂ϵjk{\ displaystyle \ sigma _ {jk} = {\ cfrac {\ partial W} {\ partial \ epsilon _ {jk}}}}

Så ved å differensiere:

σjk ∂ϵjk∂x1=∂W∂ϵjk ∂ϵjk∂x1=∂W∂x1{\ displaystyle \ sigma _ {jk} ~ {\ cfrac {\ partial \ epsilon _ {jk}} {\ partial x_ {1}}} = {\ cfrac {\ partial W} {\ partial \ epsilon _ {jk} }} ~ {\ cfrac {\ partial \ epsilon _ {jk}} {\ partial x_ {1}}} = {\ cfrac {\ partial W} {\ partial x_ {1}}}}

Dette er grunnen til at vi for en lukket kurve av slekten 0 får en region uten et entallpunkt (punkt der begrensningen ville være uendelig). J1=0{\ displaystyle J_ {1} = 0}

Bevis på kurvens uavhengighet definert av integral-J

Tenk på disposisjonen . I den grad denne kurven er lukket og avgrenser et område av slekten 0, tar integral-J på denne kurven verdien null (se avsnitt ovenfor). Γ=Γ1+Γ++Γ2+Γ-{\ displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {1} + \ Gamma ^ {+} + \ Gamma _ {2} + \ Gamma ^ {-}}

J=J(1)+J+-J(2)-J-=0{\ displaystyle J = J _ {(1)} + J ^ {+} - J _ {(2)} - J ^ {-} = 0}

Det innrømmes at motsols integraler rundt spissens spiss er av positivt tegn. Imidlertid, siden flatenes sprekker er parallelle med aksen , er komponenten normal til disse ansiktene . Også så lenge disse overflatene ikke er under spenning; og det kommer: x2{\ displaystyle x_ {2}}ikke1=0{\ displaystyle n_ {1} = 0}tk=0{\ displaystyle t_ {k} = 0}

J+=J-=∫Γ(Wikke1-tk ∂uk∂x1)dΓ=0{\ displaystyle J ^ {+} = J ^ {-} = \ int _ {\ Gamma} \ left (Wn_ {1} -t_ {k} ~ {\ cfrac {\ partial u_ {k}} {\ partial x_ {1}}} \ høyre) \ mathrm {d} \ Gamma = 0}

Derfor,

J(1)=J(2){\ displaystyle J _ {(1)} = J _ {(2)}}

og J-integralet er en kurve uavhengig av konturen.

Integrale-J og duktil svikt

For isotrope materialer som har en markert duktil / sprø overgang, kan J-integralet være direkte relatert til duktil feilmodus.

Når det gjelder en plan belastning under belastningsforholdene som tilsvarer modus I , er forholdet gitt av:

(19)JJegvs.=GJegvs.=KJegvs.2(1-ν2E){\ displaystyle (19) \ qquad J_ {Ic} = G_ {Ic} = K_ {Ic} ^ {2} \ left ({\ frac {1- \ nu ^ {2}} {E}} \ right)}

Med:

GJegvs.{\ displaystyle G_ {Ic}} avspenningsfaktoren til den kritiske belastningsenergien, KJegvs.{\ displaystyle K_ {Ic}} stressintensitetsfaktoren ved duktilt brudd under belastning i modus I, ν{\ displaystyle \ nu}den Poissons tall , og E den elastisitetsmodul av materialet.

Når det gjelder belastning i modus II , blir forholdet mellom integral-J og det duktile brudd i modus II, ( ) gitt av: KJegJegvs.{\ displaystyle K_ {IIc}}

(20)JJegJegvs.=GJegJegvs.=KJegJegvs.2[4(1-ν2)3E]{\ displaystyle (20) \ qquad J_ {IIc} = G_ {IIc} = K_ {IIc} ^ {2} \ left [{\ frac {4 (1- \ nu ^ {2})} {3E}} \ Ikke sant]}

Når det gjelder lasting i modus III , er forholdet gitt av:

(21)JJegJegJegvs.=GJegJegJegvs.=KJegJegJegvs.2(1+νE){\ displaystyle (21) \ qquad J_ {IIIc} = G_ {IIIc} = K_ {IIIc} ^ {2} \ left ({\ frac {1+ \ nu} {E}} \ right)}

COD-tester (CTOD)

COD ( Crack Tip Opening Displacement ) -testen brukes til å måle evnen til en struktur under stress til å forplante seg eller ikke sprekke fra en eksisterende defekt.

De mange metallurgiske transformasjonene som oppstår under sveising er opprinnelsen til komplekse mikrostrukturer som kan ha betydelig forskjellige mekaniske egenskaper. I tillegg kan seighetsverdien bli sterkt påvirket av posisjonen til en defekt. Når en feil oppdages i en sveiset enhet, kan tre holdninger også vurderes:

• Oppbevar den som den er ved å fortsette å bruke utstyret
• Reparer den, vel vitende om at en reparasjon kan være årsaken til en enda mer alvorlig feil, og
• Bytt ut den defekte delen.

Hele fordelen med COD-testen ligger i muligheten for å bestemme størrelsen på en maksimalt tillatt indikasjon som ikke fører til ødeleggelsen av forsamlingen i tjeneste, i en spesifikk sammenheng.

På den annen side kan COD-tester bidra til å oppnå en garanti for atferd under bruk uten behov for å utføre varmebehandling etter sveising (TTAS) som ofte pålegges av byggekoder fra en viss sveisetykkelse for å redusere stressnivået indusert strukturen under konstruksjonen. For eksempel kan COD-tester gjøre det mulig å kvalifisere bruken av termomekanisk stål i produksjonen av rå sveiset trykkutstyr uavhengig av sveiset tykkelse (termomekaniske stål ser deres mekaniske egenskaper forringet etter TTAS).

Det er forskjellige metoder for analyse av skadelighet, basert på metoder utviklet for homogene strukturer og tilpasset de siste årene til sveisede forsamlinger.

Blant de mest kjente er:

• den modifiserte R6-metoden (to kriteriemetoden),
• ETM-MM-metoden (Engineering Treatment Model for Mismatch Welds),
• EMM-metoden (Equivalent Material Method),
• British Standard-anbefaling PD 6493, med tittelen "Veiledning om metoder for å vurdere akseptabelen av feil i smeltesveisede strukturer".

Når den maksimalt tillatte størrelsen på indikasjonen er etablert, forblir den en indikasjon som muligens kan følges opp, og på den annen side vil enhver indikasjon på en størrelse som er større enn denne grensen, bli katalogisert som en feil som skal rettes.

COD-prøverøret Feil samsvar

Forskjellene i mekaniske egenskaper mellom uedle metaller (MB), smeltet sone (ZF) og varmepåvirket sone (ZAT) kan ugyldiggjøre resultatene oppnådd i DOC. Disse forskjellene kan demonstreres, som en første tilnærming, ved hardhetsforbindelser i de forskjellige sonene eller til og med suppleres med mekaniske tester.

Den "mismatching" uttrykkes av forholdet mellom elastisk grense for ZF og for MB. Det er notert "M".

Når M er større enn 1, snakker vi om over-matching og i motsatt tilfelle av under-matching.

Bestemmelsen av fastheten til den smeltede sonen påvirkes av den uoverensstemmende effekten, bredden på ZF i forhold til prøven, lastemodus (bøyning eller spenning), posisjonen til sprekkespissen sammenlignet med ledningen, evolusjon av plastisitet i ligamentet.

For eksempel, i tilfelle av overmatching, utvikler plastisitet seg og forblir begrenset til det mykere metallet. Foreløpig tar ikke kodene hensyn til den uoverensstemmende effekten. De anser det sveisede skjøtet som et homogent materiale med tanke på de mest straffende egenskapene blant de som utgjør sveisen. Dette fører vanligvis til konservative resultater.

Merknader og referanser

Merknader

1. Når det gjelder ekte materiale, dannes en plastsone ved sprekkfronten. Det er derfor en plastisk belastningsenergi som finnes i det kritiske forlengelsesvolumetσs={\ displaystyle \ sigma _ {p} =}

Referanser

1. Griffith AA , “  The phenomena of rupture and flow in solid  ”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , a, vol.  221,1921, s.  163–198 ( les online ).
2. E. Erdogan (2000) Fracture Mechanics , International Journal of Solids and Structures, 27, s.  171–183 .
3. Irwin G (1957), Analyse av spenninger og belastninger nær enden av en sprekk som krysser en plate , Journal of Applied Mechanics 24, 361–364.
4. Egon Orowan , 1948. Brudd og styrke av faste stoffer . Rapporter om fremgang i fysikk XII, 185–232.
5. Van Vliet, Krystyn J. (2006); “3.032 Mekanisk oppførsel av materialer”, “  http://www.stellar.mit.edu/S/course/3/fa06/3.032/index.html  ” ( Arkiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Hva skal jeg gjøre? )
6. GP Cherepanov, Forplantning av sprekker i et kontinuerlig medium , Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 31 (3), 1967, s.  503-512 .
7. opprinnelige artikkel: James R. Rice, "  A Path Uavhengig Integral og den omtrentlige analyse av stamme Konsentrasjon av Innsnitt og sprekker  ," Journal of Applied Mechanics , n o  35,1968, s.  379-386 ( les online ).
8. Meyers og Chawla (1999): "Mekanisk oppførsel av materialer," 445-448.
9. Yoda, M., 1980, J-integral fraktur seighet for Mode II , Int. J. of Fracture, 16 (4), s. R175-R178.
10. CTOD-testing av sveiser (Blauel, JG, Burget) og Burdekin

Se også

Relaterte artikler

• Brudd facies

Eksterne linker

• Rivne plakater og knuste vinduer: den (vakre) vitenskapen om vandaler Eksperimentell konferanse av ESPCI ParisTech

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">