SURRER

De B-splines nonuniform rasjonell , oftere referert til ved sin akronym NURBS (for Non-Uniform Rational Basis Splines ), tilsvarende en generalisering av B-splines fordi disse funksjonene er definert med punkter i homogene koordinater .

NURBS interesser

Hovedfordelen med disse NURBS-kurvene er at de til og med klarer å passe kurver som ikke kan representeres av ensartede B-splines . Faktisk kan sistnevnte bare representere nøyaktig (uansett definisjonsgrad, det vil si antall koordinater for kontrollpunkter i tillegg til koordinatene til toppunktene i hver bue eller buet fasett) bare segmenter av rett linje og noen kurver og overflater (men ikke de fleste polynomkurver med grad 2 eller høyere).

Et kjent eksempel er tegningen av en kvart sirkel, men deres interesse er å tillate en nøyaktig representasjon:

• koniske buer (inkludert sirkelen og alle ellipser , selv de som ikke har fokus på en horisontal eller vertikal akse, parabolske og hyperbolske buer, og selvfølgelig også linjesegmenter),
• helheten av polynomkurver og overflater, med bare heltallsparametere (eller rasjonelle parametere i form av heltallspar) hvis NURBS passerer gjennom et begrenset, men tilstrekkelig antall punkter definert i et diskret (heltall eller rasjonelt koordinat) nett av rom.

Denne interessen strekker seg også til mellomrom med mer enn to dimensjoner og tillater også en nøyaktig fremstilling av koniske overflater i et tredimensjonalt rom (inkludert kjegler med en sirkulær eller elliptisk base, sfæren og ellipsoider med en hvilken som helst fokal orienteringsakse, paraboloider og hyperboloider. , men også plane fasetter). NURBS lar deg også definere kurver eller overflater av høyere ordre (for eksempel polynomkurver eller overflater av tredje grad eller mer), avhengig av antall kontrollpunkter (og vekter som er tildelt hver av dem) definert mellom dem. samme bue (eller av samme buede fasett).

Bruken av NURBS, hvis kontrollpunkter er tildelt rasjonelle vekter (og ikke bare heltall med klassiske B-splines), gjør det ofte mulig å redusere antall hjørner og kontrollpunkter i den nøyaktige tilnærmingen av en lysbue eller en hvilken som helst buet fasett, samtidig som presisjonen til denne tilnærmingen og holde en lav grad for denne tilnærmingen (derfor en rask gjengivelse).

NURBS beholder også sine egenskaper via alle affine transformasjoner i rommet (oversettelser, rotasjoner, homotetisk), men også visse ikke-isometriske transformasjoner som projeksjoner, inkludert perspektiv (som det er mulig å oppnå ved å representere denne transformasjonen som en enkel projeksjon i en isometrisk rom med en øyeblikkelig høyere grad, dvs. ved bruk av homogene koordinater med en ekstra rasjonell ekstra koordinat per toppunkt eller kontrollpunkt), samtidig som det garanteres bevaring av visse viktige fysiske egenskaper som kontinuitet, bevaring av tangenter eller vinkler i toppunktene , men også monotonien av de gradvise krumningsovergangene langs buen eller fasetten som er definert (inkludert bevaring av fastheten til denne krumningen når det gjelder rette linjer eller sirkelbuer og plane eller sfæriske fasetter, målt i homogent rom) .

NURBS utgjør da en interessant representasjon for å redusere kompleksiteten i modellering av komplekse objekter og scener (inkludert animerte), for eksempel i 3D-modellering og innen geometrisk beregning og grafisk gjengivelse av akseleratorer, ofte ved å redusere merkbart antall buer som kreves, mens de ikke pålegger flere buer enn med B-splines og elliptiske buer alene.

Deres nylige bruk er også viktig i nye kartografiske applikasjoner som krever en veldig høy presisjon av de beregnede koordinatene, fordi NURBS er kompatible med de fleste av de mest brukte anslagene i dette feltet; de tillater ekstremt presise interpolasjoner (på avstanden / omkretsen, vinklene og områdene beregnet) fra et redusert volum geodetiske målinger og en av de vanlige modellene (historisk eller standardisert) av kartografiske geoider , og et sett med målinger av observatøren oppnås ganske enkelt med enkle optiske instrumenter (luft- eller satellittfotografier) ​​eller radioelektriske (for eksempel for satellittgeolokalisering, kombinert med høy presisjonsklokker, men med redusert antall observerte satellitter, for beregning av trianguleringer som muliggjør presis posisjonering eller justering av koordinatene til antennen eller satellittbilder, eller for nøyaktige hastighetsmålinger og baneoptimalisering i transport, konstruksjon og landbruksproduksjon).

NURBS finner imidlertid i dag sin bruk i produksjon av utstyr med veldig presisjon (for eksempel mikroelektronikk og sporing av ruter innenfor komponenter, eller produksjon av måleinstrumenter som speil og linser som brukes i astronomi.), Fordi de tillater en reduksjon av de fysiske begrensningene som brukes på produksjonsinstrumentets kontrollsystemer, og redusert slitasje på disse instrumentene (som tillater økning og stabilisering av styrehastighetene uten å overskride akselerasjonsbegrensningene, ved å respektere begrensninger inkludert lave krumningsgrenser, disse begrensningene direkte som påvirker de fysiske akselerasjonene som er gjennomgått og derfor også på maksimal hastighet og tid og minimumskostnad for produksjon) De gjør det også mulig å øke den fysiske motstanden og påliteligheten til elementene laget av slike modeller som må oppfylle betydelige fysiske begrensninger (for eksempel for å redusere parasittbuer som avgir radioelektriske forstyrrelser eller elektrokjemisk diffusjon i mikrokomponenter. Produsert, eller i nautisk og aeronautisk konstruksjon og overbygg som bærer tunge belastninger, for eksempel for å øke motstanden til broer, bygninger og transportskip, men også utformingen av motorer og overføringssystemer for å redusere energiforbruket), samtidig som det forenkler settet med forhåndsberegnet data som skal utformes og optimaliseres i modelleringen og også forenkle utformingen og kostnaden for verktøyene som også må produsere dem (spesielt ved den bemerkelsesverdige reduksjonen i antall deler og av frihetsgraden til disse verktøyene).

Faktisk har NURBS i dag blitt essensielle i de mest avanserte CAD- systemene, utover de eneste behovene til kreativ databehandling (som også blir stadig grådigere i beregninger, som optimaliseringene som NURBS tilbyr har blitt veldig interessante, siden de nå støttes av billige midler for maskinvareakselerasjon, for eksempel i nåværende grafikkakselerasjonsprosessorer for datamaskiner og spillkonsoller), selv om mange grafikkverktøy og standarder (filer og programmeringsspråk, skalerbare skrifttyper osv.) ennå ikke støtter dem naturlig annet enn gjennom spesifikke utvidelser for visse applikasjoner.

Definisjoner

Utvidet definisjon

NURBS brukes til å matematisk representere geometriske objekter. De generaliserer representasjonen med B-splines av kurver og overflater ved å legge til en nevner. De er faktisk definert med punkter i homogene koordinater . En B-spline ser ut som en stykkevis polynomiell representasjon, mens en NURBS er en stykkevis rasjonell bruddrepresentasjon. Disse justeringsfunksjonene er spesielt brukt i 3D-redigeringsprogramvare, og brukes spesielt innen informatikk, nærmere bestemt i bildekomprimering og i datamaskinstøttet design, for å generere og representere myke former og ergonomisk. På grunn av at de har mange fordeler, er bruken av dem utbredt:

• enkel og presisjon i å evaluere en form;
• evne til å tilnærme komplekse former;
• enkel konstruksjon og implementering;
• lav kompleksitet av algoritmene som brukes.

Nodal vektor

Nodevektoren er en sekvens av parameterverdier som bestemmer hvor og hvordan kontrollpunktene vil påvirke formen. Antall noder er alltid lik antallet av kontrollpunkter i tillegg til graden av formen pluss 1, dvs . gitt en nodalvektor , kontrollpunkter og en grad , da . T{\ displaystyle T}ikke{\ displaystyle n}d{\ displaystyle d}#T=ikke+d+1{\ displaystyle \ # T = n + d + 1}

Nodvektoren deler det parametriske rommet i tidligere nevnte intervaller.

Hver gang parameteren angir et nytt nodalintervall, blir et nytt kontrollpunkt aktivt mens et eldre blir inaktivt. Dette garanterer derfor lokal innflytelse fra kontrollpunktene.

En nodevektor er definert av en nodesekvens der noder har verdier mellom og ( dvs. ). 0{\ displaystyle 0}1{\ displaystyle 1}tJeg≤tJeg+1{\ displaystyle t_ {i} \ leq t_ {i + 1}}

For eksempel vurderer noder vektor vil være i den form: . m+1{\ displaystyle m + 1}U=(t0,t1,⋯,tm){\ displaystyle U = (t_ {0}, t_ {1}, \ cdots, t_ {m})}

Påfølgende noder kan ha identiske verdier, dette defineres av mangfoldet til en node og gjør det mulig å fremheve innflytelsen av et punkt på kurven.

For eksempel er det første og siste punktet i kontrollpolygonen konvensjonelt flere. De første nodene er null og de siste noder er lik , f.eks . Dette tvinger deretter kurven til å passere gjennom det første så vel som gjennom det siste punktet i kontrollpolygonen. d+1{\ displaystyle d + 1}d+1{\ displaystyle d + 1}1{\ displaystyle 1} T=(0,⋯,0⏟d+1,td+1,td+2,⋯,tm-d-1,tm-d,1,⋯,1⏟d+1){\ displaystyle T = (\ underbrace {0, \ cdots, 0} _ {d + 1}, t_ {d + 1}, t_ {d + 2}, \ cdots, t_ {md-1}, t_ {md }, \ underbrace {1, \ cdots, 1} _ {d + 1})}

Dessuten, når mellomrommet mellom hvert etterfølgende node i undergruppe er identiske, f.eks . , er vektoren ensartet, og kurven ved hjelp av den sies å være ensartet. td+1,⋯,tm-d{\ displaystyle t_ {d + 1}, \ cdots, t_ {md}}tJeg=Jeg-d-1m-2d-1|Jeg∈[d+1,m-d]{\ displaystyle t_ {i} = {\ frac {id-1} {m-2d-1}} | i \ i [d + 1, md]}

Formell definisjon

Grunnleggende funksjon

De grunnleggende funksjonene til grad NURBS er definert av den dobbeltrekursive Cox-De Boor-formelen: d{\ displaystyle d}

{IKKEj0(t)={1sJegtj≤t<tj+10sJegikkeoikkeIKKEjd(t)=t-tjtj+d-tjIKKEjd-1(t)+tj+d+1-ttj+d+1-tj+1IKKEj+1d-1(t){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ll} N_ {j} ^ {0} (t) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} 1 & si \; t_ {j} \ leq t <t_ {j + 1} \\ 0 & ellers \ end {array}} \ right. \\ N_ {j} ^ {d} (t) = {\ frac {t-t_ {j}} { t_ {j + d} -t_ {j}}} N_ {j} ^ {d-1} (t) + {\ frac {t_ {j + d + 1} -t} {t_ {j + d + 1 } -t_ {j + 1}} N_ {j + 1} ^ {d-1} (t) \ end {array}} \ right.}

der noder som tilhører nodalvektoren, og graden av NURBS . tj{\ displaystyle t_ {j}}d{\ displaystyle d}

Når flere noder er forvirret, stiller man opp . tj{\ displaystyle t_ {j}}00=0{\ displaystyle {\ frac {0} {0}} = 0}

NURBS kurver

Formelen til NURBS- kurver har stor samsvar med B-splines . Det er ganske enkelt generalisert for å kunne brukes på homogene koordinater.

Så formelen til en NURBS- kurve er illustrert som følger:

VS(t)=∑Jeg=1m-ikke-1ωJegPJegIKKEJegikke(t)∑Jeg=1m-ikke-1ωJegIKKEJegikke(t){\ displaystyle C (t) = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {mn-1} \ omega _ {i} P_ {i} N_ {i} ^ {n} (t)} {\ sum _ {i = 1} ^ {mn-1} \ omega _ {i} N_ {i} ^ {n} (t)}}} hvor de er de homogene koordinatvektene til de gitte kontrollpunktene , antall noder, graden av NURBS , koeffisientene beregnet i henhold til Cox-de Boor-algoritmen, og parameteren. wJeg{\ displaystyle w_ {i}}PJeg{\ displaystyle P_ {i}}m{\ displaystyle m}ikke{\ displaystyle n}IKKEJegikke{\ displaystyle N_ {i} ^ {n}}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}

Derivatet av en NURBS- kurve på ett punkt representerer vektoren som tangerer kurven på det punktet.

Dannelsen av derivatet er litt mer kompleks og uttrykkes som følger:

∂VS(u)∂u=VS′(u)=∑Jeg=0m-ikke-1ωJegPJegIKKEJegikke(u)′∑Jeg=0m-ikke-1ωJegIKKEJegikke(u)(∑Jeg=0m-ikke-1ωJegIKKEJegikke(u))2-∑Jeg=0m-ikke-1ωJegPJegIKKEJegikke(u)∑Jeg=0m-ikke-1ωJegIKKEJegikke(u)′(∑Jeg=0m-ikke-1ωJegIKKEJegikke(u))2{\ displaystyle {\ frac {\ partial C (u)} {\ partial u}} = C '(u) = {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} \ omega _ {i } P_ {i} N_ {i} ^ {n} (u) '\ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} \ omega _ {i} N_ {i} ^ {n} (u)} { (\ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} \ omega _ {i} N_ {i} ^ {n} (u)) ^ {2}}} - {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} \ omega _ {i} P_ {i} N_ {i} ^ {n} (u) \ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} \ omega _ {i} N_ {i} ^ {n} (u) '} {(\ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} \ omega _ {i} N_ {i} ^ {n} (u)) ^ {2} }}}

eller:

IKKEJegikke(t)′=ikketJeg+ikke-tJegIKKEJegikke-1(t)-ikketJeg+ikke+1-tJeg+1IKKEJeg+1ikke-1(t){\ displaystyle N_ {i} ^ {n} (t) '= {\ frac {n} {t_ {i + n} -t_ {i}}} N_ {i} ^ {n-1} (t) - {\ frac {n} {t_ {i + n + 1} -t_ {i + 1}}} N_ {i + 1} ^ {n-1} (t)}

NURBS overflater

NURBS-overflater avhenger av to grader og av to nodale vektorer ( hhv. For og ). ikkeu{\ displaystyle n_ {u}}ikkev{\ displaystyle n_ {vb}}u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}

De styres ikke lenger av en polygon, men av et kontrollnettverk som består av punktene . PJeg,j{\ displaystyle P_ {i, j}}

Dermed uttrykkes den generelle formelen for en NURBS-overflate som følger:

S(u,v)=∑Jeg=0mu-ikkeu-1∑j=0mv-ikkev-1IKKEJegikkeu(u)IKKEjikkev(v)ωJeg,jsJeg,j∑Jeg=0mu-ikkeu-1∑j=0mv-ikkev-1IKKEJegikkeu(u)IKKEjikkev(v)ωJeg,j{\ displaystyle S (u, v) = {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {m_ {u} -n_ {u} -1} \ sum _ {j = 0} ^ {m_ {v} -n_ {v} -1} N_ {i} ^ {n_ {u}} (u) N_ {j} ^ {n_ {v}} (v) \ omega _ {i, j} p_ {i, j} } {\ sum _ {i = 0} ^ {m_ {u} -n_ {u} -1} \ sum _ {j = 0} ^ {m_ {v} -n_ {v} -1} N_ {i} ^ {n_ {u}} (u) N_ {j} ^ {n_ {v}} (v) \ omega _ {i, j}}}}, med (u,v)∈[0,1]2{\ displaystyle (u, v) \ in [0,1] ^ {2}}

Delerivatet av overflaten ved et punkt representerer tangensen på dette punktet i en retning ( og ). u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}

For henne uttrykkes det som følger: u{\ displaystyle u}

∂S(u,v)∂u=Su(u,v)=Ru(u,v)Ω(u,v)-R(u,v)Ωu(u,v)Ω(u,v)2{\ displaystyle {\ frac {\ partial S (u, v)} {\ partial u}} = S_ {u} (u, v) = {\ frac {R_ {u} (u, v) \ Omega (u , v) -R (u, v) \ Omega _ {u} (u, v)} {\ Omega (u, v) ^ {2}}}}

eller:

R(u,v)=∑Jeg=0su∑j=0svIKKEJegikkeu(u)IKKEjikkev(v)PJeg,jωJeg,j{\ displaystyle R (u, v) = \ sum _ {i = 0} ^ {p_ {u}} \ sum _ {j = 0} ^ {p_ {v}} N_ {i} ^ {n_ {u} } (u) N_ {j} ^ {n_ {v}} (v) P_ {i, j} \ omega _ {i, j}} ,

Ru(u,v)=∑Jeg=0su∑j=0svIKKEJegikkeu(u)′IKKEjikkev(v)PJeg,jωJeg,j{\ displaystyle R_ {u} (u, v) = \ sum _ {i = 0} ^ {p_ {u}} \ sum _ {j = 0} ^ {p_ {v}} N_ {i} ^ {n_ {u}} (u) 'N_ {j} ^ {n_ {v}} (v) P_ {i, j} \ omega _ {i, j}},

Ω(u,v)=∑Jeg=0su∑j=0svIKKEJegikkeu(u)IKKEjikkev(v)ωJeg,j{\ displaystyle \ Omega (u, v) = \ sum _ {i = 0} ^ {p_ {u}} \ sum _ {j = 0} ^ {p_ {v}} N_ {i} ^ {n_ {u }} (u) N_ {j} ^ {n_ {v}} (v) \ omega _ {i, j}} ,

og . Ωu(u,v)=∑Jeg=0su∑j=0svIKKEJegikkeu(u)′IKKEjikkev(v)ωJeg,j{\ displaystyle \ Omega _ {u} (u, v) = \ sum _ {i = 0} ^ {p_ {u}} \ sum _ {j = 0} ^ {p_ {v}} N_ {i} ^ {n_ {u}} (u) 'N_ {j} ^ {n_ {v}} (v) \ omega _ {i, j}}

Ordlyden er lik for . ∂S(u,v)∂v{\ displaystyle {\ frac {\ partial S (u, v)} {\ partial v}}}

Eksempler

• Her er en NURBS plottet ved hjelp av gnuplot- verktøyet (“wireframe” type representasjon (Wireframe) og punkttype ).

• NURBS definert overflate; vi noterer oss sjekkpunktene.

Liste over programvare som tillater bruk av NURBS-format

• Moment av inspirasjon
• Neshorn 3D

Eksterne linker

• (in) NURBS med detaljerte interaktive applets
• (no) NURBS med 3ds max tutorials

Bibliografi

(no) The Piegl and Wayne Tiller, The NURBS Book , Springer ( ISBN  3-540-61545-8 )