Nabla
Nabla , bemerket eller i henhold til konvensjonene som brukes, er et matematisk symbol som kan betegne gradienten til en funksjon i vektoranalyse, så vel som en Koszul-forbindelse i differensialgeometri . De to begrepene henger sammen, noe som forklarer bruken av det samme symbolet. I fysikk , er det brukt i dimensjon 3 for enkelt å representere flere vektoroperatorer , som vanligvis brukes i elektromagnetisme og fluiddynamikk .
∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}∇{\ displaystyle \ nabla}
Historisk opprinnelse
Formen på nabla kommer fra den omvendte greske bokstaven delta (Δ), på grunn av en sammenlignbar bruk, den greske bokstaven på stedet blir allerede brukt til å betegne en operatør , Laplacian , i differensialregning .
Definisjonen av nabla ble introdusert i 1847, om enn uten tittel, av William Rowan Hamilton , og Peter Guthrie Tait utviklet teorien fra 1867. Midlertidig ondskapsfullt kallenavn "atled" ("delta" bakover) av James Maxwell i sin korrespondanse, navnet nabla var gitt til ham av Tait på råd fra William Robertson Smith, i 1870, analogt med form med en gresk harpe som i antikken bar dette navnet (νάβλα, nábla ).
Moderne jobb
Nabla er en vektor differensialoperator . I kartesiske koordinater i forhold til en base av det euklidiske rommet med tre dimensjoner , er det skrevet i form:
{x,y,z}{\ displaystyle \ {x, y, z \}} {Jeg→,j→,k→}{\ displaystyle \ {{\ vec {\ mathbf {i}}}, {\ vec {\ mathbf {j}}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \}}
∇→=∂∂xJeg→+∂∂yj→+∂∂zk→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ vec {\ mathbf {i}}} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ vec {\ mathbf {j}}} + {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ vec {\ mathbf {k}}}}, eller i matriseform:
(∂∂x∂∂y∂∂z){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}}}
I den opprinnelige definisjonen som ble foreslått av den irske matematikeren og fysikeren William Rowan Hamilton , ble grunnlaget opprinnelig dannet av de tre grunnleggende elementene i quaternions .
{Jeg,j,k}{\ displaystyle \ {\ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} \}}
Denne operatøren brukes i vektoranalyse . Hvis er et skalarfelt og et vektorfelt , tillater operatøren nabla formelt å uttrykke tre grunnleggende operasjoner:
f{\ displaystyle f}PÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}
- en gradient av en skalar funksjon i et punkt som formelt tilsvarer produktet av vektoren nabla ved en skalar funksjon av dette punkt, og resultatet av dette er en vektor:
grad→f=∇→f=(∂f∂x∂f∂y∂f∂z){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \, f = {\ overrightarrow {\ nabla}} f = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} & { \ frac {\ partial f} {\ partial y}} og {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ end {pmatrix}}}
Vi legger merke til at, i denne notasjonen, kommer vektoren nabla foran skalaren, i motsetning til den vanlige notasjonsrekkefølgen;
- den divergens av en vektorfunksjon av et punkt formelt tilsvarer de skalarproduktet av nabla av denne vektorfunksjon, og resultatet av dette er en skalar:
divPÅ→=∇→⋅PÅ→=∂PÅx∂x+∂PÅy∂y+∂PÅz∂z{\ displaystyle \ operatorname {div} {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}} = {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x} } + {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}}} ;
- den rotasjons av en vektorfunksjon av et punkt formelt tilsvarer kryss produkt av nabla av denne vektorfunksjon, og resultatet av dette er en pseudo-vektor :
å rape→PÅ→=∇→∧PÅ→=(∂PÅz∂y-∂PÅy∂z∂PÅx∂z-∂PÅz∂x∂PÅy∂x-∂PÅx∂y){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {A}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial z}} & {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z} } - {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x}} og {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial A_ {x}} { \ partial y}} \ end {pmatrix}}}.
Videre kan operatøren gjentas, noe som formelt tilsvarer de andre derivatene som kommer inn i uttrykket til laplacian, og gir:
Δf=∇→2f=∇→⋅(∇→f)=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2{\ displaystyle \ Delta f = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} f = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot ({\ overrightarrow {\ nabla}} f) = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f } {\ partial z ^ {2}}}} ;
ΔPÅ→=∇→2PÅ→-∇→∧(∇→∧PÅ→)=∇→(∇→⋅PÅ→)-å rape→(å rape→PÅ→){\ displaystyle \ Delta {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} {\ overrightarrow {A}} - {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge ({\ overrightarrow {\ nabla }} \ wedge {\ overrightarrow {A}}) = {\ overrightarrow {\ nabla}} ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}}) - {\ overrightarrow {\ operatorname {rot} }} ({\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ overrightarrow {A}})}.
Når det er flere referanser, kan symbolet tildeles en bokstav i abonnement for å spesifisere den som operatøren henviser til.
Skjema for vektoranalyse
Listen nedenfor samler definisjonene av hovedoperatørene som brukes i vektoranalyse, som kan uttrykkes ved hjelp av nabla-operatøren, i forskjellige koordinatsystemer .
Kirurgi
|
Kartesiske koordinater (x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}
|
Sylindriske koordinater (r,θ,z){\ displaystyle (r, \ theta, z)}
|
Sfæriske koordinater (r,θ,φ){\ displaystyle (r, \ theta, \ varphi)}
|
---|
Definisjon av koordinater
|
|
{x=rcosθy=rsyndθz=z{\ displaystyle {\ begin {cases} x = r \ cos \ theta \\ y = r \ sin \ theta \\ z = z \ end {cases}}}
|
{x=rsyndθcosφy=rsyndθsyndφz=rcosθ{\ displaystyle {\ begin {cases} x = r \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ y = r \ sin \ theta \ sin \ varphi \\ z = r \ cos \ theta \ end {cases}}}
|
---|
PÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}
|
PÅxu→x+PÅyu→y+PÅzu→z{\ displaystyle A_ {x} {\ overrightarrow {u}} _ {x} + A_ {y} {\ overrightarrow {u}} _ {y} + A_ {z} {\ overrightarrow {u}} _ {z} }
|
PÅru→r+PÅθu→θ+PÅzu→z{\ displaystyle A_ {r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + A _ {\ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + A_ {z} {\ overrightarrow {u}} _ {z}}
|
PÅru→r+PÅθu→θ+PÅφu→φ{\ displaystyle A_ {r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + A _ {\ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + A _ {\ varphi} {\ overrightarrow {u} } _ {\ varphi}}
|
---|
∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}
|
∂∂xux→+∂∂yuy→+∂∂zuz→{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ vec {u_ {x}}} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ vec {u_ {y}}} + {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ vec {u_ {z}}}}
|
u→r∂∂r+1ru→θ∂∂θ+u→z∂∂z{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {r} {\ partial \ over \ partial r} + {1 \ over r} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta} + {\ overrightarrow {u}} _ {z} {\ partial \ over \ partial z}}
|
u→r∂∂r+1ru→θ∂∂θ+1rsyndθu→φ∂∂φ{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {r} {\ partial \ over \ partial r} + {1 \ over r} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta} + {1 \ over r \ sin \ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi} {\ partial \ over \ partial \ varphi}}
|
---|
∇→f=grpåd→f{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} f = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f}
|
∂f∂xu→x+∂f∂yu→y+∂f∂zu→z{\ displaystyle {\ partial f \ over \ partial x} {\ overrightarrow {u}} _ {x} + {\ partial f \ over \ partial y} {\ overrightarrow {u}} _ {y} + {\ partial f \ over \ partial z} {\ overrightarrow {u}} _ {z}}
|
∂f∂ru→r+1r∂f∂θu→θ+∂f∂zu→z{\ displaystyle {\ partial f \ over \ partial r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + {1 \ over r} {\ partial f \ over \ partial \ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + {\ partial f \ over \ partial z} {\ overrightarrow {u}} _ {z}}
|
∂f∂ru→r+1r∂f∂θu→θ+1rsyndθ∂f∂φu→φ{\ displaystyle {\ partial f \ over \ partial r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + {1 \ over r} {\ partial f \ over \ partial \ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + {1 \ over r \ sin \ theta} {\ partial f \ over \ partial \ varphi} {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}
|
---|
∇→⋅PÅ→=dJegvPÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}} = \ mathrm {div} {\ overrightarrow {A}}}
|
∂PÅx∂x+∂PÅy∂y+∂PÅz∂z{\ displaystyle {\ partial A_ {x} \ over \ partial x} + {\ partial A_ {y} \ over \ partial y} + {\ partial A_ {z} \ over \ partial z}}
|
1r∂(rPÅr)∂r+1r∂PÅθ∂θ+∂PÅz∂z{\ displaystyle {1 \ over r} {\ partial (rA_ {r}) \ over \ partial r} + {1 \ over r} {\ partial A _ {\ theta} \ over \ partial \ theta} + {\ delvis A_ {z} \ over \ partial z}}
|
1r2∂(r2PÅr)∂r+1rsyndθ∂(PÅθsyndθ)∂θ+1rsyndθ∂PÅφ∂φ{\ displaystyle {1 \ over r ^ {2}} {\ partial (r ^ {2} A_ {r}) \ over \ partial r} + {1 \ over r \ sin \ theta} {\ partial (A_ { \ theta} \ sin \ theta) \ over \ partial \ theta} + {1 \ over r \ sin \ theta} {\ partial A _ {\ varphi} \ over \ partial \ varphi}}
|
---|
∇→∧PÅ→=rot→PÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ overrightarrow {A}}}
|
(∂PÅz∂y-∂PÅy∂z)u→x{\ displaystyle \ left ({\ partial A_ {z} \ over \ partial y} - {\ partial A_ {y} \ over \ partial z} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {x}}
+(∂PÅx∂z-∂PÅz∂x)u→y{\ displaystyle + \ left ({\ partial A_ {x} \ over \ partial z} - {\ partial A_ {z} \ over \ partial x} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {y}} +(∂PÅy∂x-∂PÅx∂y)u→z{\ displaystyle + \ left ({\ partial A_ {y} \ over \ partial x} - {\ partial A_ {x} \ over \ partial y} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {z}}
|
(1r∂PÅz∂θ-∂PÅθ∂z)u→r{\ displaystyle \ left ({1 \ over r} {\ partial A_ {z} \ over \ partial \ theta} - {\ partial A _ {\ theta} \ over \ partial z} \ right) {\ overrightarrow {u }} _ {r}}
+(∂PÅr∂z-∂PÅz∂r)u→θ{\ displaystyle + \ left ({\ partial A_ {r} \ over \ partial z} - {\ partial A_ {z} \ over \ partial r} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}}+1r(∂(rPÅθ)∂r-∂PÅr∂θ)u→z{\ displaystyle + {1 \ over r} \ left ({\ partial (rA _ {\ theta}) \ over \ partial r} - {\ partial A_ {r} \ over \ partial \ theta} \ right) {\ overstyringspil {u}} _ {z}}
|
1rsyndθ(∂(PÅφsyndθ)∂θ-∂PÅθ∂φ)u→r{\ displaystyle {1 \ over r \ sin \ theta} \ left ({\ partial (A _ {\ varphi} \ sin \ theta) \ over \ partial \ theta} - {\ partial A _ {\ theta} \ over \ partial \ varphi} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {r}}
+(1rsyndθ∂PÅr∂φ-1r∂(rPÅφ)∂r)u→θ{\ displaystyle + \ left ({1 \ over r \ sin \ theta} {\ partial A_ {r} \ over \ partial \ varphi} - {1 \ over r} {\ partial (rA _ {\ varphi}) \ over \ delvis r} \ høyre) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}} +1r(∂(rPÅθ)∂r-∂PÅr∂θ)u→φ{\ displaystyle + {1 \ over r} \ left ({\ partial (rA _ {\ theta}) \ over \ partial r} - {\ partial A_ {r} \ over \ partial \ theta} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}
|
---|
Δf=∇→2f{\ displaystyle \ Delta f = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} f}
|
∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2{\ displaystyle {\ partial ^ {2} f \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial y ^ {2}} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial z ^ {2}}}
|
1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2+∂2f∂z2{\ displaystyle {1 \ over r} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2}} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ theta ^ {2}} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial z ^ {2}}}
|
1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2syndθ∂∂θ(syndθ∂f∂θ)+1r2synd2θ∂2f∂φ2{\ displaystyle {1 \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r ^ {2} {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin \ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left (\ sin \ theta {\ partial f \ over \ partial \ theta} \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ varphi ^ {2}}}
|
---|
ΔPÅ→=∇→2PÅ→-å rape→(å rape→PÅ→){\ displaystyle \ Delta {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} {\ overrightarrow {A}} - {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} ({\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ overrightarrow {A}})}
|
ΔPÅxu→x+ΔPÅyu→y+ΔPÅzu→z{\ displaystyle \ Delta A_ {x} \; {\ overrightarrow {u}} _ {x} + \ Delta A_ {y} \; {\ overrightarrow {u}} _ {y} + \ Delta A_ {z} \ ; {\ overrightarrow {u}} _ {z}}
|
(ΔPÅr-PÅrr2-2r2∂PÅθ∂θ)u→r{\ displaystyle \ left (\ Delta A_ {r} - {A_ {r} \ over r ^ {2}} - {2 \ over r ^ {2}} {\ partial A _ {\ theta} \ over \ partial \ theta} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {r}}
+(ΔPÅθ-PÅθr2+2r2∂PÅr∂θ)u→θ{\ displaystyle + \ left (\ Delta A _ {\ theta} - {A _ {\ theta} \ over r ^ {2}} + {2 \ over r ^ {2}} {\ partial A_ {r} \ over \ partial \ theta} \ høyre) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}}+ΔPÅzu→z{\ displaystyle + \ Delta A_ {z} \; {\ overrightarrow {u}} _ {z}}
|
(ΔPÅr-2PÅrr2-2PÅθcosθr2syndθ-2r2∂PÅθ∂θ-2r2syndθ∂PÅφ∂φ)u→r{\ displaystyle \ left (\ Delta A_ {r} - {\ frac {2A_ {r}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2A _ {\ theta} \ cos \ theta} {r ^ { 2} \ sin \ theta}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial A _ {\ theta}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {r}}
+(ΔPÅθ-PÅθr2synd2θ+2r2∂PÅr∂θ-2cosθr2synd2θ∂PÅφ∂φ)u→θ{\ displaystyle + \ left (\ Delta A _ {\ theta} - {\ frac {A _ {\ theta}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial A_ {r}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {2 \ cos \ theta} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}}+(ΔPÅφ-PÅφr2synd2θ+2r2syndθ∂PÅr∂φ+2cosθr2synd2θ∂PÅθ∂φ)u→φ{\ displaystyle + \ left (\ Delta A _ {\ varphi} - {\ frac {A _ {\ varphi}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + {\ dfrac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial A_ {r}} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {2 \ cos \ theta} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial A _ {\ theta}} {\ partial \ varphi}} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}
|
---|
Bruk av uttrykk i andre koordinatsystemer enn kartesisk krever å være på vakt over anvendelsen av partielle derivater på elementene , og . Sistnevnte er felt med ikke-konstante vektorer , de avslører spesifikke termer når de utsettes for avledningen (i motsetning til , og som har null derivater).
∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}u→φ{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}u→r{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {r}}u→θ{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}} u→x{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {x}}u→y{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {y}}u→z{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {z}}
Annen bruk
På APL-språk betyr tegnet nabla eller del (∇) at du vil gå inn i eller avslutte definisjonsmodus for en funksjon.
Se også
Relaterte artikler
Eksterne linker
Referanser
-
(in) Ivor Grattan-Guinness, Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 , Elsevier ,2005, 1022 s. ( ISBN 0-444-50871-6 ) , s. 466.
-
(in) Liv og vitenskapelig arbeid av Peter Guthrie Tait , Cambridge University Press , 383 s. , s. 143-145.