Nilradikal
I algebra er det nilradikale av en kommutativ ring et spesielt ideal for denne ringen.
Definisjon
La A være en kommutativ ring. Den nilradical av A er det sett av elementer nilpotent av A .
Nilen(PÅ): ={x∈PÅ|∃ikke∈IKKE∗,xikke=0PÅ}{\ displaystyle {\ text {Nil}} (A): = \ {x \ i A \, | \, \ eksisterer n \ i \ mathbb {N} ^ {*}, \; x ^ {n} = 0_ {PÅ}\}}
Med andre ord er det det radikale idealet om idealet redusert til 0.
Eiendommer
Ved å betegne Nil ( A ) det nilradiske av A , har vi følgende utsagn:
- Nil ( A ) er et ideal ;
- Den kvotient ring A / Nil ( A ) har ingen nilpotent elementene (unntatt 0);
- Hvis P er et hovedideal for A , er Nil ( A ) inkludert i P ;
- Hvis s er et element av A som ikke tilhører Nil ( A ), så eksisterer det et hovedideal som s ikke tilhører;
- Nile ( A ) er skjæringspunktet mellom alle primidealer A .
Bevisene til punkt 4 og 5 er basert på det valgte aksiomet .
Demonstrasjoner :
- Poenget som fortjener rettferdiggjørelse er beviset på stabilitet ved tillegg. La x og y være to nilpotenter, og m , n to strengt positive heltall slik at x m = y n = 0. I utvidelsen av uttrykket ( x + y ) m + n -1 av Newtons binomiale formel , er hvert begrep deretter null, så også ( x + y ) m + n -1 = 0;
- La x være en nullpotent av A / Nil ( A ), projeksjon på denne kvotienten av en x av A , og la m være et helt tall slik at ( x ) m = 0.
Per definisjon av en kvotientring er x m derfor nullpotent , så x også, så x = 0 i kvotientringen;
- La x være nullpotent, og m slik at x m = 0. Med andre ord, produktet x . x … x (med m- faktorene alle like x ) er null. Det er en del av P . Per definisjon av et hovedideal, må en av faktorene i dette produktet være i P , derfor tilhører x P ;
- La s ∉ Nil ( A ), dvs. s ikke-nilpotent. Vi betegner med E det settet med idealer av A som ikke inneholder noen kraft av s .
Inkluderingen er en induktiv rekkefølge på E (det er viktig her å legge merke til at E ikke er tom fordi den inneholder idealet redusert til 0 - det er her vi bruker ikke-nilpotensen til s ). I henhold til Zorn s lemma , E innrømmer derfor en maksimal element . Betegn med P et slikt maksimalt ideal. Merk at som P inneholder ingen strøm s , P er en streng del av A .
La oss vise at P er prime. La x og y ikke tilhører P , er det et spørsmål om å bevise at produktet xy ikke tilhører P heller .
Siden x ikke er i P , inneholder den ideelle P + Axen strengt tatt P , så gitt maksimaliteten til P innen E , kan ikke P + Ax være et element i E - med andre ord, den inneholder en kraft av s . Så det eksisterer et p ∈ P , et a ∈ A og et k positivt heltall slik at:
s k = p + øks .På samme måte eksisterer det q ∈ P , b ∈ A og l positivt heltall slik at:
s l = q + av .Vi har da:
s k + l = ( p + ax ) ( q + by ) = pq + ( ax ) q + ( by ) p + ( ab ) ( xy ).Nå hører ikke s k + l til P (fordi P er et element i E ), mens pq + ( ax ) q + ( av ) p er i P (fordi p og q er der). Så xy ikke tilhører P .
Så P er et hovedideal;
- Dette er syntesen av punkt 3 og 4.
Henvisning
(en) Michael Atiyah og Ian G. Macdonald , Introduksjon til kommutativ algebra , Cambridge, Addison-Wesley ,1969( ISBN 978-0-201-00361-1 , leses online ) , s. 5
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">