Kvotient ring

I matematikk er en kvotientring en ring som man konstruerer på kvotensettet til en ring ved en av dens bilaterale idealer .

Definisjon

La A være en ring . Addisjon og multiplikasjon av A er forenlig med en ekvivalensrelasjon på A hvis (og bare hvis) dette er på formen: x ~ y ⇔ x - y ∈ jeg , for noen to- tailed ideelle jeg på A .

Vi kan da gi kvotientsettet A / I med tillegg og multiplikasjonskvotienter for de av A :

{\ displaystyle (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, \ quad (x + I) \ times (y + I) = (x \ cdot y) + I}

Dette gir A / I en ringstruktur, kalt kvotientringen av A av I (dens additivgruppe er kvotientgruppen til ( A , +) av I ).

Den kanoniske kart π : A → A / I er da en ring homomorfi , av kjernen I .

Eksempler

A / A er den trivielle ringen (redusert til 0).
A / {0} er isomorf til A .
Hvis A = Z (ringen av heltall ) og I = n Z for et heltall n , kvotienten ring A / I er den ring Z / n Z . Denne strukturen er grunnlaget for modulær aritmetikk .
For A = R [ X ], ring av polynomer med reelle koeffisienter og jeg er hovedidealet generert av X 2 + 1, er A / I en ring isomorf til C , feltet med komplekse tall .

Motivasjoner

Bruken av Z / n Z- ringen i tallteori illustrerer effektiviteten ved å innføre kvotientringer. Dermed Diofantisk ligningen ax + by = 1 , som kan behandles ved fremgangsmåter for aritmetisk ganske basisk, kan også tolkes som et tegn på den inverse av en i ringen kvotienten Z / b Z . For dette synspunktet er det løsninger hvis og bare hvis klassen a er et inverterbart element i kvotientringen, dvs. hvis og bare hvis en prime med b . De mulige verdiene av x er da heltallene som projiseres i Z / b Z på denne inversen av klassen a .

Saken til kvotientene Z / p Z der p er prime er spesielt fruktbar. Ringen Z / p Z er da et kommutativt felt, og vi drar nytte av rikdommen i denne strukturen. Den Fermats lille teorem eller Wilson teorem er to eksempler i elementær regning som kan ha nytte av slik behandling.

I utvidelsen av denne ideen, i kommutativ algebra , er kvotientringen av et maksimalt ideal systematisk et kommutativt felt, kalt restfelt . Som i de foregående eksemplene, kan bruken av den returnere informasjon om ringen som er sitert; det kan også være et mål i seg selv, da det gir en effektiv metode for å konstruere nye kommutative felt. I de foregående eksemplene nevnte vi konstruksjonen av feltet C av komplekse tall ved denne teknikken; det er et spesielt tilfelle av konstruksjonen av bruddlegemet til et irredusibelt polynom med koeffisienter i et kommutativt felt. Denne prosessen tillater også konstruksjon av alle endelige felt .

Enhver kommutativ ring A er kvotienten til ringen av polynomer av idealet som genereres av alle elementene i formen eller . Denne bemerkningen gjør det mulig å bevise enhver universell uttalelse av kommutativ algebra, være fornøyd med å bevise det for ringene til polynomer med heltallskoeffisienter (for en utvidelse av denne ideen, se for eksempel det generelle beviset for Cayleys teorem-Hamilton ). ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [(X_ {a}) _ {a \ in A} \ right]}$ ${\ displaystyle X_ {a + b} -X_ {a} -X_ {b}}$ ${\ displaystyle X_ {ab} -X_ {a} X_ {b}}$

Ringer kvotienter av ikke nødvendigvis maksimale idealer er allestedsnærværende i algebraisk geometri . Det første eksemplet er at ringen av vanlige funksjoner over et affinalt algebraisk sett .

Universelle eiendeler til kvotienter og den første isomorfismen

Følgende teorem, eller veldig nære varianter, kjennetegner kvotienten:

La meg være et tosidig ideal for en ring A ; Vi betegner væreTI den kanoniske projeksjon av A på A / jeg . Er ellers en morfisme av ringer av A til en ring B null på jeg . Det er da en og bare en morfisme fra A / I til B som . $\ varphi$ ${\ displaystyle {\ overline {\ varphi}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ varphi}} \ circ \ pi = \ varphi}$

Denne universelle egenskapen kan også brukes som en alternativ definisjon av "a" kvotient av A av I , idet det forstås at dens eksistens da blir bevist ved å ta opp konstruksjonen på kvotientsettet tatt ovenfor for definisjon, og at jeg er unik opp til isomorfisme er vist i noen få linjer.

Ved å bruke den på kjernen utleder vi følgende setning:

La φ en morfisme av ringene til en ring A til en ring B null på jeg . Det er en unik isomorfisme mellom ringene A / Ker φ og Im φ som bytter til diagrammet nedenfor: ${\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}}}$

Vi trekker straks ut den " første teoremet om isomorfisme ":

La φ en morphism ring hvis ring er kjent fra A . Så:

{\ displaystyle \ mathrm {Im} \ varphi \ simeq A / \ mathrm {Ker} \ varphi}

Således er bildet som har en morphism En startingen er alltid isomorf med en kvotient av A .

Kvoter av kvoter, underringer av kvoter, kvoter av underringer

Kvotienter av en ringkvotient: den tredje isomorfismen

En kvotient ring av en kvotient ring en ring A kan tolkes direkte som en kvotient A .

Mer presist, la A være en ring og jeg et tosidig ideal for A ; Vi betegner væreTI den kanoniske projeksjon av A på A / jeg . Det ordnede settet (ved inkludering) av bilaterale idealer for A / I er i orden-respekterende sammenheng med settet med bilaterale idealer for A som inneholder I , nøyaktig:

Søknaden er en Bijeksjon mellom settet av tosidige ideal av A inneholdende I og alle sidige idealer A / I . ${\ displaystyle J \ mapsto J / I}$

Når vi vet at de tosidige idealene til A / I er av formen J / I, kan vi være mer presise, og belyse strukturen til kvotienten, og resultatet er kjent som "det tredje isomorfiske setningen ":

La A være en ring, I tosidig ideell av A og J tosidig ideell for A inneholdende I . Da er J / I et tosidig ideal for A / I , og det er en isomorfisme:

{\ displaystyle \ left (A / I \ right) / \ left (J / I \ right) \ simeq A / J}

Underringer av en kvotientring

Med de samme merknadene som i forrige underavsnitt, tilsvarer underringene til kvotientringen A / I underringene til A som inneholder I akkurat som idealene var. Nettopp:

Søknaden er en Bijeksjon mellom alle under ringene A inneholdende I og alle sub-ringer A / I . $B \ mapsto B / I$

Ringer-kvotienter for en subring: den andre isomorfismen

I denne delen, begynner vi tvert imot en ring A og en subring B til A , og man er interessert i ringer kvotienter av B . Det er ikke så enkelt som i den forrige situasjonen: det er ikke generelt sett med ringer quotients En som kan settes i Bijeksjon med settet av alle kvotienten ringer B .

Det har fortsatt noe å si hvis vi ikke deler med en kvotient av noen tosidig ideal av B , men av en tosidig ideal form B ∩ jeg , der jeg er en ideell for A . Den andre isomorfismen gir deretter en alternativ beskrivelse av kvotientringen B / B ∩ I ;

Eller en ring, B ring sub- A og I en to-sidig ideell for A . Da er B + I en delring av A og B ∩ I et ideal av B , og det er en isomorfisme:

B / (B \ cap I) \ simeq (B + I) / I

Kvotienter i kommutativ algebra

La A være en kommutativ ring :

Per definisjon er jeg et hovedideal hvis A / I er integrert . Vi utleder at jeg er primær hvis og bare hvis det er et skikkelig ideal ( dvs. forskjellig fra A ) tilfredsstillende: hvis et produkt av elementer av A tilhører jeg, tilhører minst en av faktorene jeg .
Jeg er et maksimalt ideal hvis og bare hvis A / I er et felt .

Merknader og referanser

N. Bourbaki , Elements of mathematics , Algebra, kapittel 1 til 3 , s. I-100 og I-101.
Bourbaki , s. AI-106.
Annette Paugam, Aggregation of Mathematics. Delikate spørsmål i algebra og geometri , Paris, Dunod ( ISBN 978-2-10-051378-9 , merknad BnF n o FRBNF41145446 ) , s. 154.
Paugam , kap. 4 ("Hva er bruken av kvotient? Noen eksempler"), s. 147-165 og, for endelige felt, s. 171-174 .
Dette eksemplet er nevnt og diskutert av Igor Chafarevich , " Basic notions of Algebra " i (en) AI Kostrikin - IR Shafarevich (red.), Algebra I , koll. "Encyclopaedia of Mathematical Sciences", vol. 11, trad. M. Reid, Springer-Verlag, 1990, ( ISBN 0-387-17006-5 ) , s. 31-32 .
(i) Paul Cohn , Algebra , t. 2, Chichester, Wiley,1989, 2 nd ed. , innbundet ( ISBN 978-0-471-92234-6 ) , s. 302.
Paugam , s. 120-124.
Cohn 1989 , s. 303, som kaller følgende påstand for "første isomorfismesetning" og ikke følgen som er isolert nedenfor under dette navnet her.
Cohn 1989 , s. 303 (for hele denne delen og dens tre underavdelinger).
Cohn 1989 , s. 303.

Relatert artikkel

Faktoriseringsteori