Hovednummeret til Sophie Germain

Et primtall G kalles Sophie Germain primtall hvis 2 G + 1 også er et primtall, som da kalles et trygt primtall og noteres S i det følgende.

En følge av Sophie Germain-setningen er at for disse primtallene er et bestemt tilfelle av den siste Fermats teorem (det "første tilfellet" ) sant, det vil si at det ikke er noe heltall x , y , z alle tre ikke kan deles med G slik at x G + y G = z G .

Det antas at det er uendelig med Sophie Germain primtall; Imidlertid, som med tvillingens primære antagelser , har dette ennå ikke blitt demonstrert.

Sophie Germain primtallister

De første førtifem primtallene til Sophie Germain er (se fortsettelse A005384 av OEIS ):

2 , 3 , 5 , 11 , 23 , 29 , 41 , 53 , 83 , 89 , 113 , 131 , 173 , 179 , 191 , 233 , 239 , 251 , 281 , 293 , 359 , 419 , 431 , 443 , 491 , 509 , 593 , 641 , 653 , 659 , 683 , 719 , 743 , 761 , 809 , 911 , 953 , 1.013 , 1.019 , 1.031 , 1.049 , 1.103 , 1.223 , 1.229 og 1.289 .

De er klassifisert i de to tabellene nedenfor, ordnet i formen G i skrevet med fet skrift under deres forekomst i den komplette listen over primtall p , assosiert med deres sikre primtall, notert S i = 2 G i + 1 i boksen rett nedenfor .

Primtall av Sophie Germain mellom 0 og 127

Denne artikkelen kan inneholde upubliserte arbeider eller ubekreftede uttalelser (mars 2015).

Du kan hjelpe ved å legge til referanser eller fjerne upublisert innhold. Se samtalesiden for mer informasjon.

De seksten Sophie Germain G- primtallene mellom 2 og 127 er presentert i tabell 1 nedenfor. Fra 131 er de mellomliggende ordinære primtall p ikke lenger indikert.

Tabell 1: Alle primtallene p mellom 0 og 127, inkludert primtallene til Sophie Germain G ; deres første resulterende sikre S = 2 G + 1.

tiår med heltall n	første tiåret	andre tiår	tredje tiår	fjerde tiår	femte tiår	sjette tiår	syvende tiår	åttende tiår	niende tiår	tiende tiår	ellevte tiår	tolvte tiår	trettende tiår
heltall n =	00 til 09	10 til 19	20 til 29	30 til 39	40 til 49	50 til 59	60 til 69	70 til 79	80 til 89	90 til 99	100 til 109	110 til 119	120 til 127
prim som G i og S i	-	11 G 4 og S 3	23 G 5 og S 4	31	41 G 7	53 G 8	61	71	83 G 9 og S 7	97	101	113 G 11	127
S	-	S 4 = 23	S 5 = 47	-	S 7 = 83	S 8 = 107	-	-	S 9 = 167	-	-	S 11 = 227	-
prim som G i og S i	-	1. 3	29 G 6	37	43	59 S 6	67	73	89 G 10		103		( 131 ) ( G 12 )
S	-	-	S 6 = 59	-	-	-	-	-	S 10 = 179		-		(S 12 = 263)
prim som G i og S i	2 G 1	17			47 S 5			79			107 S 8		( 173 ) ( G 13 )
S	S 1 = 5	-			-			-			-		(S 13 = 347)
prim som G i og S i	3 G 2	19									109		( 179 ) (S 10 og G 14 )
S	S 2 = 7	-									-		(S 14 = 359)
prim som G i og S i	5 G 3 og S 1												( 191 ) ( G 15 )
S	S 3 = 11												(S 15 = 383)
prim som G i og S i	7 S 2												( 233 ) ( G 16 )
S	-												(S 16 = 467)
delsummene til p, G i , S i , etter tiår	4 p 3 G 2 S	4 p 1 G 1 S	2 p 2 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 1 G 1 S	2 p 1 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 0 G 0 S	2 p 2 G 1 S	1 p 0 G 0 S	4 p 0 G 1 S	1 p 1 G 0 S	1 p 0 G 0 S
Totaler og forhold A	- A1 - 25 eller 25% av primtall p blant de 100 heltallene n mellom 0 og 99, som skal sammenlignes med: 10 eller 10% av primtalene til Sophie Germain G blant de 100 heltallene n mellom 0 og 99. 7 eller 7% av sikre primtall S blant de 100 heltallene n mellom 0 og 99. - A2 - 46 eller 23% av primtalene "p" blant de 200 heltallene n mellom 0 og 199, som skal sammenlignes med: 15 eller 7,5% av primtallene til Sophie Germain G blant de 200 heltallene "n" mellom 0 og 199. 10 eller 5% av sikre primtall S fortynnet blant de 200 heltallene n mellom 0 og 199.
Totaler og forholdstall B	- B1 - 31 dvs. 24% av primtall p blant de 128 heltallene n mellom 0 og 127, som skal sammenlignes med: 11 eller 8,6% av primtallene til Sophie Germain G blant de 128 heltallene n mellom 0 og 127. 8 eller 6,25% av sikre primtall S blant de 128 heltallene "n" mellom 0 og 127. - B2 - 54 eller 21% av primtall p blant de 256 heltallene n mellom 0 og 255, som skal sammenlignes med: 18 eller 7% av primtalene til Sophie Germain “G” blant de 256 heltallene n mellom 0 og 255. 11 eller 4,3% av sikre primtall S fortynnet blant de 256 heltallene n mellom 0 og 255.

Tallet 0 er ikke prime. Derfor er 1 = 2 × 0 + 1 ikke et sikkert primtall.
Tall 1 er ikke prim. Derfor er 3 = 2 × 1 + 1 ikke et trygt primtall.
De to komplementære Sophie Germain-primtallene mindre enn 256 som ikke vises i tabellen er: G 17 = 239 og G 18 = 251.

Primtall av Sophie Germain mellom 0 og 1023

Denne artikkelen kan inneholde upubliserte arbeider eller ubekreftede uttalelser (mars 2015).

Du kan hjelpe ved å legge til referanser eller fjerne upublisert innhold. Se samtalesiden for mer informasjon.

Primtallene til Sophie Germain G mellom 2 og 1 023 er vist i tabell 2 nedenfor. Fra 1031 er de mellomliggende ordinære primtall p ikke lenger indikert.

Tabell 2: Alle primtallene p mellom 0 og 1023, inkludert primtallene til Sophie Germain G ; deres første resulterende sikre S = 2 G + 1.

hundrevis av heltall n		første øre			andre cent			tredje cent		fjerde cent		femte øre		sjette cent		syvende cent		åttende cent		niende cent		tiende cent		+ 23 → 1023
Typ	Antall	00	10	20	00	10	20	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00
p G i S i	01	2 G 1	31	73	101	151	199	211	269	307	367	401	461	503 S 18	577	601	659 G 30	701	769	809 G 35	863 S 23	907	977	1009
S		S 1 = 5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	S 30 = 1319	-	-	S 35 = 1619	-	-	-	-
p G i S i	02	3 G 2	37	79	103	157		223	271	311	373	409	463	509 G 26	587 S 20	607	661	709	773	811	877	911 G 36	983 S 25	1013 G 38
S		S 2 = 7	-	-	-	-		-	-	-	-	-	-	S 26 = 1019	-	-	-	-	-	-	-	S 36 = 1823	-	S 38 = 2027
p G i S i	03	5 G 3 S 1	41 G 7	83 G 9 S 7	107 S 8	163		227 S 11	277	313	379	419 G 22	467 S 16	521	593 G 27	613	673	719 G 32 S 21	787	821	881	919	991	1019 G 39 S 26
S		S 3 = 11	S 7 = 83	S 9 = 167	-	-		-	-	-	-	S 22 = 839	-	-	S 27 = 1187	-	-	S 32 = 1439	-	-	-	-	-	S 39 = 2039
p G i S i	04	7 S 2	43	89 G 10	109	167 S 9		229	281 G 19	317	383 S 15	421	479 S 17	523	599	617	677	727	797	823	883	929	997	1021
S		-	-	S 10 = 179	-	-		-	S 19 = 563	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
p G i S i	05	11 G 4 S 3	47 S 5	97	113 G 11	173 G 13		233 G 16	283	331	389	431 G 23	487	541		619	683 G 31	733		827	887 S 24	937		( 1031 ) (G 40 )
S		S 4 = 23	-	-	S 11 = 227	S 13 = 347		S 16 = 467	-	-	-	S 23 = 863	-	-		-	S 31 = 1367	-		-	-	-		( S 40 = 2063 )
p G i S i	06	1. 3	53 G 8		127	179 G 14 S 10		239 G 17	293 G 20	337	397	433	491 G 25	547		631	691	739		829		941		(1049) (G 41 )
S		-	S 8 = 107		-	S 14 = 359		S 17 = 479	S 20 = 587	-	-	-	S 25 = 983	-		-	-	-		-		-		( S 41 = 2099 )
p G i S i	07	17	59 S 6		131 G 12	181		241		347 S 13		439	499	557		641 G 28		743 G 33		839 S 22		947		(1103) (G 42 )
S		-	-		S 12 = 263	-		-		-		-	-	-		S 28 = 1283		S 33 = 1487		-		-		( S 42 = 2207 )
p G i S i	08	19	61		137	191 G 15		251 G 18		349		443 G 24		563 S 19		643		751		853		953 G 37		(1223) (G 43 )
S		-	-		-	S 15 = 383		S 18 = 503		-		S 24 = 887		-		-		-		-		S 37 = 1907		( S 43 = 2447 )
p G i S i	09	23 G 5 S 4	67		139	193		257		353		449		569		647		757		857		967		(1229) (G 44 )
S		S 5 = 47	-		-	-		-		-		-		-		-		-		-		-		( S 44 = 2459 )
p G i S i	10	29 G 6	71		149	197		263 S 12		359 G 21 S 14		457		571		653 G 29		761 G 34		859		971		(1289) (G 45 )
S		S 6 = 59	-		-	-		-		S 21 = 759		-		-		S 29 = 1307		S 34 = 1523		-		-		( S 45 = 2579 )
ss-totaler og forholdstall prosent		25 p → 25% 10 G → 10% 7 S → 7%			21 p → 21% 5 G → 5% 3 S → 3%			16 p → 16% 5 G → 5% 2 S → 2%		16 p → 16% 1 G → 1% 3 S → 3%		17 p → 17% 4 G → 4% 2 S → 2%		14 p → 14% 2 G → 2% 3 S → 3%		16 p → 16% 4 G → 4% 0 S → 0%		14 p → 14% 3 G → 3% 1 S → 1%		15 p → 15% 1 G → 1% 3 S → 3%		14 p → 14% 2 G → 2% 1 S → 1%		4 p 2 G 1 S
Totaler og forhold A		- A1 - 168 dvs. 16,8% av primtall p blant de 1000 heltallene n mellom 0 og 999, som skal sammenlignes med: 37 eller 3,70% av primtallene til Sophie Germain G blant de 1000 heltallene n mellom 0 og 999. 25 eller 2,50% av sikre primtall S blant de 1000 heltallene n mellom 0 og 999. - A2 - 303 eller 15,2% av primtalene p blant de 2000 heltallene n mellom 0 og 1999, som skal sammenlignes med :? er ? % Av tall først Sophie Germain G blant 2000 heltall n mellom 0 og 1 999 37 1,85% av første bestemte tall S fortynnet blant 2000 heltall n mellom 0 og 1999.
Totaler og forholdstall B		- B1 - 172 dvs. 16,8% av primtall p blant de 1.024 heltallene n mellom 0 og 1023, som skal sammenlignes med: 39 eller 3,81% av primtall av Sophie Germain G blant 1024 hele tall n mellom 0 og 1023. 26 eller 2,54% av at primtall S blant de 1024 heltall n er mellom 0 og 1 023. - B2 - 309 eller 15,1% av primtall p blant de 2.048 heltallene n mellom 0 og 2047, som skal sammenlignes med :? er ? % Av tall først Sophie Germain G blant 2048 heltall n mellom 0 og 2 047. 39 er 1,90% av første bestemte tall S fortynnet blant 2048 heltall n mellom 0 og 2047.

Sophie Germains første elementære forhold mellom tall

Bortsett fra de viktigste Sophie Germain-tallene, har alle Sophie Germain-tallene formen 11 + 30n eller 23 + 30n eller 29 + 30n der n er et heltall. Dette er resultater fra studien av gruppen Z / 30Z-enheter. Denne typen forhold, som kan generaliseres, er nyttig for å begrense for eksempel studiene av mulige tilfeller innenfor rammen av et søk på Sophie Germain-tall fra datamaskiner.

Mengden primtall av Sophie Germain

Et heuristisk estimat for mengden Sophie Germain primer mindre enn n er 2 C 2 n / ( ln n ) ² hvor C 2 er konstanten av tvillingprim , omtrent lik 0,660161. For n = 10 4 , forutsier denne anslaget 156 Sophie Germain primtall, noe som er 20% feil i forhold til den eksakte verdi på 190 ovenfor. For n = 10 7 , forut anslaget 50 822, som er 10% avvik fra den eksakte verdi på 56.032.

Cunningham Range

En sekvens { p , 2 p + 1, 2 (2 p + 1) + 1, ...} av Sophie Germain primtall kalles en Cunningham-kjede av første slag. Hvert begrep i en slik sekvens, med unntak av det første og det siste, er både Sophie Germain primtall og et sikkert primtall. Den første er et Sophie Germain-tall, det siste et sikkert primtall.

Eksempel på påføring

La være et primtall på skjemaet . Deretter er et Sophie Germain-primtall hvis og bare hvis Mersenne- tallet er et sammensatt tall som er en divisor. Denne setningen på grunn av Euler kan brukes som en primalitetstest ; for eksempel er 83 prime (og 83 = 4 × 20 + 3) samt 167 = 2 × 83 + 1. Derfor er delelig med 167 og er derfor ikke prime. $s$ ${\ displaystyle p = 4k + 3}$ $s$ $M_p = 2 ^ p - 1$ ${\ displaystyle 2p + 1}$ ${\ displaystyle M_ {83} = 2 ^ {83} -1}$

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen “ Sophie Germain prime ” ( se listen over forfattere ) .

G. H. Hardy og EM Wright ( oversatt fra engelsk av François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Introduksjon til tallteorien [" En introduksjon til teorien om tall "] [ detalj av utgaven ], kapittel 6 (“Fermats teorem og dets konsekvenser”), avsnitt 6.15.

Se også

Relatert artikkel

Dicksons formodning

Ekstern lenke

" Numbers - Curiosities, theory and uses: Prime numbers of Sophie Germain " , på villemin.gerard.free.fr