Firkantet pyramidenummer

I geometrisk aritmetikk er et kvadratisk pyramidetall et figurertall som kan representeres av en pyramide med en kvadratisk base , hvor hvert lag representerer et kvadratnummer .

De ti første er 1 , 1 + 4 = 5 , 5 + 9 = 14 , 14 + 16 = 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 og 385 .

Vi viser ved induksjon at for ethvert heltall n ≥ 1 er n-det firkantede pyramidetallet, summen av det første n kvadratnummeret :

P ^ {(4)} _ n = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} 6.

Eiendommer

De eneste to firkantede pyramidetallene som er firkantede tall er P 1 (4) = 1 = 1 2 og P 24 (4) = 4900 = 70 2 . Dette resultatet, antatt av Edward Lucas i 1875, ble fullført for å bevise av George Neville Watson i 1918 , som løser " kanonkuleproblemet ": kan vi danne, med samme antall kuler, et kvadrat spredt ut på bakken og et kvadrat base pyramide?

Det niende firkantede pyramidetallet er en fjerdedel av det (2 n ) -te tetraedretallet .

Den Summen av den n -te og ( n - 1) 'te tall firkantet pyramide er den n- te nummer oktahedrale .

Et eksempel: Antall firkanter i et firkantet rutenett

Hvor mange forskjellige firkanter er det i et nxn firkantet rutenett?

Antall kvadrater 1 x 1 er n 2 .
Antall 2 x 2 firkanter er (n-1) ² , som man kan se ved å danne en første rad med 2 x 2 firkanter øverst på rutenettet.
Mer generelt er antall kvadrater kxk (1 ≤ k ≤ n ) ( n - k + 1) 2 .

Totalt antall kvadrater (små og store) blir deretter gitt av det tilsvarende firkantede pyramidetallet: 1 kvadrat i et 1 x 1 rutenett, 5 kvadrater (ett 2 x 2 og fire 1 x 1) i et 2 x 2 rutenett. .. 55 firkanter av størrelse 1, 2, 3, 4 eller 5 i et 5 x 5 rutenett ...

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Square pyramidal number " ( se listen over forfattere ) .

For de første 1000, se denne lenken i A000330- pakken til OEIS .
(i) Eric W. Weisstein , " Square pyramidal Number " på MathWorld .
(in) Eric W. Weisstein , " Cannonball Problem " på MathWorld .
(i) John H. Conway og Richard K. Guy , The Numbers Book , Springer ,1996( les online ) , s. 50.