I matematikk sies en (assosiativ enhets) algebra over et kommutativt felt å være enkel hvis den underliggende ringen er enkel , dvs. hvis den ikke innrømmer et tosidig ideal annet enn {0} og det -samme, og hvis dessuten det reduseres ikke til 0. Hvis A er en enkel ring , så dens sentrum er et kommutativt felt K , og tatt i betraktning A som en algebra enn K , da A er en enkel algebra enn K .
Deretter betegner vi med K et kommutativt felt, og enhver algebra over K antas å ha en endelig dimensjon over K
En algebra over K sies å være sentral hvis den ikke er redusert til 0, og hvis dens sentrum er dens underliggende K .1. Enten En enkel algebra løpet K . Mens sentrum av A er en utvidelsesfelt (kommutativ) Z av K , A kan betraktes som en algebra enn Z , og A er en sentral enkelt algebra (i) på Z . Dermed koker en del av studien av enkle algebraer over et kommutativt felt til studiet av sentrale enkle algebraer over et kommutativt felt.
Her vil vi studere sentrale enkel algebra (eller sentral enkel algebra) på K .
Eksempler
Vi sier at en sentral enkel algebra løpet K er utplassert ( splitt på engelsk) hvis det foreligger et heltall n ≥ 1, slik at A er isomorf med den algebra M n ( K ) av kvadratiske matriser av orden n .
La A en algebra løpet K . Det tilsvarer å si at:
La D og D 'være algebraer med sentrale divisjoner over K , n og n ' heltall ≥ 1. For at algebra M n ( D ) og M n ' ( D ') skal være isomorf, er det nødvendig og tilstrekkelig at n = n 'og at algebra D og D ' er isomorf. La E og E 'være vektorrom med ikke-null endelige dimensjoner på henholdsvis D og D '. For at algebraene End D ( E ) og End D ' ( E ') over K skal være isomorfe, er det nødvendig og tilstrekkelig at algebrafeltene D og D 'over K er isomorfe og at dimensjonene til E og E ' er like .
Klassifiseringen av sentrale enkel algebra løpet K er derfor redusert til klassifisering av sentrale divisjonen algebras enn K .
Enten En sentral vanlig algebra og M et finitely generert modul enn A . Da K -algebra av endomorphisms av M er en enkelt sentral algebra enn K .
De sentrale enkle algebraene over K har flere bemerkelsesverdige egenskaper.
La En sentral enkelt algebra løpet K og B en enkel algebra løpet K . Uansett (enhetlige) homorfismer f og g av A i B , eksisterer det et inverterbart element b av B slik at g ( x ) = bf ( x ) b −1 , for ethvert element x av A ( f og g blir derfor konjugert ).
Spesielt er hvilken som helst automorfisme av A en indre automorfisme av A , dvs. den har formen x ↦ axa −1 , hvor a er et inverterbart element i A , og denne automorfismen blir da betegnet med Int a . Kartleggingen av en ↦ Int a av gruppen A * av de inverterbare elementene i A i gruppen Aut K ( A ) av automorfismer av K- algebra A er surjective, og kjernen er gruppen K * av ikke-null skalarer av K , og vi får dermed en isomorfisme av grupper fra A * / K * på Aut K ( A ).
Eller D en sentral avdeling algebra på K og E et vektorrom med endelig dimensjon n i løpet av K . Så er gruppen av inverterbare elementer i End ( E ) den lineære gruppen GL ( E ) av E , og kartet f ↦ Int f fra GL ( E ) til Aut K (End ( E )) er en overveiende homomorfisme med kjerne K , og vi får dermed en isomorfisme fra GL ( E ) / K * på Aut K (End ( E )). Hvis n ≥ 2, så er gruppen GL ( E ) / K * kanonisk isomorf til den projiserende gruppen i det projiserende rommet P ( E ).
Eller en en enkelt sentral algebra løpet K . Da er dimensjonen til A over K en firkant d 2 , og vi kaller grad av A det naturlige tallet d .
La En sentral enkelt algebra løpet K og av graden av A . Det eksisterer en kommutativ overbygning L av K slik at den sentrale enkle L- algebra L ⊗ K A på L utledet fra A ved forlengelse av skalarene fra K til L er utplassert, dvs. isomorf til M d ( L ), og det sies at et slikt forlengelsesfelt L av K er et nøytraliserende organ eller et organ for utplassering av et .
Eksempler
Det eksisterer et nøytraliserende felt L av A slik at dimensjonen til L er endelig, og slik at L (betraktet som en utvidelse av K ) er Galois .
Eller D en sentral divisjon algebra løpet K . Så eksisterer det et maksimalt element L for inkluderingsrelasjonen til settet med underfelt av D som er kommutativ. Da er L et nøytraliserende legeme av D , og mer generelt av M n ( D ). Derfor, for en hvilken som helst endelig dimensjonalt vektorrommet E på D , L er et nøytraliserende felt i ende ( E ).
Til et element i en sentral enkel algebra kan vi knytte skalarer som generaliserer sporet , determinanten og et polynom som generaliserer de karakteristiske polynomiske , firkantede matriser og endomorfismer av vektorrom på et kommutativt felt.
La En sentral enkelt algebra på K , av graden av A , L en nøytraliserende kropp A og B = L ⊗ K A til L Central Enkel algebra utledes fra A ved forlengelse av skalarer K til L . For et hvilket som helst element x av A og for noen av isomorfi L -algebraer h fra B på M D ( L ), det spor, determinanten og det karakteristiske polynom av matriksen h (1 ⊗ x ) av M D ( L ) ikke gjør avhenger av A og x (og ikke L eller h ), og kalles spor redusert , standard lite og karakteristisk polynom redusert til x i A (av K ), og vi betegner Trd A / K ( x ), Nrd A / K ( x ) og Prd A / K ( x ).
For eksempel, hvis A = M d ( K ) eller A = slutt K ( E ), der E er et ikke-null endelig dimensjonalt vektorrom over K , reduseres sporet, redusert norm og redusert karakteristisk polynom av et element av A er ingen ringere enn dens spor, dens determinant og dens karakteristiske polynom.
Generelt :
La E være et endelig dimensjonalt vektorrom n over feltet H for kvaternioner . Da er graden A = End H ( E ) 2 d . Ved begrensning av skalarene kan vi betrakte E som et komplekst vektorrom E 0 , og deretter er End H ( E ) en reell enhetssubalgebra til den komplekse sentrale enkle algebra End C ( E 0 ). For enhver endomorfisme f av E er det reduserte sporet, den reduserte normen og det reduserte karakteristiske polynomet til elementet f av A ingen ringere enn sporet, normen og det karakteristiske polynomet til elementet f i End C ( E 0 ).
La f være en endomorphism av E . Vi kaller spor av f og vi betegner med Tr f redusert spor av f , delt med 2. Den reduserte normen for f er et positivt eller null reelt tall , og vi kaller deretter determinant for f og vi betegner med det f kvadratroten til den reduserte normen for f .