Ordinær grense

I matematikk og mer presist i settet teori , en grense ordinal er et ikke-null ordenstall som ikke er en etterfølger ordinal .

Definisjon

I henhold til definisjonen ovenfor er en ordinær α grense hvis og bare hvis den tilfredsstiller et av følgende ekvivalente forslag:

α ≠ 0 og ∀ β β + 1 ≠ α;
0 <α og ∀ β <α β + 1 <α;
α ≠ 0 og ∀ β <α ∃ γ β <γ <α;
α er ikke-null og lik den øvre grensen til alle ordinals som er strengt lavere enn den (settet med ordinals strengt lavere enn en etterfølger ordinal β +1 har et større element , ordinalt β);
som et sett med ordener er α ikke tomt og har ikke et større element;
α kan skrives i form ω · γ med γ> 0;
α er et akkumuleringspunkt for klassen av ordinære tall, utstyrt med topologien i ordenen .

Noen lærebøker inkluderer også 0 blant grenseverdiene.

Eksempler

Klassen av ordinære tall er godt ordnet , det finnes en grense ordinær mindre enn alle de andre, bemerket ω. Denne ordinalen ω er også den minste uendelige ordinalen og er den øvre grensen for naturlige tall . Den neste grenseordinasjonen er ω + ω = ω · 2, etterfulgt av ω · n , for alle naturlige tall n . Fra foreningen av alle ω · n får vi ω · ω = ω². Denne prosessen kan gjentas for å produsere:

\ omega ^ {3}, \ omega ^ {4}, \ ldots, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {{\ omega ^ {\ omega}}}, \ ldots, \ epsilon _ {0} = \ omega ^ {{\ omega ^ {{\ omega ^ {{~ \ cdot ^ {{~ \ cdot ^ {{~ \ cdot}}}}}}}}}}, \ ldots

Alle disse ordinalene er fortsatt tellbare . Imidlertid er det ingen rekursivt opptellbare metoder for å konsekvent navngi alle ordinaler som er mindre enn kirken - Kleene ordinal , som i seg selv er tellbar.

Den første utallige ordinæren blir generelt notert ω 1 . Det er også en grense ordinær.

Fortsetter kan vi definere følgende grenseverdier, som tilsvarer kardinaler :

\ omega _ {2}, \ omega _ {3}, \ ldots, \ omega _ {\ omega}, \ omega _ {{\ omega +1}}, \ ldots, \ omega _ {{\ omega _ {\ omega}}}, \ ldots

Generelt oppnår vi en grenseordning ved å vurdere foreningen av et sett med ordinaler som ikke tillater et større element.

Ordinaler av formen ω²α, for α> 0, er grenser for grenser, etc.

Merknader og referanser

(i) Kenneth Kunen , Set Theory: An Introduction to Independence Bevis , Amsterdam / New York, North-Holland,1980, 313 s. ( ISBN 978-0-444-85401-8 ).
(i) Thomas Jech , Set Theory , Springer ( lese på nettet ).
Formelt er kardinalen ℵ α per definisjon ω α . Som enhver kardinal er det en ordinær som ikke er likeverdig med noen streng underordnet ordinær.

Relaterte artikler