Den enkle pendelen med variabel lengde modellerer en last løftet av en kran.
Når lengden forkortes, øker svingningens amplitude og kranmotorens kraft reduseres ikke lenger for å kjempe mot tyngdekraften.
Ledningen som støtter massen m har ubetydelig masse, uten stivhet og uforlengelig. Lengden er , O er fast.
Vinkelmomentsetningen som brukes i O eller den ortorale akselerasjonen gir bevegelsesligningen:
mddt(l2θ˙)=-mglsyndθ{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {(l ^ {2} {\ dot {\ theta}})} = - mgl \ sin \ theta}eller
l2θ¨+2ll˙θ˙+glsyndθ=0{\ displaystyle l ^ {2} {\ ddot {\ theta}} + 2l {\ dot {l}} {\ dot {\ theta}} + gl \ sin \ theta = 0}er
θ¨+2l˙lθ˙+glsyndθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ frac {\ dot {l}} {l}} {\ dot {\ theta}} + {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta = 0}Vi kan gjenkjenne en pendelligning med begrepet "motstand". Hvis lengden forkortes, er det en "negativ" motstand: derav intuisjonen at amplituden vil øke. Dette er imidlertid ikke åpenbart fordi g / l også varierer. Videre oppstår spørsmålet for buen , fordi ligningen tilfredsstilt av L er:
L¨+gsyndLl=l¨lL{\ displaystyle {\ ddot {L}} + g \ sin {\ frac {L} {l}} = {\ frac {\ ddot {l}} {l}} L}for lave verdier av L / l er den redusert til en pendel med tilsynelatende tyngdekraft (g - l "): øker lysbuen L? Vi føres tilbake til et problem med en parametrisk pendel .
Det kommer ned til kinetisk energisetning i polare koordinater: kaller l (t) = r, som vanlig. De to ligningene i pendelen kan reduseres til:
Den første må multipliseres med og den andre med for å avsløre den kinetiske energien:
12ddt(r˙2+rθ˙2)+ddt(gz)=-IKKEr˙=P{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ dot {r}} ^ {2} + r {\ dot { \ theta}} ^ {2}) + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (gz) = - N {\ dot {r}} = P}Det ser ut til at kraften P i kranen ikke er begrenset til å bekjempe tyngdekraften.
I stedet for å la tråden løpe gjennom perlen Ligger ved O, kan vi tvert imot heve den keramiske perlen Ved A, med en hastighet dl / dt. Analysen er den samme under forutsetning av å plassere seg i den akselererte referanserammen R (opprinnelse A) hvor den tilsynelatende tyngdekraften ganske enkelt er g - l ". Ligningen i L (t) er ytterligere forenklet. Det ville faktisk være nødvendig for å vise identiteten til de to opplevelsene, igjen krever energibalansen oppmerksomhet .