Bessel pendel
En Bessel-pendel er en enkel oscillerende pendel som antas å variere ledningslengden på en affin måte . Navnet kommer fra det faktum at for små svingninger uttrykkes vinkelen ved hjelp av Bessel-funksjoner . Hvis v er lav, finner vi den adiabatiske invarianten E ( t ) T ( t ) (se Adiabatisk pendel ).
Variabel lengde pendelligning
Den enkle pendelen med variabel lengde har ligning for denne tidsmessige loven til l ( t ) der dens andre derivat er null:
l(t)x¨(t)+g(t)x(t)=0{\ displaystyle l (t) {\ ddot {x}} (t) + g (t) x (t) = 0}
I det vanlige tilfellet er g konstant. La oss gå tilbake til vinkelfunksjonen :
θ=xl{\ displaystyle \ theta = {\ frac {x} {l}}}
l(t)θ¨(t)+2vθ˙(t)+gθ(t)=0{\ displaystyle l (t) {\ ddot {\ theta}} (t) + 2v {\ dot {\ theta}} (t) + g \ theta (t) = 0}
La oss angi som en ny variabel uten enhet :
u=gtv{\ displaystyle u = g {\ frac {t} {v}}}
l(u)gv2θ¨(u)+2θ˙(u)+θ(u)=0{\ displaystyle l (u) {\ frac {g} {v ^ {2}}} {\ ddot {\ theta}} (u) +2 {\ dot {\ theta}} (u) + \ theta (u ) = 0}
Så for å forenkle, la oss angi som lengde :
L=v2g{\ displaystyle L = {\ frac {v ^ {2}} {g}}}
l(u)Lθ¨(u)+2θ˙(u)+θ(u)=0{\ displaystyle {\ frac {l (u)} {L}} {\ ddot {\ theta}} (u) +2 {\ dot {\ theta}} (u) + \ theta (u) = 0}
Vi gjenkjenner RLC-kretsligningen med lineært variabelt selv, det er et klassisk problem (se å skaffe intense magnetiske felt). Vi kan fortsatt transformere denne ligningen.
Bessel-ligning
Vi foretar en ny endring av variabelen uten enheter :
α=2l(u)L{\ displaystyle \ alpha = 2 {\ sqrt {\ frac {l (u)} {L}}}}
2θ¨(α)+2θ˙(α)α+θ(α)=0{\ displaystyle 2 {\ ddot {\ theta}} (\ alpha) +2 {\ frac {{\ dot {\ theta}} (\ alpha)} {\ alpha}} + \ theta (\ alpha) = 0}
Vi endrer funksjonen , og vi ender opp med å finne en Bessel-ligning med n = 1:
y(α)=αθ(α){\ displaystyle y (\ alpha) = \ alpha \ theta (\ alpha)}
α2y¨(α)+αy˙+(α2-1)y=0{\ displaystyle \ alpha ^ {2} {\ ddot {y}} (\ alpha) + \ alpha {\ dot {y}} + (\ alpha ^ {2} -1) y = 0}
Løsningene er Bessel- funksjonene, klassiske funksjoner i matematisk fysikk (se for eksempel Campbell):
y(α)=PÅJ1(α)+BY1(α){\ displaystyle y (\ alpha) = A \ quad J_ {1} (\ alpha) + B \ quad Y_ {1} (\ alpha)}
Fra hvor
θ(α)=PÅJ1(α)α+BY1(α)α{\ displaystyle \ theta (\ alpha) = A \ quad {\ frac {J_ {1} (\ alpha)} {\ alpha}} + B \ quad {\ frac {Y_ {1} (\ alpha)} {\ alfa}}}
Oppløsning med innledende forhold
θ0=PÅJ1(α0)α0+BY1(α0)α0{\ displaystyle \ theta _ {0} = A {\ frac {J_ {1} (\ alpha _ {0})} {\ alpha _ {0}}} + B {\ frac {Y_ {1} (\ alpha _ {0})} {\ alpha _ {0}}}}
θ0˙=-PÅJ2(α0)α0-BY2(α0)α0{\ displaystyle {\ dot {\ theta _ {0}}} = - A {\ frac {J_ {2} (\ alpha _ {0})} {\ alpha _ {0}}} - B {\ frac { Y_ {2} (\ alpha _ {0})} {\ alpha _ {0}}}}
Vi løser dette lineære systemet med to ligninger med to ukjente, og som til slutt gir:
PÅ=α0θ0Y2(α0)+θ0˙Y1(α0)J1(α0)Y2(α0)-J2(α0)Y1(α0) , B=-α0θ0J2(α0)+θ0˙J1(α0)J1(α0)Y2(α0)-J2(α0)Y1(α0){\ displaystyle A = \ alpha _ {0} {\ frac {\ theta _ {0} Y_ {2} (\ alpha _ {0}) + {\ dot {\ theta _ {0}}} Y_ {1} (\ alpha _ {0})} {J_ {1} (\ alpha _ {0}) Y_ {2} (\ alpha _ {0}) - J_ {2} (\ alpha _ {0}) Y_ {1 } (\ alpha _ {0})}} \, \ B = - \ alpha _ {0} {\ frac {\ theta _ {0} J_ {2} (\ alpha _ {0}) + {\ dot { \ theta _ {0}}} J_ {1} (\ alpha _ {0})} {J_ {1} (\ alpha _ {0}) Y_ {2} (\ alpha _ {0}) - J_ {2 } (\ alpha _ {0}) Y_ {1} (\ alpha _ {0})}}}
Vi kan til og med sjekke grafisk at hvis v er lav, er E ( t ) T ( t ) en konstant ( adiabatisk pendel ). Det må likevel huskes at vi alltid har tatt saken om små svingninger. Naturligvis gir en hvilken som helst Runge-Kutta- numerisk metode de samme resultatene uten å oppnå den generelle formelen.
Se også
Enkelt pendel med variabel lengde
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">