Hausdorff-prinsippet om maksimalitet
I matematikk er Hausdorffs prinsipp om maksimalitet en annen formulering enn Zorns lemma forut for dette og bevist av Felix Hausdorff i 1914 (Moore 1982: 168). Det indikerer at i hvert delvis ordnet sett er hvert totalt ordnet delmengde inneholdt i et maksimalt totalt ordnet delmengde.
Hausdorff-prinsippet om maksimalitet er en av de mange utsagnene som tilsvarer aksiomet av valg over ZF ( Zermelo - Fraenkel mengde teori uten aksiom av valg). Dette prinsippet kalles også Hausdorffs maksimalitetsteori eller Kuratowskis lemma (Kelley 1955: 33).
Stater
Hausdorffs prinsipp om maksimalitet sier at i et delvis ordnet sett er hvert totalt ordnet delmengde inneholdt i et maksimalt totalt ordnet delmengde. Her er et maksimalt totalt ordnet delsett et delsett som, hvis vi legger til noe element i det, ikke forblir totalt ordnet. Det maksimale settet betegnet med prinsippet er generelt ikke unikt: det kan være mange fullt ordnede maksimale delmengder som inneholder et totalt ordnet delmengde.
En tilsvarende form for dette prinsippet er at i ethvert delvis ordnet sett er det et maksimalt fullt ordnet delmengde.
For å vise at dette følger av den opprinnelige formen, setter vi A et delvis bestilt sett. Deretter er et totalt ordnet delsett av A , derfor eksisterer det et maksimalt totalt ordnet delsett som inneholder . Spesielt inneholder A et maksimalt totalt ordnet delsett.
For beviset i motsatt retning setter vi A et delvis ordnet sett og T et totalt ordnet delsett av A. Så
er delvis beordret av inkluderingen slik at den inneholder maksimalt helt beordret delmengde, betegnet P . Enheten tilfredsstiller de ønskede egenskapene.
Beviset for at Hausdorffs prinsipp om maksimalitet tilsvarer Zorns lemma, er veldig lik dette.
Eksempler
Eksempel 1. Dersom A er en samling av settene, forholdet "er en undergruppe av" er en streng delvis orden på A . Anta at A er samlingen av alle sirkulære regioner (det indre av sirkler) i planet. En maksimal fullordnet undersamling av A er settet med sirkulære regioner med deres sentre i utgangspunktet. En annen fullt ordnet maksimal undersamling er settet med sirkulære regioner avgrenset av sirkler som tangerer y-aksen ved opprinnelsen.
EKSEMPEL 2. Hvis (x 0 , y 0 ) og (x 1 , y 1 ) er to punkter i planet ℝ 2 , sier vi (x 0 , y 0 ) <(x 1 , y 1 )
hvis y 0 = y 1 og x 0 <x 1 . Det er en delvis rekkefølge på ℝ 2 , der to punkter er sammenlignbare hvis og bare hvis de ligger på samme horisontale linje. De maksimalt totalbestilte settene er de horisontale linjene i ℝ 2 .
Referanser
- (fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen “ Hausdorff maksimale prinsipp ” ( se forfatterlisten ) .
- (en) John Kelley , General Topology , Van Nostrand, 1955 [ les online ]
- (en) Gregory Moore, Zermelo's Axiom of Choice , Springer, 1982, sett i Google Books
- (no) James Munkres , Topology , Prentice Hall ,2000, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1975), 537 s. ( ISBN 978-0-13-181629-9 , les online )