Milnes problem

Den Milne problem vedrører analytiske oppløsning av lystransport i et semi-uendelig medium homogent, uten absorpsjon eller utslipp etter volum, med kilden plassert langt fra origo. Den ble stilt og løst av Edward Arthur Milne i 1921 for å forklare fenomenet mørkfarging av en stjerne. Deretter ble strenge matematiske løsninger foreslått av Norbert Wiener , Eberhard Hopf og Kenneth Case innenfor rammen av arbeidet med neutronikk .

Milnes problem

Problemet med strålingsoverføring (i vid forstand, inkludert nøytronoverføring og mange andre partikler, elementære eller ikke) er beskrevet av Boltzmann-ligningen . Dette er en lineær integradifferensialligning som relaterer seg til vinkelfordelingen av antall transporterte partikler eller hvilken som helst mengde relatert til den (energi for eksempel, i så fall snakker vi om total luminans , det vil si - dvs. integrert over hele det elektromagnetiske spekteret ) . Løsningen på dette problemet er mulig i tilfelle et plan, sylindrisk eller sfærisk endimensjonalt problem i det spesielle tilfellet med en isotrop diffusjon i mediet. Denne oppløsningen har en historisk opprinnelse, og arbeidet ble utført på en tid da numerisk beregning ikke eksisterte. De brukes nå som en referanse for å teste numeriske metoder.

Boltzmann-ligningen for et stasjonært, endimensjonalt og semi-uendelig homogent medium, uten utslipp eller absorpsjon i volum, med isotrop diffusjon er skrevet

{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ mathrm {d} L (\ tau, \ mu)} {\ mathrm {d} \ tau}} + L (\ tau, \ mu) = \ underbrace {{\ frac { 1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu} _ {term ~ kilde ~ S}}

eller

${\ displaystyle L (\ tau, \ mu)}$	luminans,
${\ displaystyle \ mu = \ cos {\ theta}}$	med θ forplantningsvinkelen,
${\ displaystyle \ tau = \ kappa _ {t} x}$	optisk tykkelse (eller optisk dybde),
${\ displaystyle \ kappa _ {t}}$	total utryddelseskoeffisient antatt konstant.

Man bruker også voluminalenergien definert av

{\ displaystyle E (\ tau) = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu}

hvor c er lysets hastighet . Energi er noen ganger forbundet med en strålings temperatur T R , som er den for det sorte legemet produsere den samme utstrålte energi, definert ved E = 4 σ T R 4 / c, hvor σ er Stefan-Boltzmanns konstant . Antagelsen κ t konstant innebærer bevaring av spekteret i mediet, som altså er kildens. T R er derfor generelt ikke den termodynamiske temperaturen for mediet, som ikke spiller noen rolle i problemet.

Grensevilkårene er som følger:

ingen flyt inn i overflaten (opprinnelsen til de romlige koordinatene x eller τ, aksen rettet mot det indre av mediet)

{\ displaystyle L (0, \ mu) = 0 \ ,, \ qquad 0 <\ mu \ leq 1}

plankilde lokalisert ved uendelig, noe som resulterer i en gitt flux F 0 <0, hvor energistrømmen er definert av

{\ displaystyle F (\ tau) = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mu {\ text {d}} \ mu}

Merk at for en isotrop fordeling er strømmen null, energien blir også forplantet i alle retninger.

Problemet er å beregne den utgående luminansen eller i det minste fasefunksjonen ( vinkelfordelingen ) derav.

{\ displaystyle L (0, \ mu) \ ,, \ qquad -1 \ leq \ mu <0}

Løsningsegenskaper

Vi kan gi for dette problemet følgende egenskaper på de første øyeblikkene av luminans:

strømmen av energi eller utgang er konstant;
de strålingstrykk øker lineært med den optiske dybde.

Demonstrasjon

Ved å multiplisere Boltzmann-ligningen med 2 π og ved å integrere på μ ser vi at strømningsgradienten er null

{\ displaystyle {\ frac {{\ text {d}} F} {{\ text {d}} \ tau}} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad F = F_ {0} \, <0}

Vi introduserer strålingstrykket, øyeblikk av ordre 2 av luminansen

{\ displaystyle P (\ tau) = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mu ^ {2} \ mathrm {d } \ mu}

Ved å multiplisere Boltzmann-ligningen med 2 π μ og ved å integrere på μ får vi

{\ displaystyle c \, {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} \ tau}} + F = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad P = - {\ frac {F_ {0}} { c}} \ tau + C ^ {ste}}

Strålingstrykket øker lineært med den optiske dybden.

Vi kan gi en formell løsning av ligningen i skjemaet

{\ displaystyle L (\ tau, \ mu) = \ left \ {{\ begin {array} {lr} ~~ \ int _ {0} ^ {\ tau} S (t) e ^ {- {\ frac { \ tau -t} {\ mu}}} {\ frac {{\ text {d}} t} {\ mu}} & ~ 0 <\ mu \ leq 1 \\ [0.6em] - \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} S (t) e ^ {\ frac {t- \ tau} {\ mu}} {\ frac {{{\ text {d}} t} {\ mu}} & - 1 < \ mu \ leq 0 \ end {array}} \ right.}

Ved integrasjon får vi integralligningen til Milne

{\ displaystyle S (\ tau) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) E_ {1} (| t- \ tau |) \ mathrm {d } t}

hvor E 1 er den integrerte eksponensielle .

Spesielt ser vi at løsningen på problemet er gitt av en Laplace-transform

{\ displaystyle L (0, \ mu) = - \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) e ^ {\ frac {t} {\ mu}} {\ frac {\ mathrm {d} t } {\ mu}} \ ,, \ qquad -1 <\ mu \ leq 0}

Omtrentlig løsning

Arthur Schuster (1905) og Karl Schwarzschild (1906) ga en omtrentlig løsning ved å skille intensitetene i de to motsatte forplantningsretningene, en metode muliggjort av lineariteten til Boltzmann-ligningen. Denne metoden er kjent som " to-stream approximation ".

La L + være luminansen som utgjøres av en vinkelverdikonstant i det positive halvrom x og lik 0 i det negative halvrom. L - er dens komplement, da ved å introdusere disse uttrykkene i Boltzmann-ligningen den kommer

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} ~~ {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} L ^ {+}} {\ mathrm {d} \ tau}} & = & - L ^ {+} + {\ frac {1} {2}} (L ^ {+} + L ^ {-}) \\ [0.6em] - {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} L ^ {-}} {\ mathrm {d} \ tau}} & = & - L ^ {-} + {\ frac {1} {2}} (L ^ {+} + L ^ {-}) \ end {array}}}

Tilstanden ved τ = 0 er

{\ displaystyle L ^ {+} (0) = 0}

Når det gjelder energi og flyt, er løsningen på dette systemet skrevet

{\ displaystyle F = F_ {0} \ ,, \ qquad E (\ tau) = - {\ frac {2F_ {0}} {c}} (1+ \ tau)}

Demonstrasjon

Vi introduserer fluxen ( Lamberts lov ) og voluminalenergien

{\ displaystyle F = \ pi (L ^ {+} - L ^ {-}) \ ,, \ qquad E = {\ frac {2 \ pi} {c}} (L ^ {+} + L ^ {- })}

Ved å lage summen og forskjellen på ligningene på L + og L - kommer den

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} \ tau}} = 0 & \ Rightarrow & \ qquad F = F_ {0} \\ [ 0,6 em] {\ frac {\ mathrm {d} E} {\ mathrm {d} \ tau}} = - {\ frac {4F} {c}} & \ Rightarrow & E (\ tau) = - {\ frac {4F_ {0}} {c}} \ tau + E (0) \ end {array}}}

Tilstand i τ = 0

{\ displaystyle cE (0) + 2F_ {0} = 4 \ pi L ^ {+} (0) = 0}

Fra hvor

{\ displaystyle E (\ tau) = - {\ frac {2F_ {0}} {c}} (1 + 2 \ tau)}

Ved å glemme hypotesen som førte til dette resultatet kan man beregne en generell løsning på problemet på nytt ved å bruke det som ble døpt over “formell løsning” (sak μ <0)

{\ displaystyle L (\ tau, \ mu) = - {\ frac {F_ {0}} {\ pi}} (1 + 2 \ tau +2 \ mu)}

Spesielt den fremvoksende luminansen er

{\ displaystyle L (0, \ mu) = - {\ frac {F_ {0}} {\ pi}} (1 + 2 \ mu)}

Denne løsningen utgjør en god tilnærming av den strenge løsningen (se kurve).

Generell løsning

Løsninger krever

enten til SN-metoden (eller metoden for diskrete ordinater) som fører til en semi-analytisk løsning.

enten til Wiener-Hopf-metoden ved bruk av Laplace-transformasjonen,
eller til studiet av de singulære egenverdiene av den transportør som er knyttet til Boltzmanns ligning.

Lange beregninger fører til neste fasefunksjon

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} L (0, \ mu) & = & {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} (1- \ mu) \ exp {\ left [{\ frac {- \ mu} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ log {\ left ({\ frac {\ sin ^ {2} x } {1-x \ cot x}} \ right)}} {1- (1- \ mu ^ {2}) \ sin ^ {2} {x}}} \ mathrm {d} x \ right]} \ ,, \ qquad -1 <\ mu \ leq 0 \\ & = & {\ frac {1} {2 {\ sqrt {1- \ mu}}}} \ exp {\ left [{\ frac {1} { \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {x \ arctan {(- \ mu \ tan {x})}} {1-x \ cot x} } \ mathrm {d} x \ right]} \ end {array}}}

Spesielt er beiteutslippet verdt

{\ displaystyle L (0,0) = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}

Figuren viser prosessen der den kvasi-isotropiske luminansen for τ> 10 deformeres i regionen nær veggen.

Merknader

Begrepet Boltzmann-ligning gjelder først gassformige medier. I forlengelse brukes dette navnet for ethvert system som følger en lignende ligning.
Valget av et isotropt diffusjon resultater fra viljen til å oppnå en analytisk løsning. Dette kan gjøres med Thomson-kringkasting, men det gir ikke mye til problemet.

Referanser

(i) Edward Arthur Milne , " Radiative Equilibrium in Outer Layers of a Star: Temperature Distribution and the Law of Darkening " , Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , Vol. 81,1921, s. 361–375 ( les online )
(de) Norbert Wiener og Eberhard Hopf , “ Über eine klasse singulärer integralgleichungen ” , Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften Berlin , vol. 31,1931, s. 696-706
(in) Kenneth Case , " Elementary Solutions of the Transport Equation and their Applications " , Annals of Physics , vol. 9, n o 1,1960, s. 1-23 ( les online )
(en) Subrahmanyan Chandrasekhar , Radiative Transfer , Dover Publications ,1960, 393 s. ( ISBN 0-486-60590-6 , les online )
(en) G. Placzek , “ Vinkelfordelingen av nøytroner som kommer fra en plan overflate ” , Physical Review , vol. 72, n o 7,1948, s. 556-558
(in) A. Schuster , " Through Radiation has Foggy Atmosphere " , The Astrophysical Journal , vol. 21, n o 1,1905( les online )
(De) K. Schwarzschild , " Ueber das Gleichgewicht der Sonnenatmosphäre " , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse ,1906, s. 41-53 ( les online )
(in) Eberhard Hopf , Matematiske problemer med strålingsvekt , Cambridge University Press ,1934
(in) G. Placzek og W. Seidel , " Milne's Problem in Transport Theory " , Physical Review , vol. 72, n o 7,1947, s. 550-555

Se også