Moment (sannsynligheter)

I sannsynlighetsteori og statistikk , det øyeblikk av orden $r \in ℕ$ av en virkelig tilfeldig variabel $X$ er en indikator på dispersjonen av denne variable, som for eksempel dens standardavvik , er kvadratroten av den sentrerte øyeblikk av orden 2.

Det såkalte "ordinære" $ordensmomentet$ $r \in ℕ$ defineres, hvis det eksisterer, av:

m_ {r} \ triangleq {\ mathbb {E}} (X ^ {r})

Tilsvarende vil andre tider, studert eller nevnt i resten av artikkelen, bli definert.

Begrepet øyeblikk i analyse

Begrepet øyeblikk i matematikk , spesielt i sannsynlighetsteori , stammer fra begrepet øyeblikk i fysikk .

La $f : I \to ℝ være en$ kontinuerlig funksjon over et intervall $I$ (ikke redusert til et punkt) på $ℝ$ .

Gitt et naturlig tall $r$ , defineres $ordrenes$ øyeblikk $r$ av $f$ , underlagt eksistens, av:

m_ {r} (f) \ triangleq \ int _ {{x \ in I}} x ^ {r} \, f (x) \, {\ mathrm {d}} x

Eksistenskriterium

Dette ordensmomentet $r$ anses å eksistere hvis og bare hvis $x r f ( x )$ er integrerbar , det vil si om og bare hvis $\int x \in I | x r f ( x ) | d x$ konvergerer. Dermed, selv om øyeblikket er en konvergerende upassende integral , blir dette øyeblikket fortsatt ansett som ikke-eksisterende.

På denne måten, hvis et øyeblikk ikke eksisterer ved en gitt rekkefølge, så eksisterer heller ikke alle øyeblikk av høyere orden. Omvendt, hvis et øyeblikk eksisterer i en gitt rekkefølge, så eksisterer også alle øyeblikk av lavere orden.

Vector plass

For et gitt naturlig heltall $r$ er settet med kontinuerlige funksjoner på $I$ hvis ordensmoment $r$ eksisterer et reelt vektorrom , og kartet $m$ $r$ $:$ $f$ $\mapsto$ $m$ $r$ $($ $f$ $)$ er en lineær form på denne romvektoren.

Definisjoner

La $X være$ en reell tilfeldig variabel definert på $I$ , med fordelingsfunksjon $F X$ og sannsynlighetslov $s$ .

Vanlig øyeblikk

Det øyeblikk (eller vanlig øyeblikk , eller øyeblikk i 0 ) av orden $r \in ℕ$ av $X$ er definert, hvis den finnes, av:

m_ {r} \ triangleq {\ mathbb {E}} (X ^ {r})

I følge overføringssatsen har vi derfor :

m_ {r} = \ int _ {{x \ in I}} x ^ {r} \, {\ mathrm {d}} F_ {X} (x)

Denne Stieltjes-integralen kan skrives om:

hvis $X$ er diskret : $m_ {r} = \ sum _ {{k \ i I}} k ^ {r} \, p_ {k}$
hvis $X$ er helt kontinuerlig : $m_ {r} = \ int _ {{x \ in I}} x ^ {r} \, p (x) \, {\ mathrm {d}} x$

I følge det andre aksiomet av sannsynligheter har vi da $m 0 = 1$ .

Vær oppmerksom på at, $p som$ er positiv eller null på $I$ ( første aksiom av sannsynligheter ), er kriteriet for eksistensen av ordensøyeblikket $r$ konvergensen til $\sum k \in I | k | r p k$ eller $\int x \in I | x | r p ( x ) d x$ etter behov.

Sentrert øyeblikk

Den sentrert øyeblikk av orden $r \in ℕ$ av $X$ er definert, hvis den finnes, av:

\ mu _ {r} \ triangleq {\ mathbb {E}} ([X - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r})

I følge overføringssatsen har vi derfor :

\ mu _ {r} = \ int _ {{x \ in I}} [x - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r} \, {\ mathrm {d}} F_ {X} ( x)

Denne Stieltjes-integralen kan skrives om:

hvis $X$ er diskret : $\ mu _ {r} = \ sum _ {{k \ in I}} [k - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r} \, p_ {k}$
hvis $X$ er helt kontinuerlig : $\ mu _ {r} = \ int _ {{x \ in I}} [x - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r} \, p (x) \, {\ mathrm {d} } x$

Ved konstruksjon har vi da $μ 0 = 1$ og $μ 1 = 0$ .

I følge overføringssatsen kan vi også skrive $μ r ( X ) = m r ( X - ? ( X ))$ .

Redusert sentrert øyeblikk

Ved å sette $μ = m 1$ og $σ = \sqrt μ 2$ , den reduserte sentrert øyeblikk av orden $r \in ⟦2; + \infty⟦$ av $X$ er definert, hvis den finnes, av:

\ beta _ {{r-2}} \ triangleq {\ mathbb {E}} \ venstre [\ venstre ({\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ høyre) ^ {r} \ høyre]

Vi har derfor $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ og, ved konstruksjon, $β 0 = 1$ .

Bemerkelsesverdige øyeblikk

Visse øyeblikk, ofte brukt til å karakterisere en reell tilfeldig variabel $X$ , er kjent under et bestemt navn:

det håp , tidspunktet for en ordre ; $\ mu \ triangleq m_ {1} = {\ mathbb {E}} (X)$
den variansen , sentrert øyeblikk av orden to: og dens kvadratrot av standardavviket : ; $\ operatorname {V} (X) \ triangleq \ mu _ {2} = {\ mathbb {E}} [(X- \ mu) ^ {2}]$ $\ sigma \ triangleq {\ sqrt {\ operatorname {V} (X)}} = {\ sqrt {\ mu _ {2}}}$
den asymmetri koeffisient , redusert sentrert øyeblikk av orden tre :; $\ gamma _ {1} \ triangleq \ beta _ {1} = {\ mathbb {E}} \ left [\ left ({\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {3} \ Ikke sant]$
den kurtosen ikke standardisert, sentrale øyeblikk redusert fire orden . $\ beta _ {2} = \ mathbb {E} \ venstre [\ venstre ({\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ høyre) ^ {4} \ høyre]$

Moment-genererende funksjon

Den generator funksjon av momentene $M X$ av en ekte tilfeldig variabel $X$ er den eksponentielle generator serie forbundet med sekvensen $( m r ) r \in ℕ$ av de øyeblikk av $X$ , definert i området fra 0, og med forbehold om eksistensen av alle øyeblikk:

M_ {X} (t) \ triangleq \ sum _ {{r = 0}} ^ {{\ infty}} m_ {r} \, {\ frac {t ^ {r}} {r!}}

Det kan også skrives i nærheten av 0 og underlagt forventningens eksistens :

M_ {X} (t) = {\ mathbb {E}} \ left ({\ mathrm {e}} ^ {{tX}} \ right)

De derivater iterated ved 0 av denne eksponentielle generator serie er verdt:

M_ {X} ^ {{(r)}} (0) = m_ {r}

Eiendommer

Dimensjon

Enten $[ X ]$ den størrelsen av den virkelige tilfeldig variabel $X$ .

Vanlige og sentrerte øyeblikk av orden $r$ , hvis de eksisterer, har dimensjon $[ X ] r$ .

Demonstrasjon

I skrivingen $\int x \in I x r d F X ( x )$ av ordreøyeblikket $r$ , har variabelen $x$ dimensjonen $[ X ]$ . Den sannsynlighet måle $ℙ$ være en dimensjonsløs størrelse , er fordelingsfunksjonen $F X$ , definert ved $\forall x \in I , F X ( x ) = ℙ ( X \leq x )$ , er også dimensjonsløs, så også for sin infinitesimal $d F X ( x )$ . Så $m r = \int x \in I x r d F X ( x )$ har dimensjon $[ X r ]$ .

$? ( X ) = m 1$ med dimensjon $[ X ]$ , er det også tilfellet med $x - ? ( X )$ , derfor er $μ r = \int x \in I [ x - ? ( X )] r d F X ( x )$ har også dimensjon $[ X r ]$ .

Det reduserte sentrerte øyeblikksmomentet $r$ , hvis det eksisterer, er en dimensjonsløs mengde .

Demonstrasjon

$μ 2$ har for dimensjon $[ X 2 ]$ , $σ = \sqrt μ 2$ har for dimensjon $[ X ]$ , så $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ har for dimensjon $[X r ⁄ X r] = [1]$ .

Affine transformasjon

På ordinære tider

Det ordinære øyeblikk av ordre 1, hvis det eksisterer, er lineært :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, m_ {1} (\ theta \, X + \ lambda) = \ theta \, m_ {1} (X) + \ lambda

Demonstrasjon

La $Λ = { λ } være$ konstant tilfeldig variabel lik $λ$ med sannsynlighet 1. Oversettelsen av lengde $λ$ av verdiene til en tilfeldig variabel tilsvarer summen av denne tilfeldige variabelen og av $Λ$ : $θ X + λ ≜ θ X + Λ$ . Å vite at $? ( Λ ) = λ$ , har vi derfor, etter forventningens linearitet :

m_ {1} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ Lambda) = \ theta \, {\ mathbb {E}} (X) + {\ mathbb {E}} (\ Lambda) = \ theta \, {\ mathbb {E}} (X) + \ lambda = \ theta \, m_ {1} (X) + \ lambda

Det ordinære ordensmomentet $r > 1$ av $θ X + λ$ , hvis det eksisterer, uttrykkes ikke bare som en funksjon av ordningsmomentet $r$ av $X$ :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, m_ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {{ri}} \, \ lambda ^ {i} \, m _ {{ri}} (X) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {i} \, \ lambda ^ {{ri}} \, m_ {i} (X)

Demonstrasjon

Ved å utvikle binomialet $( θ X + λ ) r$ og ved forventningens linearitet , har vi:

{\ displaystyle m_ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = \ mathbb {E} [(\ theta \, X + \ lambda) ^ {r}] = \ mathbb {E} \ left [\ sum _ {i = 0} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, (\ theta \, X) ^ {i} \, \ lambda ^ {ri} \ right] = \ sum _ {i = 0 } ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {i} \, \ lambda ^ {ri} \, \ mathbb {E} (X ^ {i}) = \ sum _ {i = 0} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {i} \, \ lambda ^ {ri} \, m_ {i} (X).}

Vi finner således lineariteten til $m 1$ og konstanten til $m 0$ .

På sentrerte øyeblikk

Det sentrerte øyeblikk av ordre $r$ , hvis det eksisterer, er uforanderlig ved oversettelse og homogent av grad $r$ :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ i \ mathbb {R} ^ {2}, \ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = \ theta ^ {r} \, \ mu _ { r} (X)

Demonstrasjon 1

Å vite at $? ( θ X + λ ) = θ ? ( X ) + λ$ (se affinetransformasjon på ordinær øyeblikk av ordre 1), har vi:

(\ theta \, X + \ lambda) - {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda) = \ theta \, X + \ lambda - \ theta \, {\ mathbb {E}} ( X) - \ lambda = \ theta \, [X - {\ mathbb {E}} (X)]

Ved forventningens linearitet har vi derfor:

\ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathbb {E}} ([\ theta \, X + \ lambda - {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda)] ^ {r}) = {\ mathbb {E}} (\ theta ^ {r} \, [X - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r}) = \ theta ^ {r } \, {\ mathbb {E}} ([X - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r}) = \ theta ^ {r} \, \ mu _ {r} (X)

Demonstrasjon 2

Å vite at $μ r ( X ) = m r ( X - ? ( X ))$ , er genereringsfunksjonen til de sentrerte momentene til $X$ derfor den genererende funksjonen til de vanlige øyeblikkene til $X - ? ( X )$ :

{\ mathcal {M}} _ {X} (t) = M _ {{X - {\ mathbb {E}} (X)}} (t) = {\ mathbb {E}} \ left (e ^ { {t [X - {\ mathbb {E}} (X)]}} \ høyre)

Å vite at $( θ X + λ ) - ? ( θ X + λ ) = θ [ X - ? ( X )]$ (se bevis 1), har vi derfor:

{\ mathcal {M}} _ {{\ theta \, X + \ lambda}} (t) = {\ mathbb {E}} \ left (e ^ {{t [(\ theta \, X + \ lambda) - {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda)]}} \ right) = {\ mathbb {E}} \ left (e ^ {{\ theta t [X - {\ mathbb {E }} (X)]}} \ right) = {\ mathcal {M}} _ {X} (\ theta t)

Ved iterert avledning av denne sammensatte funksjonen har vi derfor:

{\ mathcal {M}} _ {{\ theta \, X + \ lambda}} ^ {{(r)}} (t) = [{\ mathcal {M}} _ {X} (\ theta t)] ^ {{(r)}} = \ theta ^ {r} {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {{(r)}} (\ theta t)

Derfor, i 0:

\ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathcal {M}} _ {{\ theta \, X + \ lambda}} ^ {{(r)}} (0) = \ theta ^ {r} {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {{(r)}} (0) = \ theta ^ {r} \ mu _ {r} (X)

På reduserte sentrerte øyeblikk

Ved affin transformasjon av ikke-null- retningskoeffisient (slik at $σ$ er ikke-null) multipliseres det reduserte sentrerte øyeblikk av ordre $r$ , hvis den eksisterer, ganske enkelt med tegnet på retningskoeffisienten hevet til kraften $r$ :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ i \ mathbb {R} ^ {*} \! \! \ times \! \ mathbb {R}, \ beta _ {{r-2}} (\ theta \, X + \ lambda) = \ operatorname {sgn} (\ theta) ^ {r} \, \ beta _ {{r-2}} (X)

Den absolutte verdien av et redusert sentrert øyeblikk er derfor uforanderlig ved affin transformasjon av ikke-helling.

Demonstrasjon

Standardavviket på $θ X + λ$ er $lik$ :

\ sigma _ {{\ theta \, X + \ lambda}} = {\ sqrt {\ mu _ {2} (\ theta \, X + \ lambda)}} = {\ sqrt {\ theta ^ {2} \ mu _ {2} (X)}} = | \ theta | \ sigma _ {X}

Den reduserte sentrert øyeblikk av orden $r$ av $θ X + λ$ er derfor verdt:

\ beta _ {{r-2}} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ frac {\ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda)} {\ sigma _ {{\ theta \, X + \ lambda}} ^ {{\ r}}}} = {\ frac {\ theta ^ {r} \ mu _ {r} (X)} {(| \ theta | \ sigma _ {X} ) ^ {r}}} = \ left ({\ frac {\ theta} {| \ theta |}} \ right) ^ {r} {\ frac {\ mu _ {r} (X)} {\ sigma _ {X} ^ {r}}} = \ operatorname {sgn} (\ theta) ^ {r} \, \ beta _ {{r-2}} (X)

Ved å skille i henhold til tegnet på $θ$ og pariteten til $r$ , kan vi derfor skrive:

\ forall (\ theta, \ lambda) \ i \ mathbb {R} ^ {*} \! \! \ times \! \ mathbb {R}, \ beta _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ begin {cases} \ beta _ {r} (X) og {\ text {si}} \ theta> 0 {\ text {eller}} r {\ text {er jevnt}} \\ - \ beta _ {r} (X) og {\ text {si}} \ theta <0 {\ text {og}} r {\ text {er merkelig}} \ end {cases}}

Tilsetningsevne

La $X$ og $Y være$ to virkelige tilfeldige variabler, vi har da:

$m_ {1} (X + Y) = m_ {1} (X) + m_ {1} (Y)$

Hvis $X$ og $Y$ er uavhengige , har vi også:

$\ mu _ {2} (X + Y) = \ mu _ {2} (X) + \ mu _ {2} (Y)$
$\ mu _ {3} (X + Y) = \ mu _ {3} (X) + \ mu _ {3} (Y)$

Denne egenskapen til additivitet eksisterer bare for de tre nevnte øyeblikkene. De risikomål verifisere denne egenskapen kalles cumulants .

Forholdet mellom vanlige øyeblikk og sentrerte øyeblikk

Øyeblikk sentrert som en funksjon av vanlige øyeblikk

Det sentrerte øyeblikk av ordre $r$ , hvis det eksisterer, er skrevet:

\ mu _ {r} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, m _ {{ri}} \, (- m_ {1}) ^ {i } = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, m_ {i} \, (- m_ {1}) ^ {{ri}}

Demonstrasjon

Ved å utvikle binomialet i uttrykk for $μ r$ og ved forventningens linearitet , har vi:

\ mu _ {r} = {\ mathbb {E}} [(X-m_ {1}) ^ {r}] = {\ mathbb {E}} \ left [\ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, X ^ {{ri}} \, (- m_ {1}) ^ {i} \ right] = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r } C_ {r} ^ {i} \, {\ mathbb {E}} (X ^ {{ri}}) \, (- m_ {1}) ^ {i} = \ sum _ {{i = 0} } ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, m _ {{ri}} \, (- m_ {1}) ^ {i}

Deretter husker jeg at $C k n = C n - k n$ , Oppnår man den andre skrive ved endringer i de variable $i \mapsto r - i$ .

Når vi husker at $m 0 = 1$ , blir de første sentrerte øyeblikkene uttrykt som en funksjon av de vanlige øyeblikkene:

\ mu _ {2} = m_ {2} -m_ {1} ^ {2}

\ mu _ {3} = m_ {3} -3 \, m_ {2} \, m_ {1} +2 \, m_ {1} ^ {3}

\ mu _ {4} = m_ {4} -4 \, m_ {3} \, m_ {1} +6 \, m_ {2} \, m_ {1} ^ {2} -3 \, m_ {1 } ^ {4}

\ mu _ {5} = m_ {5} -5 \, m_ {4} \, m_ {1} +10 \, m_ {3} \, m_ {1} ^ {2} -10 \, m_ {2 } \, m_ {1} ^ {3} +4 \, m_ {1} ^ {5}

\ mu _ {6} = m_ {6} -6 \, m_ {5} \, m_ {1} +15 \, m_ {4} \, m_ {1} ^ {2} -20 \, m_ {3 } \, m_ {1} ^ {3} +15 \, m_ {2} \, m_ {1} ^ {4} -5 \, m_ {1} ^ {6}

Vanlige øyeblikk som en funksjon av sentrerte øyeblikk

Omvendt, ved å sette $μ = ? ( X )$ , $skrives$ det ordinære øyeblikk av ordre $r$ , hvis det eksisterer:

m_ {r} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ mu _ {{ri}} \, \ mu ^ {i} = \ sum _ { {i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ mu _ {i} \, \ mu ^ {{ri}}

Demonstrasjon

Ved å utvikle binomialet i uttrykk for $m r$ og ved forventningens linearitet , har vi:

m_ {r} = {\ mathbb {E}} (X ^ {r}) = {\ mathbb {E}} [(X- \ mu + \ mu) ^ {r}] = {\ mathbb {E}} \ left [\ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, (X- \ mu) ^ {{ri}} \, \ mu ^ {i} \ right] = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, {\ mathbb {E}} [(X- \ mu) ^ {{ri}}] \, \ mu ^ {i} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ mu _ {{ri}} \, \ mu ^ {i}

Deretter husker jeg at $C k n = C n - k n$ , Oppnår man den andre skrive ved endringer i de variable $i \mapsto r - i$ .

Når vi husker at $μ 0 = 1$ og $μ 1 = 0$ , blir de første ordinære øyeblikkene uttrykt, som en funksjon av de sentrerte momentene og av $μ$ :

m_ {2} = \ mu _ {2} + \ mu ^ {2}

m_ {3} = \ mu _ {3} +3 \, \ mu _ {2} \, \ mu + \ mu ^ {3}

m_ {4} = \ mu _ {4} +4 \, \ mu _ {3} \, \ mu +6 \, \ mu _ {2} \, \ mu ^ {2} + \ mu ^ {4}

m_ {5} = \ mu _ {5} +5 \, \ mu _ {4} \, \ mu +10 \, \ mu _ {3} \, \ mu ^ {2} +10 \, \ mu _ {2} \, \ mu ^ {3} + \ mu ^ {5}

m_ {6} = \ mu _ {6} +6 \, \ mu _ {5} \, \ mu +15 \, \ mu _ {4} \, \ mu ^ {2} +20 \, \ mu _ {3} \, \ mu ^ {3} +15 \, \ mu _ {2} \, \ mu ^ {4} + \ mu ^ {6}

Ikke-partisk estimator av vanlige øyeblikk

Fra en prøve kan ${ X 1 , X 2 , ..., X n }$ av den virkelige tilfeldige variabelen $X$ brukes som estimator uten å bruke det ordinære ordningsmomentet $r$ , hvis det eksisterer, følgende estimator:

{\ hat {m_ {r}}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} X_ {i} ^ {{\ r}}

Moment problem

Selv om beregningen av øyeblikkene består i å bestemme det øyeblikk $m r$ av en gitt sannsynlighet lov $p$ , er problemet med øyeblikk består i å studere omvendt eksistensen og entydighet av en sannsynlighets lov $p$ hvis øyeblikk $m r$ er gitt.

Utvidelse av begrepet øyeblikk

På modellen av øyeblikk $? ( X r )$ kan andre øyeblikk defineres:

det motsatte punkt i 0 for $r$ på $I ∌ 0$ : ; ${\ mathbb {E}} (X ^ {{- r}})$
det logaritmiske øyeblikk av orden $r$ på $I \subset ℝ * +$ : ; $\ mathbb {E} \ left [\ ln ^ r (X) \ right]$
det faktuelle øyeblikk av ordre $r$ : ( avtagende faktor ). $\ mathbb {E} \ left [(X) _r \ right]$

Merknader og referanser

Dette tilfellet skjer for eksempel for $oddsmomentene$ til en jevn funksjon definert på $ℝ$ : selv om $\int x \inℝ | x r f ( x ) | d x$ divergerer, funksjonen $x \mapsto x r f ( x )$ er odd, har derfor en jevn primitiv, derav $\forall t \in ℝ, \int t - t x r f ( x ) d x = 0$ , så $\int x \inℝ x r f ( x ) d x$ er enkonvergerende upassende integral lik 0.
Av historiske grunner og i samsvar med notasjonen av reduserte kumulanter , er asymmetri-koeffisienten notert $γ 1 i$ stedet for $β 1$ .
Formelt sett, vel vitende om at $μ 1 = 0$ , kan vi legge til degenerert tilfelle $μ 1 ( X + Y ) = μ 1 ( X ) + μ 1 ( Y )$ , men dette gir ingen nyttig informasjon for studiet av $X + Y$ .