Produkt (matematikk)

Produktet av hele , reelle , komplekse eller andre tall kalles resultatet av multiplikasjonen deres . De multipliserte elementene kalles produktets faktorer . Uttrykket av et produkt kalles også "produkt", for eksempel er skrivingen $3$ $a$ av trippelen av tallet $a$ et produkt av to faktorer, der symbolet for multiplikasjonen er underforstått.

Rekkefølgen der reelle eller komplekse tall multipliseres, samt hvordan disse begrepene er gruppert, spiller ingen rolle; ingen modifisering av vilkår endrer således resultatet av produktet. Disse egenskapene kalles lovens kommutativitet og assosiativiteten til multiplikasjonsloven.

Multiplikasjonen av objekter som vektorer og matriser ( matriksprodukt , tensorprodukt osv.) Er imidlertid ikke kommutativ.

Eksempler

Tre pakker med fem

Hvis tre pakker inneholder fem godbiter , inneholder de totalt $3 \times 5$ godbiter. Dette produktet på tre av fem er lik en sum av tre termer som er like fem . Og tre ganger fem er femten .

{\ displaystyle 5 \; + \; 5 \; + \; 5 \; = \; 3 \ ganger 5 \; = \; 15.}

Fem høyre svinger

I det franske uttrykket " en brøkdel av " en størrelse ", vil preposisjonen " av "matematikk med et symbol på multiplikasjon . Dette symbolet er underforstått i produktet $fg$ som representerer brøkdelen $f$ av mengden $g$ . Produkt som er lik to femtedeler av tre hundre og seksti grader hvis $f = 2 / 5$ og $g = 360 °$

{\ displaystyle {\ frac {2} {5}} \, \ times \, 360 \, ^ {\ circ} \, = \, {\ frac {4} {10}} \, \ times \, 360 \ , ^ {\ circ} \, = \, 0 {,} 4 \, \ times \, 360 \, ^ {\ circ} \, = \, 4 \, \ times 36 \, ^ {\ circ} \, = \, 144 \, ^ {\ circ}.}

Se for deg en mobil robot som utfører suksessive rettlinjede baner av samme lengde $d$ . Disse delveiene er representert i plangeometri av påfølgende like segmenter . Anta at den stasjonære roboten mellom to rette stier svinger $144 ° til$ høyre på seg selv . Når den har gjentatt følgende manøver fem ganger: gå rett frem en lengde $d$ og sving til høyre på seg selv $144 °$ , den går tilbake til utgangspunktet. Dens lukkede polygonale forløp er representert med en vanlig stjerne- femkant ( Schläfli-symbol {5/2}), med omkrets $5$ $d$ ). Under hele sin lukkede bane roterer roboten med klokken rundt sentrum av den vanlige polygonen, i en vinkel på $5 \times 144 ° = 720 ° = 2 \times 360 °$ . Den gjør to komplette svinger rundt sentrum av stjernetegningen.

Enkle saker og notasjoner

Det grunnleggende prinsippet for multiplikasjon av hele naturlige tall er å telle elementene i en forening av n to-to-to usammenhengende sett ( n er multiplikatoren ), når hvert sett inneholder samme antall p elementer ( p er multiplikatord ) .

Ordforråd

I et produkt av to faktorer, er den første faktor som heter ved konvensjon multiplikanden og den andre multiplikator . Å reversere verdiene endrer aldri resultatet, i motsetning til å reversere utbyttet og deleren i en divisjon .

multiplikator × multiplikator

Den operatør er det multiplikasjon tegn "x", en periode ". »På linjen når desimaltegnet er kommaet og et operatørpunkt "⋅" ( median ) når punktet på linjen allerede er brukt som desimalseparator, som i den angelsaksiske konvensjonen; i dataprogrammering , språk generelt bruke stjerne "*" (stjernetegn). Den utelates når den er til stede entydig, for eksempel i et uttrykk som 3a .

Prinsipp for heltall

Når det gjelder naturlige heltall , utgjør multiplikasjon å tilføye identiske tall. Når vi for eksempel sier "fem multiplisert med syv", betyr det at vi gjentar et sett med fem elementer syv ganger. Så:

5 \ ganger 7 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35.

Videre kan kommutativitet forklares blant de forskjellige algebraiske egenskapene til multiplikasjonen av tall : rekkefølgen til faktorene påvirker ikke resultatet:

7 \ ganger 5 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 = 5 \ ganger 7.

Disse uttrykkene leser henholdsvis "fem multiplisert med syv" (eller "7 ganger 5") og "syv ganget med fem" (eller "5 ganger 7").

Denne operasjonen kan også noteres for tekniske behov,

	$5$
$\times$	$7$

	$35$

Resultatet kan oppnås:

ved å konsultere et repertoar med kjente resultater, for eksempel en multiplikasjonstabell ;
ved å utføre en algoritme (head-on, for hånd med et skriveinstrument, eller ved hjelp av en datamaskin ):
- den mest forenklede algoritmen kan oppsummeres i suksessive tillegg (hyppige for små tall, men raskt ubrukelige),
- for større antall, men fortsatt av rimelig størrelse, er det mer effektive metoder som er en del av kulturbagasjen,
- moderne databehandling har gitt opphav til enda mer sofistikerte teknikker, hvorav noen er gjenstander for forskning.

Prinsipp for desimaler

Et desimaltall er et heltall som er delt med en kraft på ti (1 - det er da et heltall -, 10, 100, 1000 ...). Distribusjonen av multiplikasjonen på divisjonen gjør det mulig å beregne multiplikasjonene av desimaltall som hele tall:

vi ignorerer komma og multipliserer tall som om de var heltall;
antall desimaler i det endelige resultatet er summen av antall desimaler i multiplikatoren og multiplikatoren.

For eksempel å beregne 5,3 × 0,21:

vi beregner 53 × 21, som gir 1113;
multiplikatordet har ett siffer etter desimaltegnet, multiplikatoren har to, så resultatet har tre (1 + 2): sluttresultatet er 1,113.

Generalisering

Mer generelt er et produkt resultatet av sammensetningen av to elementer i et sett for en intern multiplikasjonslov. Når matriser eller gjenstander til forskjellige andre ringer multipliseres, avhenger produktet vanligvis av faktorens rekkefølge; med andre ord, multiplikasjonen av matriser, og multiplikasjonslovene til disse andre ringene, er ikke kommutativ .

Generaliseringer og utvidelser av produktkonseptet finnes i matematikk :

de skalarproduktet og kryssproduktet er en rekke vektor multiplikasjon ;
den matriseproduktet , er det multiplikasjon av matriser ikke kommutativt bortsett fra på trivielle undergrupper;
det vanlige produktet av to funksjoner ;
produktene i ringer eller i kommutative (eller venstre ) kropper av alle slag.

Multiplikasjoner som respekterer invarians av normer ("normen for produktet av to objekter er lik produktet av deres norm") kunne bare defineres for noen få objekter: reelle tall , komplekser , kvartioner og oktioner .

Indeksert produkt

Produktet kan noteres ∏ ( pi kapital ) når mange indekserte faktorer er involvert. For eksempel, hvis vi vurderer en sekvens , så: $(u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$ $\ prod _ {{i = 1}} ^ {N} u_ {i} = u_ {1} \ ganger u_ {2} \ ganger \ cdots \ ganger u_ {N}.$

Merknader

Multiplikasjonstegnet kan erholdes
- i Unicode , etter karakteren U+00D7 ;
- i HTML , av enheten ×eller × ;
- i LaTeX , i matematikkmiljøet ( $…$eller \[…\]), etter kommando \times.
Symbolet "operatørpunkt" kan fås:
- i Unicode , etter karakteren U+22C5 ;
- i HTML , av enheten ⋅ (skalar prikk) eller ⋅ ;
- i LaTeX , av \textperiodcenteredog i matematikkmiljøet ( $…$eller \[…\]), av kommandoen \cdot.
Imidlertid er betydningen av uttrykket (fra et praktisk synspunkt) er noe forskjellig: i det ene tilfellet er det 7 masser av 5 elementer, i det andre er det 5 masser av 7 elementer.
Dette tegnet kan fås
- i HTML , ved å ringe ∏ ;
- i LaTeX , i matematikkmiljøet ( $… $ eller \ [… \] ), med kommandoen \ prod_ { index } ^ { eksponent } .

Se også