Blandet produkt
I geometri er det blandede produktet navnet tatt av determinanten i et orientert euklidisk rammeverk. Dens absolutte verdi tolkes som volumet til en parallellotop .
For det blandede produktet i et tredimensjonalt orientert euklidisk rom, se artikkelen vektorgeometri .
Definisjon
La E være et orientert euklidisk rom med dimensjon n. Eller B direkte ortonormal basis av E . Det blandede produkt av n vektorer av E er definert av
(x1,...,xikke)↦[x1,...,xikke]=detB(x1,...,xikke){\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n}) \ mapsto [x_ {1}, ..., x_ {n}] = {\ det} _ {B} (x_ {1}, ..., x_ {n})}
Det avhenger ikke av det direkte ortonormale grunnlaget B valgt.
Den blandede produkt er null hvis og bare hvis familien til x i er relatert strengt positive hvis og bare hvis det utgjør en direkte basis, er verdt en hvis det utgjør også en direkte ortonormal basis.
Det sjekker Hadamard- ulikheten
[x1,...,xikke]≤∏Jeg=1ikke‖xJeg‖{\ displaystyle [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] \ leq \ prod \ limits _ {i = 1} ^ {n} \ | x_ {i} \ |}Når vektorene danner en fri familie, er det likhet hvis og bare hvis denne familien er ortogonal. Med andre ord, lengdene på sidene som gis, er den rette parallellotopen den med størst volum.
For produksjon av bestemte vektorer (med koeffisientene 1 og -1) som verifiserer tilfellet av likhet, se Hadamard-matrise .
Demonstrasjon av uavhengigheten av det direkte ortonormale grunnlaget
Endomorfismene som sender en direkte ortonormal basis på en direkte ortonormal basis, er de ortogonale automorfismene til determinant 1. Determinanten av en familie av vektorer x 1 , ... x n i to direkte ortonormale baser har derfor samme verdi.
I et euklidisk rom, og til og med i et reelt prehilbertisk rom av en hvilken som helst dimensjon, tillater determinantene også beregning av volumene av parallellotoper av en hvilken som helst endelig dimensjon i form av matriser og gramdeterminanter .
Denne gangen er de ikke-orienterte volumer, og det er ikke mulig å gi en orientert versjon.
Kobling av det blandede produktet med det eksterne produktet og dualiteten til Hodge
Ved Hodge-dualitet er det mulig å passere fra 0-vektor 1 til en n- vektor av den eksterne produktformen av vektorer med direkte ortonormal basis e 1 , ..., e n . Det eksterne produktet av n- vektorer er derfor skrevet
x1∧x2∧⋯∧xikke=[x1,...,xikke].⋆1{\ displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n} = [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]. \ star 1}Det er også mulig å se blandingsproduktapplikasjonen som en dobbel n- lineær form av 0-form 1
[...]=de1∧de2∧⋯∧deikke=⋆1{\ displaystyle [\ dots] = {\ rm {d}} e_ {1} \ wedge {\ rm {d}} e_ {2} \ wedge \ dots \ wedge {\ rm {d}} e_ {n} = \ stjerne 1}
Ved bruk av prikkproduktet
For alle av , anvendelsen er en lineær form. E er et endelig dimensjonalt euklidisk rom, det eksisterer en unik vektor, bemerket slik at:
(x1,...xikke-1){\ displaystyle (x_ {1}, \ dots x_ {n-1})}Eikke-1{\ displaystyle E ^ {n-1}}x∈E→[x,x1,...,xikke-1]{\ displaystyle x \ i E \ til [x, x_ {1}, ..., x_ {n-1}]}x1×⋯×xikke-1{\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}}
∀x∈E,[x,x1,...,xikke-1]=⟨x|x1×⋯×xikke-1⟩{\ displaystyle \ forall x \ i E, [x, x_ {1}, ..., x_ {n-1}] = \ left \ langle x \, | \, x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1} \ høyre \ rangle}Vektoren kalles et kryssprodukt av .
x1×⋯×xikke-1{\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}}(x1,...xikke-1){\ displaystyle (x_ {1}, \ dots x_ {n-1})}
Tverrproduktapplikasjonen er (n-1) -linjær vekselvis . Tverrproduktet forsvinner hvis og bare hvis familien er i slekt.
Koordinatene til kryssproduktet er gitt av
x1×⋯×xikke-1=|x11⋯x1ikke⋮⋱⋮xikke-11⋯xikke-1ikkee1⋯eikke|{\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1} = {\ begin {vmatrix} x_ {1} {} ^ {1} & \ cdots & x_ {1} {} ^ {n} \ \\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {n-1} {} ^ {1} & \ cdots & x_ {n-1} {} ^ {n} \\\ mathbf {e} _ {1 } & \ cdots & \ mathbf {e} _ {n} \ end {vmatrix}}}ved å betegne e i vektorene til det direkte ortonormale grunnlaget. Koordinatene til kryssproduktet er med andre ord medfaktorer for denne matrisen.
Av Hodge dualitet
Den forrige definisjonen kan oversettes ved hjelp av Hodge-dualitet som følger, med en korrespondanse mellom kryssproduktet og det ytre produktet av n- 1-vektorene . Korsproduktet er den eneste vektoren slik at:
×{\ displaystyle \ times} ∧{\ displaystyle \ wedge}xJeg{\ displaystyle x_ {i}}
x1∧x2∧⋯∧xikke-1=⋆(x1×x2×⋯×xikke-1){\ displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} = \ star \ left (x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ dots \ times x_ {n -1} \ høyre)}Vi kan også skrive, vel vitende om at vi for en ( n -1) -vektor har :
η{\ displaystyle \ eta}⋆⋆η=(-1)ikke-1η{\ displaystyle \ star \ star \ eta = (- 1) ^ {n-1} \; \ eta}
x1×x2×⋯×xikke-1=(-1)ikke-1⋆(x1∧x2∧⋯∧xikke-1){\ displaystyle x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ dots \ times x_ {n-1} = (- 1) ^ {n-1} \ star \ left (x_ {1} \ wedge x_ {2 } \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} \ right)}Dette utgjør en alternativ definisjon av kryssproduktet, tilsvarende følgende eiendom. Kryssproduktet er den eneste vektor slik at for alle av , har vi:
x1×x2×⋯×xikke-1{\ displaystyle x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ dots \ times x_ {n-1}}(y1,...yikke-1){\ displaystyle (y_ {1}, \ dots y_ {n-1})}Eikke-1{\ displaystyle E ^ {n-1}}
[x1×⋯×xikke-1,y1,...,yikke-1]=det(⟨xJeg|yj⟩)1≤Jeg≤ikke-1,1≤j≤ikke-1{\ displaystyle [x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}, y_ {1}, \ dots, y_ {n-1}] = \ det (\ langle x_ {i} \, | \ , y_ {j} \ rangle) _ {1 \ leq i \ leq n-1,1 \ leq j \ leq n-1}}.
Demonstrasjon
Hvis vi merker oss , så:
ω=⋆1{\ displaystyle \ omega = \ star 1}
[x1×⋯×xikke-1,y1,...,yikke-1]ω=(-1)ikke-1[y1,...,yikke-1,x1×⋯×xikke-1]ω{\ displaystyle [x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}, y_ {1}, \ dots, y_ {n-1}] \, \ omega = (- 1) ^ {n-1 } [y_ {1}, \ dots, y_ {n-1}, x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}] \, \ omega}
=(-1)ikke-1y1∧⋯∧yikke-1∧(x1×⋯×xikke-1){\ displaystyle = (- 1) ^ {n-1} y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \ wedge (x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}) }
=y1∧⋯∧yikke-1∧⋆(x1∧⋯∧xikke-1){\ displaystyle = y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \ wedge \ star (x_ {1} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1})}
=⟨y1∧⋯∧yikke-1|x1∧⋯∧xikke-1⟩ω{\ displaystyle = \ left \ langle y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \, | \, x_ {1} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} \ right \ rangle \ , \ omega}
=det⟨xJeg|yj⟩)1≤Jeg≤ikke-1,1≤j≤ikke-1ω{\ displaystyle = \ det \ langle x_ {i} \, | \, y_ {j} \ rangle) _ {1 \ leq i \ leq n-1,1 \ leq j \ leq n-1} \, \ omega }
Merknader og referanser
-
Lelong-Ferrand / Arnaudies, Matematikkurs, Algebra , t. Jeg, Dunod,1974, s. 393
-
(i) " CrossProduct " på ncatlab.org
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">