Kraft på to

I aritmetikk betegner en styrke på to et tall notert i formen 2 n der n er et naturlig tall . Det er produktet av tallet 2 gjentas n ganger med seg selv, det vil si: . 2×⋯×2⏟ikke fpåvs.teurs{\ displaystyle \ underbrace {2 \ times \ cdots \ times 2} _ {n \ \ mathrm {factors}}}

Dette spesielle tilfellet med heltallsmakter på to generaliserer i settet med reelle tall , ved base 2 eksponensiell funksjon , hvis gjensidige funksjon er den binære logaritmen .

Etter konvensjon og for å sikre kontinuiteten til denne base 2 eksponensielle funksjonen, blir nullkraften på 2 tatt lik 1, dvs. 2 0 = 1 .

Siden 2 er grunnlaget for det binære systemet , er krefter av to vanlige innen datavitenskap . I binær form skrives de alltid "10000 ... 0", slik det er tilfellet for en styrke på ti som er skrevet i desimalsystemet .

Vanlige notasjoner

Avhengig av aktivitetsfeltet noteres en styrke på to:

• 2 n
• 2 ^ n
• 2 ** n
• 2 [3] n
• 2 ↑ n ( Knuths iterated powers notation )
• makt (2, n)
• makt (2, n)
• 1 << n
• H 3 (2, n )
• 2 → n → 1 ( Conways kjedepiler )

Det er flere uttalelser:

• 2 eksponent n
• 2 strøm n
• 2 til kraften til n
• 2 hevet til makten n
• nte kraft på 2

Informatikk

Den datamaskinen er basert på binære systemet alltid bruker krefter to. Spesielt gir 2 n antall måter bitene i et binært heltall av lengden n kan ordnes på. For eksempel inneholder en byte 8 bits og kan derfor lagre 28 forskjellige verdier (dvs. 256).

En kibibyte inneholder også 1024 (2 10 ) byte.

Alle dimensjoner i databehandling er summen av krefter på 2, enten for minnestørrelse (2, 4, 8 eller 12 gigabyte), videooppløsning (for en 14-tommers skjerm er det vanligvis 640 per 480 piksler, hvor 640 = 512 + 128 og 480 = 256 + 128 + 64 + 32) eller størrelsen på masseminner .

Første krefter på to

De første 33 kreftene av to er:

• 2 0 = 1
• 2 1 = 2
• 2 2 = 4
• 2 3 = 8
• 2 4 = 16
• 2 5 = 32
• 2 6 = 64
• 2 7 = 128
• 2 8 = 256
• 2 9 = 512
• 2 10 = 1.024
• 2 11 = 2048
• 2 12 = 4096
• 2 13 = 8 192
• 2 14 = 16 384
• 2 15 = 32 768
• 2 16 = 65.536
• 2 17 = 131 072
• 2 18 = 262144
• 2 19 = 524 288
• 2 20 = 1.048.576
• 2 21 = 2097 152
• 2 22 = 4,194,304
• 2 23 = 8 388 608
• 2 24 = 16 777 216
• 2 25 = 33 554 432
• 2 26 = 67 108 864
• 2 27 = 134 217 728
• 2 28 = 268 435 456
• 2 29 = 536 870 912
• 2 30 = 1 073 741 824
• 2 31 = 2147483 648
• 2 32 = 4 294 967 296

Kraft av to som har en eksponent en kraft på to

Moderne minneceller og registre manipulerer ofte et antall biter som er en kraft på to. De hyppigste maktene som dukker opp er de hvis eksponent også er en styrke på to.

Notasjonen 22ikkesJeggikkeJegfJege2(2ikke){\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}} \ quad {\ rm {betyr}} \ quad 2 ^ {(2 ^ {n})}} (og ikke (2 2 ) n , sistnevnte uttrykk er faktisk 4 n ).

Eksempler

• n = 6: 2 64 = 18 446 744 073 709 551616
• n = 7: 2128 = 340282366920938463463374607431768211456

Andre bemerkelsesverdige krefter på to

• 2 24 = 16 777 216, antall unike farger som kan vises i ekte farger , som brukes av de fleste dataskjermer .
  Dette tallet er resultatet av å bruke trekanals RGB-systemet , med 8 bits for hver kanal, eller 24 bits totalt.
• 2 64 - 1 = 18 446 744 073 709 551615, er antall hvetekorn som Sissa , den legendariske oppfinneren av sjakkspillet , spurte sin herre gjennom et matematisk problem  : en (2 0 ) i første bånd, to (2 1 ) på andre bånd, deretter fire (2 2 ), åtte (2 3 ), seksten (2 4 ) osv. opp til 263 fordi et sjakkbrett har 64 firkanter. Den burde dermed ha fått 2,64 - 1 korn, et tall så høyt at det selv i 2012 representerer 1000 ganger den årlige verdens hveteproduksjonen .

Setninger

• Den summen av de første n potenser av 2 er lik den følgende effekt på 2 -1:Sikke=∑Jeg=0ikke-12Jeg=2ikke-1{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i} = 2 ^ {n} -1}eller igjen: hvilken som helst kraft på 2 er lik summen av alle lavere krefter på 2 pluss 1:2ikke=Sikke+1.{\ displaystyle 2 ^ {n} = S_ {n} +1.}Kreftene til 2 er derfor nesten perfekte tall .
• Et helt tall kan deles med 2 n hvis og bare hvis de siste n binære sifrene er alle nuller.
• Kreftene til 2 er de eneste tallene som ikke kan deles med et annet oddetall enn 1.
• De sifrene i enheter av på hverandre følgende potenser av 2 danner en periodisk sekvens (2, 4, 8 og 6).
• Hver kraft på 2 er en sum av binomiale koeffisienter  :2ikke=∑k=0ikke(ikkek).{\ displaystyle 2 ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ velg k}.}
• Den virkelige tall 0,12481632641282565121024 ... dannes deretter (2- n ) n ∈ℕ av kreftene 2 er et univers tall .

Primtall av Mersenne

Et primær Mersenne-tall er et primtall av formen 2 N - 1. For eksempel primtallet 31 , som er skrevet som 2 5 - 1.

For 2 N - 1 er prime, er det nødvendig at N er slik, men denne tilstanden er ikke tilstrekkelig . Det minste moteksemplet er
2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Power of two  " ( se listen over forfattere ) .

1. Den liste over de første 1000 potenser av to kan bli funnet i de eksterne koblinger av A000079 suite av OEIS .
2. Den liste over opp til kan finnes22ikke{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}}}ikke=1. 3{\ displaystyle n = 13} i eksterne lenker av OEIS suite A001146 . 
3. I sin bok Tracking the Automatic ANT And Other Mathematical Explorations , David Gale gir en demonstrasjon, og han siterer et fem-linjers program av Stephan Heilmayr skrevet på Mathematica- språk , som gir den minste eksponenten av 2 ønsket når gitt ønsket sekvens.