Ikke-lineær resonans
I fysikk er ikke-lineær resonans utseendet til resonans i et ikke-lineært system . I ikke-lineær resonans avhenger oppførselen til systemet - resonansfrekvens og normal modus - av svingningens amplitude , mens det i et lineært system er uavhengig av amplitude.
Beskrivelse
Det må generelt skilles mellom to typer resonans - lineær og ikke-lineær. Fra fysikkens synspunkt avhenger det av tilfeldigheten (lineær resonans) eller ikke (ikke-lineær resonans) av en ekstern kraft med systemets naturlige frekvens . Betingelsen for ikke-lineær resonans på frekvensen er skrevet:
ωikke=ω1+ω2+⋯+ωikke-1,{\ displaystyle \ omega _ {n} = \ omega _ {1} + \ omega _ {2} + \ cdots + \ omega _ {n-1},}![\ omega_n = \ omega_ {1} + \ omega_ {2} + \ cdots + \ omega_ {n-1},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c2144e7e0ce5c1e7592f45e6fcea32cff930fb)
der , som kan være forskjellige, er egenfrekvensene til den lineære delen av en delvis differensialligning . Her er en vektor hvis forskjellige indekser tilsvarer Fourier-harmoniske, eller egenmodus (se Fourier-serien ). Dermed tilsvarer frekvensresonansbetingelsene en diofantinligning med flere ukjente. Å finne løsningene tilsvarer å løse Hilberts tiende problem som er bevist algoritmisk uløselig.
ωJeg=ω(kJeg){\ displaystyle \ omega _ {i} = \ omega (\ mathbf {k} _ {i})}
kJeg{\ displaystyle \ mathbf {k} _ {i}}
Jeg{\ displaystyle i}![Jeg](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
Hovedbegrepene og resultatene av teorien om ikke-lineær resonans er:
- Bruken av en spesiell form for dispersjonsrelasjon som vises i mange fysiske applikasjoner gjør det mulig å finne løsningene av tilstanden til resonans i frekvens.ω=ω(k),{\ displaystyle \ omega = \ omega (\ mathbf {k}),}
![\ omega = \ omega (\ mathbf {k}),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ef22e650b7a6cedcab7e7a0286bcebf2a5f3c2)
- Settet med resonanser for en gitt dispersjonsfunksjon og formen på resonansforholdene er delt inn i forskjellige grupper; dynamikken til hver gruppe kan studeres uavhengig (på riktig tidsskala).
- Hver gruppe resonanser kan representeres av et NR-diagram som er et plangraf over den spesielle strukturen. Denne representasjonen gjør det mulig å rekonstruere på en unik måte 3a) et dynamisk system som beskriver gruppens tidsmessige oppførsel og 3b) settet med dens polynomiske bevaringslover som er generaliseringen av konstantene til Manley - Rowe-bevegelse (in) for grupperer de enklere ( triader og kvartetter )
- Dynamiske systemer som beskriver visse typer grupper kan løses analytisk.
- Disse teoretiske resultatene kan brukes direkte til å beskrive virkelige fysiske fenomener (f.eks. Sesongens svingninger i jordens atmosfære) eller mange skjemaer turbulente bølger i teorien om turbulensbølger (in) .
Ikke-lineær resonansskift
De ikke-lineære effektene kan endre formen på kurveresonansen til harmoniske oscillatorer betydelig .
For det første forskyves resonansfrekvensen fra sin "naturlige" verdi i henhold til formelen:
ω{\ displaystyle \ omega}
ω0{\ displaystyle \ omega _ {0}}![\ omega_0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a713d16c489051d4f515e12b1f86061c6be799b)
ω=ω0+κPÅ2,{\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0} + \ kappa A ^ {2},}![\ omega = \ omega_0 + \ kappa A ^ 2,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65407b6d708788eeb7e83b669d0be51dd6e497ea)
hvor er oscillasjonsamplituden og en konstant definert av de anharmoniske koeffisientene.
PÅ{\ displaystyle A}
κ{\ displaystyle \ kappa}![\ kappa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d)
Deretter endres formen på resonanskurven (aliasing-effekt). Når amplituden til den eksterne kraften (sinusformet) når en kritisk verdi , vises ustabiliteter. Den kritiske verdien er gitt av formelen:
F{\ displaystyle F}
Fvs.rJegt{\ displaystyle F _ {\ mathrm {crit}}}![F_ \ mathrm {crit}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c710cb323988f45eb6290f72c5d79ed4306156)
Fvs.rJegt=4m2ω02γ333κ,{\ displaystyle F _ {\ mathrm {crit}} = {\ frac {4m ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} \ gamma ^ {3}} {3 {\ sqrt {3}} \ kappa }},}![F_ \ mathrm {crit} = \ frac {4 m ^ 2 \ omega_0 ^ 2 \ gamma ^ 3} {3 \ sqrt {3} \ kappa},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49271ab754e4b3a2e2b162a1216bca13083d69ec)
der er massen av oscillatoren og den demping koeffisient .
m{\ displaystyle m}
γ{\ displaystyle \ gamma}![\ gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
Til slutt dukker det opp nye resonanser der svingningene i frekvensen nærmer seg blir begeistret av en ekstern kraft hvis frekvens er ganske forskjellig fra .
ω0{\ displaystyle \ omega _ {0}}
ω0{\ displaystyle \ omega _ {0}}![\ omega_0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a713d16c489051d4f515e12b1f86061c6be799b)
Merknader og referanser
-
E. Kartashova , ikke- lineær resonansanalyse: Teori, beregning, applikasjoner , Cambridge University Press ,2010, 240 s. ( ISBN 978-0-521-76360-8 )
Se også
Relatert artikkel
Bibliografi
- (en) LD Landau og EM Lifshitz , Mekanikk , Oxford, Pergamon Press ,1976, 3 e ed. , 169 s. ( ISBN 0-08-021022-8 )
- Franz-Josef Elmer , “ Ikke-lineær resonans ”, physik.unibas.ch , Universitetet i Basel,20. juli 1988( les online [ arkiv av13. juni 2011] )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">