Spesiell relativitetsteori er teorien som ble utviklet av Albert Einstein i 1905 for å tegne alle de fysiske konsekvensene av den galileiske relativiteten og prinsippet om at lysets hastighet i vakuum har samme verdi i alle galileiske (eller treghets ) referanserammer. Som var implisitt angitt i Maxwells ligninger (men tolket mye annerledes til da, med Newtons "absolutte rom" og eteren ).
Den galileiske relativiteten på moderne språk sier at ethvert eksperiment gjort i en treghetsreferanseramme foregår på en helt identisk måte i enhver annen inertial referanseramme. Etter å ha blitt " relativitetsprinsipp ", vil uttalelsen bli endret av Einstein for å utvides til ikke-treghets referanserammer : fra "begrenset" vil relativitet bli " generell ", og vil også håndtere gravitasjon , som spesiell relativitet gjør ikke gjør.
Den spesielle relativitetsteorien har etablert nye formler for å flytte fra en galilensk referanseramme til en annen. De tilsvarende ligningene fører til spådommer av fenomener som kolliderer med sunn fornuft (men ingen av disse spådommene har blitt ugyldiggjort av erfaring ), en av de mest overraskende er bremsing av ur som beveger seg , noe som gjorde det mulig å designe tankeeksperimentet som ofte ble referert til som tvillingparadokset . Dette fenomenet brukes jevnlig i science fiction .
Spesiell relativitetsteori hadde også innvirkning på filosofien ved å eliminere enhver mulighet for eksistensen av absolutt tid og varigheter i hele universet (Newton). Etter Henri Poincaré tvang hun filosofer til å stille spørsmålet om tid og rom annerledes .
I Newtonsk mekanikk , de blir hastigheter tilsettes i løpet av en endring av ramme av referanse : dette er Galileo-transformasjoner . For eksempel, fra en rakett som beveger seg vekk fra jorden med en hastighet på 7 km / s , blir en kanonkule skutt fremover med en hastighet på 1 km / s i forhold til raketten, vil hastigheten på prosjektilet sett fra jorden være 8 km / s ; hvis ballen trekkes tilbake, vil dens observerte hastighet fra jorden være 6 km / s .
Ved slutten av den XIX th århundre , James Clerk Maxwell fastsetter de ligningene som styrer de elektromagnetiske bølger, inkludert lysbølger. I følge denne teorien, bør lysets hastighet bare avhenge av de elektriske og magnetiske egenskapene til mediet, noe som utgjorde et problem i tilfelle der dette mediet er vakuum, fordi dette antyder en uavhengighet av lysets hastighet med hensyn til rammen av referanse til måleinstrumentet: hvis en lysstråle sendes ut fra raketten i eksemplet ovenfor, fremover eller bakover, vil lysets hastighet målt i forhold til jorden være den samme, i motsetning til den til ballen. Hypotesen om eteren , forplantningsmediet for lys, og derfor en ganske naturlig hypotese, var å fjerne denne egenskapen fra lys og gjøre dens forplantning kompatibel med den galileiske relativiteten. I 1887 ble et eksperiment utført av Michelson og Morley for å måle jordens hastighet i forhold til denne eteren: et eksperiment som ligner på raketten nevnt ovenfor, og hvor jorden selv spiller rakettens rolle. De ønsket å måle denne hastigheten ved å markere forskjellen i lyshastighet mellom forskjellige mulige formeringsretninger. Ikke å ha oppdaget en signifikant forskjell, og resultatet av dette eksperimentet viste seg vanskelig å tolke, så mye at forfatterne gikk så langt at de forestilte seg en uforklarlig sammentrekning av måleinstrumentene i visse retninger: spesiell relativitet vil rettferdiggjøre det etterpå.
De transformasjon formler for å føre en observatør til annen ble fastslått ved Hendrik Lorentz før 1904; de var kompatibilitetsligninger hvis betydning ikke var tydelig for forfatteren. Andre fysikere, som Woldemar Voigt (1887), hadde tatt en lignende tilnærming enda tidligere. Henri Poincaré har publisert artikler for å presentere teorien om spesiell relativitetsteori. . Fordelingen av rollene til denne eller den andre lærde i fremveksten av den spesielle relativitetsteorien var gjenstand for kontrovers , særlig på 2000-tallet.
I 1905 , i sin artikkel On Electrodynamics of Moving Bodies , populariserte Albert Einstein konseptene og presenterte relativitet som følger:
De resulterende Lorentz-ligningene samsvarer med den fysiske virkeligheten. De har utilsiktede konsekvenser. Således tilskriver en observatør til en bevegelig kropp en lengde som er kortere enn lengden som tillegges den samme kroppen i hvile, og varigheten av fenomenene som påvirker den bevegelige kroppen forlenges i forhold til denne "samme" varigheten målt av stasjonære observatører i forhold til denne. kropp.
Einstein skrev også om formlene som definerer momentum og kinetisk energi slik at deres uttrykk blir uforanderlig i en Lorentz-transformasjon.
Tid og de tre romkoordinatene som spiller uatskillelige roller i Lorentzs ligninger, tolket Hermann Minkowski dem i en firedimensjonal romtid . Vær imidlertid oppmerksom på at tid og rom forblir av forskjellig natur, og at vi derfor ikke kan assimilere hverandre. For eksempel kan vi gjøre en U-sving i rommet når dette er umulig i tide.
I 1912 ble Lorentz og Einstein nominert til en felles Nobelpris for sitt arbeid med teorien. Anbefalingen var fra prisvinneren Wien fra 1911, som sier at “selv om Lorentz skulle betraktes som den første som fant det matematiske innholdet i relativitetsprinsippet, lyktes Einstein å redusere det til et enkelt prinsipp. Vi bør derfor vurdere fortjenesten til de to forskerne som sammenlignbare . Einstein mottok aldri en nobelpris for relativitet, denne prisen ble i prinsippet aldri gitt for en ren teori. Komiteen ventet derfor på eksperimentell bekreftelse. Da sistnevnte presenterte seg, hadde Einstein gått videre til annet viktig arbeid.
Einstein vil til slutt tildeles Nobelprisen i fysikk i 1921 "for hans bidrag til teoretisk fysikk , og spesielt for sin oppdagelse av loven om fotoelektrisk effekt " .
Einsteins teori er sentrert på relativitetsprinsippet som gjelder observasjon og måling av fenomener i henhold til referanserammen observatøren (eller måleinstrumentet) måler fra eksperimentet.
Spesiell relativitetsteori vurderer bare tilfellet der observatøren befinner seg i en inertial referanseramme , de andre referanserammene er gjenstand for generell relativitet . La oss huske at en referanseramme sies å være treghet hvis noe objekt isolert fra denne referanserammen (som ingen krefter utøves på eller som den resulterende av kreftene er null på) enten er stasjonær eller i ensartet rettlinjet translasjonsbevegelse. For eksempel: en rakett i rommet langt fra masse utgjør en treghetsreferanseramme hvis ingen motor er på.
De to postulatene om spesiell relativitetsteori er:
Det første postulatet er selve relativitetsprinsippet , i sin oppfatning begrenset til klassen av treghetsreferanserammer. Det formaliserer Galileos observasjon om at ensartet rettlinjet bevegelse er "som ingenting" for observatøren som tilhører den mobile referanserammen.
Det andre postulatet formaliserer tolkningen av Maxwells ligninger som det ikke er noen eter etter , og det samsvarer med eksperimentene (i første omgang Michelson og Morley ). Det tilsvarer postulatet at lysets hastighet ikke avhenger av lyskildens hastighet i observatørens referanseramme. En av konsekvensene er at lys kan brukes på en identisk måte i en hvilken som helst inertial referanseramme, som et kommunikasjonsmiddel for å synkronisere klokkene som er stille der.
Vi kan dispensere fra det andre postulatet for å bestemme ligningene til Lorentz-transformasjoner på betingelse av å innføre en ekstra hypotese til det første postulatet: romtiden er homogen og isotrop. Dette faktum ble oppdaget så tidlig som i 1910 av Kunz og uavhengig av Comstock. De ytterligere hypotese fører til en gruppe av transformasjoner, avhengig av en parameter c 2 , fysisk homogen med kvadratet av en hastighet. Disse transformasjonene er identifisert med Galileo-transformasjonene hvis c 2 er uendelig og med Lorentz-transformasjonene hvis c 2 er positiv endelig. Identifiseringen av c med lysets hastighet, etablert som endelig av observasjonene, resulterer i det andre postulatet. Jean-Marc Lévy-Leblond påpeker at denne tilnærmingen bare innebærer at det eksisterer en fartsgrense c , som er den for alle masseløse partikler, og derfor av lys i våre nåværende teorier. Hvis fotonet skulle vise seg å ha en masse (se om dette emnet de fysiske egenskapene til fotonet ), ville ikke relativitet (eller mer nøyaktig dens matematiske beskrivelse) settes i tvil, men lyset ville ha en hastighet litt lavere enn c , og som vil avhenge av referanserammene, så vel som energien til fotonene som utgjør den, og derfor av bølgelengden.
Synkroniseringen av de stasjonære klokkene innenfor den samme treghetsreferanserammen gjør det mulig å datere hendelsene som er observert der og definere en samtidighet for denne referanserammen, mens informasjonen bare når observatøren på en forsinket måte fordi de reiser maksimalt med lysets hastighet .
Men to klokker som beveger seg i forhold til hverandre, kan ikke synkroniseres, samtidig er ikke den samme for to treghetsreferanserammer som beveger seg i forhold til hverandre.
Det gis to treghetsreferanserammer, i jevn rettlinjet oversettelse i forhold til hverandre, hvordan kan vi være sikre på at de har det samme systemet for måling av tid og lengder?
Fenomenet "å bremse ned bevegelige klokker " gjør det ikke mulig å synkronisere bevegelige klokker med de som er stasjonære i observatørens referanseramme .
Vi betrakter to referanserammer, og den første referanserammen drives av hastigheten i forhold til referanserammen . For å forenkle beregningen jobber vi først innenfor rammen av såkalte "spesielle" transformasjoner, preget av det faktum at aksesystemene x, y, z og x ′, y ′, z ′ er parallelle, at aksene O 'X' og Oks er vanlige og parallelle med hastighet , og antar at når den romlige opprinnelsen til de to referanserammene ble slått sammen, indikerte klokkene (faste i de respektive referanserammene, ved O og O ') t = 0 og t ′ = 0 (initialisering av klokkene). Denne begrensningen forringer på ingen måte resultatene. Vi skriver nedenfor formlene som gjelder hastighet som peker i hvilken som helst retning.
Einsteins hypoteser fører til såkalte ” Lorentz ” -transformasjoner . De Lorentz formler tillater å uttrykke koordinatene ( x , y , z , t ) for en gitt hendelse i den "faste" referanse (si Earth) basert på koordinatene ( x ' y' , z ' , t' ) av samme hendelse i det "mobile" depotet (si en rakett). De er skrevet:
hvor og er dimensjonsløse faktorer definert av
Disse uttrykkene er forenklet og tar form nær en rotasjon hvis man spiller inn de hyperbolske funksjonene til parameter θ , kalt hurtighet , som er en "rotasjonsvinkel" i Minkowski-rommet , definert av
Med disse notasjonene får vi og
For å oppnå formlene som tilsvarer den omvendte transformasjonen, er det tilstrekkelig å endre β til - β , og derfor θ til - θ .
En oppskrift: For å finne tegnet å sette foran sinh θ , bare vurder et hvilepunkt i en av referanserammene (si det fra raketten, med for eksempel x ′ = 0) og se hva tegnet må være av den romlige koordinaten i den andre referanserammen (si den faste referanserammen der x vokser hvis raketten har en positiv hastighet).
Lorentz transformasjoner for en vilkårlig retning av hastigheten
Hvis de spesielle transformasjonene forenkler den analytiske studien, forringer de ikke allmenheten. Man kan enkelt overføre til tilfellet der de bevegelige referanserammene ikke er parallelle med hverandre, og har noen retning i forhold til deres relative hastighet . Det er alltid mulig å spalte vektoren i to retninger: den parallelle med forskyvningen og den ortogonale til denne . Så vi har:
Ved å spørre
Lorentz-transformasjonene gir:
Som leder til
Som
vi har (ved å multiplisere vektor med )
Man får dermed uttrykk for de generelle transformasjonene av Lorentz i form:
Lorentzs transformasjoner fører til en revolusjonerende visjon om fysikk og avslører fenomener som kolliderer med sunn fornuft.
I eksemplene som følger vil vi bli ledet til å vurdere to påfølgende hendelser. Vi vil derfor omskrive de foregående formlene ved å erstatte x og t med Δx og Δt som representerer den romlige eller tidsmessige forskjellen mellom den første hendelsen og den andre.
Relativitet av samtidighetRelativitet begrenser begrepet samtidighet til hendelser sett fra en enkelt galilensk referanseramme: hvis to hendelser er samtidige i , på to forskjellige punkter av , så er de generelt ikke lenger samtidige i en annen referanseramme som beveger seg mht. Til .
Lorentz-transformasjoner gjør det mulig å sikre dette: generelt vet vi det , derfor hvis vi er i referanserammen , så i referanserammen vi har hvis .
Vi kan legge merke til at hvis i linjesegmentet som forbinder de to punktene, er vinkelrett på den relative hastigheten mellom de to referanserammene, det vil si , men og / eller , så er de to hendelsene samtidig i en enn i den andre oppbevaringssted. Dette er et eksempel som viser at i relativiteten til målinger når de går fra en referanseramme til en annen, er det forskjeller i effekter mellom retningen til den relative hastigheten mellom disse to referanserammene og de vinkelrette retningene.
Utvidelse av varighetDen tidsintervallet mellom to hendelser i en referanseramme måles ved hjelp av en annen mengde i en annen referanseramme hvis den sistnevnte er i bevegelse i forhold til den første. Dermed vil en klokke som beveger seg i en referanseramme se ut til å bli redusert sammenlignet med en identisk klokke, men fortsatt i denne referanserammen.
En eksperimentell verifisering ble utført i 1960 av fysikere Robert Pound og Glen Rebka ved å akselerere atomer, fra en radioaktiv krystall som vibrerer rundt deres likevektsposisjon, ved å øke varmen, noe som ga en mindre måling av frekvensen av gammastrålene som sendes ut (det vil si si en utvidelse av perioden), målingene stemmer overens med prognosene med en 10% feilmargin.
Et paradoks ser ut til å dukke opp: hvordan kan det være at klokkene bremser når de sees fra , og at klokkene etter symmetri bremser når de sees fra ? Dette utgjør ikke et problem: hver referanseramme ser den andre operere med lav hastighet, og hvis det er en vanlig nullstilling av klokkene til de to referanserammene, ser hver hva som kommer fra den andres fortid i forhold til tid. gått på sin egen urørlige klokke. Saken der det mellom to klokker er et møte og deretter en avstand og deretter et nytt møte, noe som gjør det mulig å sammenligne tiden som har gått mellom de to møtene i det ene og det andre, er gjenstand for tvillingenes paradoks .
Sammentrekning av lengderAnta at en stanglengde L er ubevegelige i depotet , orientert i retning av den relative hastigheten mellom referansen og og hvorvidt den måles, i forbifarten , ved hjelp av en stasjonær regel i depotet . Denne målingen vil gi et resultat mindre enn L : i referanserammen er stangen i bevegelse og måles kortere enn sin egen lengde.
De Lorentz transformasjoner er, forutsatt at hastigheten er parallell med aksen (okse) og setting og :
For målingen som er gjort i referanserammen , har vi , og vi får .
Legg merke til at og : målingene av lengdene vinkelrett på den relative hastigheten mellom referanserammene er uendret.
Vi viser også ikke-samtidigheten av bestemmelsen av endene sett fra den andre referanserammen : som gjør det mulig å si at sett fra referanserammen i bevegelse, er målingen utført i den der regelen er stasjonær ikke bra ferdig.
Akkurat som med bremsing av ur som beveger seg, kan vi komme over mange paradokser. En av de mest kjente som er relatert til denne relativistiske lengdekrimpningen, er at bilen skal passe inn i en kortere garasje enn den, forutsatt at den kjøres raskt nok: togets paradoks .
Enkel illustrasjonI det følgende eksperimentet, som på en enkel måte illustrerer utvidelsen av tid som er forutsagt av spesiell relativitet, betrakter vi et fotonur der et lyskorn går frem og tilbake mellom to speil med lysets hastighet c .
Varigheten av en rundtur i en referanseramme er lik kvoten for reisen som er gjort i denne referanserammen med lysets hastighet, som ikke avhenger av referanserammen. Hvis klokken er festet i forhold til observatøren, tilsvarer banen avstanden i hvile mellom de to speilene og varer en tid på 2 t . Hvis klokken beveger seg i forhold til observatøren, vil sistnevnte se fotonet følge en brutt linje lenger enn segmentet som ble reist i forrige referanseramme. 2 t ' varigheten av reisen er større enn 2 t : det bevegelige klokke er forsinket (det er Tidsdilatasjon ).
Lengden på hypotenusen til høyre trekant ABH i figuren er ct ', den av høyden er ct og den for basen er vt ' hvis vi betegner v hastigheten på oversettelsen av klokken i den "faste" referanserammen . Vi har derfor ( Pythagoras teorem ):
fra der vi umiddelbart trekker
Vi finner således på en enkel måte den forrige formelen som gir utvidelse av tid .
Siden lysets hastighet er omtrent 300 000 km / s, har et fly som flyr med 0,3 km / s (dvs. 1000 km / t ) en hastighet nær en milliondel av lysets hastighet, slik at feilen begått ved bruk av den galileiske tilnærmingen er mindre enn en milliondel av en milliondel (eller 10-12 ), ganske ubetydelig i dagens praksis. For veldig nøyaktige målinger av reisetider som brukes i romeksperimenter og også av GPS , er det imidlertid viktig å ta hensyn til relativistiske korreksjoner (både for spesiell relativitet og generell relativitet for den saks skyld).
For en kropp som beveger seg med en hastighet lik en tidel av lysets, er den relativistiske effekten i størrelsesorden en prosent. Dermed blir de relativistiske effektene bare signifikante for hastigheter nær lyshastigheten, som er umulige å oppnå i hverdagen (men ikke i laboratoriet: tvert imot, partikkelakseleratorer tillater hastigheter på opptil noen få meter. Per sekund mindre enn bare c ). Dette er en av grunnene til at vi har problemer med å konkret gripe funksjonen til spesiell relativitet.
Relativistisk teori kan gi inntrykk (om bare ved navn) å gjøre ting helt avhengig av referanserammen (treghet) som målingene blir gjort fra. Imidlertid prøver spesial relativitet, tvert imot, å identifisere det som er uforanderlig ved å endre koordinatene. Fra dette perspektivet er invariansen av rom- tidsintervallet mellom to hendelser et grunnleggende element i relativistisk teori.
I en referanseramme kjennetegnes en hendelse av dens romtemporale koordinater : “et slikt sted, et øyeblikk”. To hendelser lokalisert henholdsvis ved x 1 , y 1 , z 1 , t 1 og ved x 2 y 2 , z 2 , t 2 er atskilt med et "rom-tidsintervall" hvis kvadrat er definert av
Vi vil skrive enklere
Denne mengden , kalt "kvadratet av rom-tidsintervallet", er en relativistisk invariant : verdien avhenger ikke av den inertielle referanserammen den blir evaluert i, Lorentz-transformasjonene viser det .
Som et resultat av tilstedeværelsen av tegnet "-" i formelen til denne "firkanten", kan det være positivt eller negativt: navnet "firkant" er bare konvensjonelt . Dette er det som utgjør hele forskjellen med kvadratet til den euklidiske avstanden, som alltid er positiv: mengdene og er "ekte" firkanter, og som sådan positive.
Fortegnet av rom-tid-invariant ogA s 2 gjør det mulig å klassifisere to arrangementer i forhold til hverandre, avbildes av lyskjeglen , har denne klassifiseringen et absolutt karakter og tilsvarer deres mulighet eller ikke av d 'være forbundet ved hjelp av en årsaks linken .
Tid og rom spiller symmetriske roller i rom-tidsintervallet, så det er fornuftig å måle dem på samme måte. Dette er synspunktet som er vedtatt av den nye definisjonen av lysets hastighet , som blir fastlagt vilkårlig og etablerer en de facto ekvivalens mellom lengde og tid ved å omdefinere måleren fra den andre . Konkret, fordi lysets hastighet er identisk i en hvilken som helst inertial referanseramme, er det mulig å måle en avstand eller en tid enten i centimeter eller i sekunder.
Den rette tiden for en klokke er tiden som går i den hastigheten den viser den på. Den rette tiden til en partikkel er den riktige tiden for en klokke som ville være på sin plass, det er tiden som går i en referanseramme der den er ubevegelig. På grunn av "bremsing av bevegelige klokker" anser en observatør (i det minste i en inertial referanseramme) at klokkens egen tid blir redusert i forhold til sin egen tid, med mindre observatøren er seg selv. Ubevegelig i forhold til den . Den riktige tiden for en referanseramme blir generelt notert .
I referanserammen (visstnok inertial) der den er stasjonær, har partikkelen en strøm av sin egen tid, og variasjonene av dens romlige koordinater er null , og sett fra en annen inertial referanseramme er disse variasjonene og . På grunn av kvadratet til kvadratet i rom-tidsintervallet har vi således : riktig tid og rom-tidsintervall er like, opp til koeffisienten . I det minste på grunn av dette er riktig tid uforanderlig ved endring av referanseramme.
Og liksom , hvor er da den relative og konstante hastigheten mellom de to referanserammene, formel som man finner direkte ved transformasjonene av Lorentz.
Som den riktige tiden er kortere enn tiden for referanserammen der målingene blir gjort av observatøren: det er bremsing av bevegelige klokker .
Er dermed bemerket at en partikkel som beveger seg i lysets hastighet er ikke i riktig tid, eller at dens egen tid ikke flyter: . Bevegelsen med lysets hastighet, og derfor fraværet av riktig tid, gjelder faktisk bare partikler med null masse .
I Newtons mekanikk er rom skilt fra tid, og vi studerer bevegelsen til en partikkel som en funksjon av absolutt tid. Grafisk representerer vi banen i rommet, men aldri i tide, og denne banen kan for eksempel ha form av en rett linje eller en ellips .
I spesiell relativitet følges hendelser i et 4-dimensjonalt rom, tre i rommet og en i tid, og det er følgelig umulig i det mest generelle tilfellet å visualisere kurven som representerer rekkefølgen av hendelser som gjenspeiler forskyvningen av partikkelen både i tid og i verdensrommet . Denne kurven kalles partikkelens universlinje . For å overvinne vanskeligheten med å representere fire dimensjoner, begrenser vi oss ofte til to dimensjoner, en av rom og en av tiden. Med andre ord betrakter vi bevegelser bare langs x- aksen , y- og z- koordinatene forblir uendret. Så gjenstår bare variablene x og t , som gjør det mulig å tegne i et todimensjonalt kartesisk koordinatsystem banen til en partikkel i romtid: dens universlinje.
Det bemerkelsesverdige er at universallinjen til partikkelen i hvile ikke lenger er et eneste punkt, men tidssegmentet. Faktisk, hvis partikkelen ikke beveger seg ( x = konstant) fortsetter tiden å passere i løpet av den vurderte perioden!
Minkowski-diagram over en treghetsreferanseramme. I gult er banen til et foton x = ct, med c = lysets hastighet .
Tre referanserammer er representert: en romlig koordinat og en timelig koordinat for hver.
Den riktige tiden for en reise tegnes større enn tiden for referanserammen, mens den er kortere: det er en grense for denne grafiske representasjonen.
Hvis et linjesegment representerer i dette diagrammet en bevegelse med konstant hastighet, er det generelt en kurve som vil oversette bevegelsen til en partikkel.
Linjesegmentet mellom "avgang" og "ankomst" langs tidsaksen representerer jordlinjens universlinje, hvis romlige koordinat, lik 0, ikke varierer. Den buede linjen representerer hendelsesforløpet som utgjør rakettens reise. Den krøllete koordinaten som gjør det mulig å finne et punkt på denne kurven er den riktige tiden for raketten, det som måles med den innebygde klokken.
De relativistiske formlene viser at riktig tid langs den kurvlinære banen er kortere enn den rette tiden langs den rettlinjede banen (her den som representerer terrestrisk tid). Dette fenomenet er grunnlaget for tvillingparadokset . En av brødrene tar en rundtur i en hastighet nær lyset (som også er umulig å oppnå, men det er en tenkt opplevelse ) mens broren forblir på jorden. På vei tilbake finner den reisende seg yngre enn broren.
I en rakett som beveger seg i hastighet i forhold til jorden, avfyres en kanonkule med hastigheten målt i raketten. Hva er hastigheten på ballen målt på jorden?
I galilensk kinematikk blir hastighetene lagt til, og det ville vi ha
I relativistisk kinematikk er loven om hastighetssammensetning annerledes:
Forutsatt at vi skriver og Eller i vektornotasjon kan vi spalte kanonkulens hastighet til en parallell hastighet og en ortogonal hastighet , og oppnå . Enten i vektornotasjon:
I raketten er avstanden Δ x reist av kulen i løpet av tiden Δ t er
Bruke Lorentz formler
og ved å erstatte Δ x med sin verdi, kan vi enkelt finne ballens hastighet i den jordiske referanserammen i form:
Derav formlene.Dette forholdet viser at loven om hastighetssammensetning i spesiell relativitet ikke lenger er en additivlov, og at hastigheten c er en begrensende hastighet uansett referanseramme betraktet (det er lett å verifisere at sammensetningen av to hastigheter mindre enn eller lik c er fortsatt mindre enn eller lik c ).
I tilfelle der de to hastighetene og er parallelle , er det imidlertid en parameterinnstilling som gjør det mulig å oppnå en additivlov. For å gjøre dette er det tilstrekkelig å bytte fra hastigheten v til vinkelhastighetsparameteren θ introdusert tidligere , og kalt hastighet .
La oss vise at i en sammensetning av hastigheter er vinkelparametrene til hastighet lagt til.
Poserer , , og ved hjelp av formelen for tilsetning av hyperbolske funksjoner , finner vi
Vinkelparameteren som tilsvarer hastigheten c er uendelig siden artanh ( x ), det hyperbolske tangensargumentet til x , har en tendens til uendelig når x har en tendens til 1. Vi finner derfor at c er en grensehastighet uavhengig av den valgte referanserammen ... Denne fartsgrensen er umulig å nå for en massiv partikkel, bare partikler med null masse, som fotonet , kan bevege seg med lysets hastighet.
Digital applikasjonLa oss forestille oss at en ball blir avfyrt med hastigheten w ' = 0,75 c i referanserammen til en rakett som beveger seg med hastigheten v = 0,75 c i forhold til jorden. Hva er hastigheten på ballen målt på jorden? Verdien 1,5 c som den galileiske formelen ville gi oss er tydeligvis falsk, siden hastigheten som oppnås vil overstige lysets. De relativistiske formlene inviterer oss til å gå frem som følger. Den parametriske vinkelen til skallets hastighet i forhold til raketten er Den parametriske vinkelen til rakettens hastighet i forhold til jorden har samme verdi Hastigheten til skallet i forhold til jorden er derfor , dette som tilsvarer hastigheten
Vi kan åpenbart finne dette resultatet direkte på formelen som gir w som en funksjon av w ' og v .
I Newtonian mekanikk studerer vi bevegelsen til en mobil ved å følge dens posisjon som en funksjon av tid t , denne gangen antas å være absolutt i sin natur, uavhengig av klokken som måler den. I relativitet forlater vi dette synet på ting for å betrakte bevegelsen til en partikkel som en rekkefølger av hendelser , kurven som er beskrevet av denne hendelsen i et firedimensjonalt rom (tre for rom, en for tid) og deretter ta navnet "universrad ".
Som i klassisk mekanikk definerer vi hastigheten til en partikkel ved å ta derivatet
av posisjonen med hensyn til tid, på samme måte i relativistisk mekanikk definerer vi hastighetsvektoren i fire dimensjoner (eller quadrivector speed)
hvor er riktig tid for partikkelen.
Ved å forklare komponentene til denne quadrivectoren i en gitt referanseramme, kan vi skrive
uttrykk der vi har introdusert faktoren c for å arbeide med homogene koordinater.
På grunn av uforanderligheten til kvadratet i romtidsintervallet ved endring av treghetsreferanseramme, er kvadratet til pseudonormen til firdobbelthastigheten også en invariant ved endring av referanserammen. Og som i partikkens egen treghetsreferanse (tangensiell og øyeblikkelig), er bare den tidsmessige delen av den firdobbelte hastigheten til partikkelen ikke null og er verdt c (fordi tiden for denne referanserammen er sin egen tid og hastigheten er null): hastighetskvadriveren har komponenter (c, 0, 0, 0). Følgelig vil vi i en hvilken som helst galilensk referanseramme ha forholdet
kvadrat av pseudonormen til = (tidsmessig del av ) 2 - (romlig del av ) 2 = c 2 .Det er invariansen i denne normen som gjør det mulig å snakke om quadrivector av en partikkel uavhengig av ethvert koordinatsystem.
Akkurat som momentet til en partikkel, hvis variasjon ofte blir feilaktig kalt "impuls" av anglisisme, var produktet " " av masse etter hastighet, så var også produktet "m " av quadrivector-hastigheten " " av massen " m "av partikkelen blir en quadrivector momentum. Det kalles ofte " energimomentum " -vektoren , og uttrykker dermed det faktum at energi og momentum (i det minste momentum ) er samlet i et fysisk konsept på en uadskillelig måte, på samme måte som rom og tid. Utgjør romtid . Faktisk, hvis de romlige komponentene til denne kvadrivektoren blir identifisert på en åpenbar måte med de av en klassisk impuls, ble fysikerne ledet av Einstein for å identifisere den tidsmessige komponenten i denne kvadriveren med energien til den betraktede partikkelen.
I en treghetsreferanseramme (for eksempel den jordiske referanserammen som en første tilnærming, heretter referert til som laboratoriereferanserammen ) er koordinatene til hendelsene knyttet til den overvåkede partikkelen ( t , x , y , z ) og komponentene i denne referanserammen til den mobile energi-impuls-quadrivectoren er:
; med:Siden denne kvadrivektoren er proporsjonal med firetrinnet (som er av pseudonorm c) av koeffisienter som er uforanderlige ved endring av inertial referanseramme, har vi, i enhver inertial referanseramme:
Definisjonen av energi-bevegelses quadrivector , ved hjelp av elementene og den naturlige tids invariant ved endring av referanserammen, gjør det mulig enkelt å anvende de Lorentz-transformasjoner til den for en endring av treghetsreferanserammen i det tilfelle der er parallell med den relative hastigheten mellom de to depotene:
På grunn av definisjonen av energimomentkvadriveren, spesielt dens tidsmessige koordinat, ender vi opp med uttrykket for den totale energien til partikkelen i laboratoriets referanseramme , den med hensyn til hvilken partikkelen fremskyndes ( fordi energien avhenger av referanserammen den beregnes i!) i form av:
På den annen side, siden komponentene av partikkelens hastighet i laboratoriets referansesystem er:
Ved å ta hensyn til tidsutvidelsesfaktoren mellom d t og d , kommer vi til den andre viktige formelen som gir verdien av impulsen i laboratoriereferanserammen :
Kvadrivatoren med energimomentum har den karakteristikken at den har sin norm , eller dens skalar kvadrat (i betydningen av rom-tid intervall firkanten ), uforanderlig under en endring av referanserammen. Kort sagt antall:
er uavhengig av referanserammen der den beregnes. Imidlertid, i referanserammen til partikkelen, er hastigheten null, i likhet med momentum, slik at normen for denne uforanderlige størrelsen er verdt (m c ) 2 . I en hvilken som helst referanseramme har vi derfor følgende kapitalforhold:
eller:
(Faktorene c som blir introdusert i disse formlene sikrer deres homogenitet, pa størrelsen på ( m v ), E som ( m v 2 ).)
Vi kan gjøre flere observasjoner:
(i) Verdien av den totale energien til partikkelen avhenger av observatørens referanseramme. Verdien av masseenergien er imidlertid identisk i alle referanserammer, og spesielt i den spesifikke referanserammen for partikkelen. Det er derfor en iboende egenskap ved partikkelen. (ii) Når v har en tendens til c , har det en tendens til uendelig, noe som betyr at det tar uendelig energi å akselerere en partikkel til den når lysets hastighet . Dette er åpenbart umulig. Det er imidlertid mulig å akselerere partikler til hastigheter veldig nær c. (iii) Spesiell relativitetsteori vises i alle fysiske fenomener, selv der de mellomliggende hastighetene ikke er "relativistiske". En skjærende eksempel er den enkleste atomet massen defekten : massen av hydrogenatomet er mindre enn summen av massene av elektronet og protonet ved en mengde som bare tilsvarer den tilsvarende i massen av ioniseringsenergien for atomet. Massedefekt i størrelsesorden tiendedel milliarddeler. Denne virkeligheten av massedefekten vises selvfølgelig for alle de andre atomene, så vel som i deres molekylære bindinger.Den ekvivalensen mellom masse og energi er gitt ved den kjente forbindelse E = mc 2 . Å utgjøre denne ekvivalensen var et revolusjonerende trinn, fordi begrepene materie og energi var forskjellige fram til da, selv om visse forskere, som Poincaré og Lorentz , uavhengig hadde forsøkt tilnærming innen elektromagnetisme. I dag skal man heller ikke overvurdere denne ekvivalensen, for mens massen er normen for quadrivectoren med energi-momentum, er energien bare en av komponentene i denne quadrivectoren. Massen gitt av:
er uforanderlig ved endring av referanseramme (det er det samme i alle referanserammer). Tvert imot avhenger energien av den valgte referanserammen, det er tydelig siden hastigheten endres, endres også den kinetiske energien.
I klassisk fysikk bevares det samlede momentum og kinetiske energi til et isolert system over tid, i det minste når sjokkene er elastiske . Det er en eiendom som er kompatibel, men uavhengig av det galileiske relativitetsprinsippet. En endring av den galileiske referanserammen gir nye verdier til den kinetiske energien og til koordinatene til systemets momentum, men også disse verdiene blir bevart over tid, i denne referanserammen.
I spesiell relativitet er det den globale energimomentkvadriveren til et isolert system som er bevart, og det er også en eiendom som er kompatibel og uavhengig av Einsteins relativitetsprinsipp . Koordinatene til denne firedimensjonale vektoren ( quadrivector ) grupperer energi og momentum, og opprettholdes uavhengig av interaksjonen mellom elementene i det isolerte systemet . Som i ikke-relativistisk fysikk, gir en endring av referanseramme nye verdier til energien (tidsmessig koordinat) og til koordinatene til impulsen (romlige koordinater), og i denne nye referanserammen bevaring av verdiene Av disse koordinatene, over tid, er fortsatt gyldig.
Prinsippet om fasthet er som følger:
Uansett detaljene i eksperimentet, er quadrivectoren til et isolert partikelsystem bevart i enhver intern interaksjon.Med andre ord kan vi skrive:
Siden quadrivector er konservert, blir hver av komponentene i et gitt referansesystem (hvis verdier avhenger av det valgte systemet) også konservert i kollisjoner. Den temporale komponenten som representerer energien E i systemet og den romlige komponenten som representerer dens impuls , ender vi derfor med to bevaringslover for hver referanseramme, en for energi, den andre for bevegelsesmengden (eller impulsen).
Et (akademisk) eksempelEn kollisjon av to partikler er vist i figuren motsatt. En partikkel A med masse 8 (i vilkårlige enheter) animert med en hastighet v / c på 15/17 rettet mot høyre treffer en partikkel med masse 12 som kommer i motsatt retning med en hastighet v / c på 5/13 (figurene ble valgt slik at beregningene "faller rett"). Etter kollisjonen spretter A i den andre retningen, etter å ha kommunisert til B en del av sin fremdrift. Den totale energien, summen av energiene til partiklene A og B er bevart, og det samme er momentum. Mengdene E og p som er angitt representerer faktisk (E / c 2 ) og (p / c) og uttrykkes i vilkårlige masseenheter. Med disse størrelsene har vi forholdet E 2 = p 2 + m 2 . Faktoren γ er alltid definert av γ = [1 - (v / c) 2 ] -1/2 .
I en partikkelakselerator hender det at en partikkel med veldig høy energi kolliderer med en partikkel i ro og kommuniserer til den siste delen av sin kinetiske energi. Hvis den eneste utvekslingen av energi gjelder nettopp denne kinetiske energien (bevaring av systemets momentum), sier vi at sjokket er elastisk . Formlene som gjenspeiler bevaringen av kvadrivatoren til systemet som dannes av disse to partiklene, gjør det mulig å analysere kollisjonen. I Newtonian mekanikk danner retningen av to partikler av samme masse etter et støt en rett vinkel. Dette er ikke tilfelle i tilfelle støt mellom relativistiske partikler der deres retninger danner en spiss vinkel. Dette fenomenet er godt synlig på opptakene av kollisjoner laget i boblekamre .
Tenk på et elektron med masse m og veldig høy energi som treffer et annet elektron i utgangspunktet i ro. Pulsvektorene til de to partiklene er tegnet i figuren motsatt. Før sjokket er impulsen til det innkommende elektronet . Etter sjokket er impulsene til de to elektronene og . Ved å skrive energien til et elektron som summen av hvilende energi mc 2 og dets kinetiske energi K , kan vi skrive den totale energien til systemet før kollisjonen som:
Like måte,
Loven om bevaring av energi sier at E = E 1 + E 2 og derfor
formel som indikerer at den kinetiske energien også er konservert (elastisk kollisjon).
Loven om bevaring av momentum sier det
og derfor, hvis vi kaller θ vinkelen mellom de to vektorene og , har vi forholdet
fra der vi tegner
Ved å uttrykke impulsen til de forskjellige elektronene i henhold til deres energi og masse ved hjelp av formlene angitt ovenfor, får vi
for hendelseselektronen og
for elektroner etter støt.
Som K = K 1 + K 2 ender vi lett opp med den til slutt enkle formelen
Denne formelen viser at cos θ er positiv og derfor at retningene til elektronene i den endelige tilstanden danner en spiss vinkel mellom dem.
Man finner lett i litteraturen behandlingen av saken der sjokket er symmetrisk, de to elektronene har hver den samme energien K 1 = K 2 = K / 2. I denne spesielle situasjonen blir den generelle formelen
for en symmetrisk kollisjon.Formlene gjelder åpenbart tilfellet med kollisjonen mellom to protoner.
En fysisk anvendelse av energi- og momentumbevaringsformlene til et partikkelsystem er gitt ved analysen av kollisjonen mellom et høgenergifoton og et hvilende elektron, hvilket sjokk utgjør det vi kaller Compton-spredningen .
La oss anta at et isolert system er kjent og består av partikler uten interaksjon, i en referanseramme R : og er kjent og forblir uendret over tid, i denne referanserammen.
I klassisk fysikk utgjør ikke definisjonene av treghetssenteret , og av en treghetsramme der dette sentrum er stasjonært, ikke noe problem: avstandsvektorene og kroppsmassene brukes. I relativistisk fysikk kommer en lignende definisjon opp mot et valg av vanskeligheter (skal vi velge massene eller energiene?) Uten et avgjørende kriterium.
Definisjonen som benyttes er den som gjør det mulig å bruke relativistisk likheter på enklest måte: referanserammen kjent som “i sentrum av treghet” er referanserammen R * hvor den totale impuls er null, det vil si .
I denne referanserammen verifiserer energien E * i systemet likhet fordi det bare er en endring av referanserammen .
Den relative hastigheten mellom referanserammene R og R * , bemerket , sjekker , men denne hastigheten brukes sjelden i beregningene.
Verdien av den totale massen M * av det således oppnådde systemet er uavhengig av referanserammen der den blir evaluert: Denne uforanderligheten sammenlignet med endringer i referanserammen, og verifiseringen av formlene til kvadrivektorimpulsen til systemet gjør at denne definisjonen oppfyller alle forventede egenskaper for en masse .
Ved å bevare energi, og fraværet av interaksjon (det er derfor ingen energi i systemet viet til det), har vi:
Nå er energien E j * av hver partikkel j (i referansen R * ) summen av energien m j c 2 som tilsvarer massen i hvile m j lagt til sin kinetiske energi K j * (alltid i referansen R * ), det vil si: . Fra hvor :
Dette viser at: den totale massen til et system av uavhengige partikler er større enn summen av de individuelle massene til partiklene .
Bevaringen av quadrivectoren for energiimpuls forklarer at massen til et system ikke kan konserveres i en reaksjon for å transformere seg selv til energi, helt eller delvis. Dette er hva som skjer i reaksjonene av fisjon , fusjon og utslettelse av partikler .
Anta at en kropp i ro, med masse M , spontant forfaller til to deler av respektive masser ( masser i hvile ) og : vi viser at da er massen M større enn og at forskjellen tar form av en energikinetikk.
Loven om bevaring av energi gir fordi , og derfor .
I tilfelle denne oppløsningen ikke kan være spontan, kan den bare finne sted etter å ha tilført en energi som er minst lik den "bindende energi" som er lik .
Loven om bevaring av momentum gir derfor hvorfra man trekker .
Til slutt, likhetene og tillate å bestemme energiene til de to nye partiklene: og . Forskjellen i masse omdannes til kinetisk energi for de to nye partiklene, energi som finnes i og .
Vi kan også beregne normen for impulser til de to partiklene, og derfor også av deres hastigheter.
Partikkelfisjon involverer også bevaring av kvantetall : elektrisk ladning , spinn osv.
De uttrykk som gir og som en funksjon av , og fører til formelen
.Hvis hastigheten på partikkelen er lik lysets hastighet (det vil si hvis ), så ser vi ved å beregne at massen til partikkelen nødvendigvis er null. Omvendt, hvis massen av partikkelen er null, da og følgelig .
Så "en partikkel har null masse" tilsvarer "dens hastighet er lysets hastighet".
I astronomi oppdages partikler som bærer kolossal energi: kosmiske stråler . Selv om produksjonsmekanismen deres fremdeles er mystisk, kan vi måle energien deres. De betydelige tallene som er oppnådd viser at analysen deres krever bruk av spesielle relativitetsformler. Kosmiske stråler gir derfor en ideell illustrasjon av Einsteins teori.
Partikler oppdages opp til utrolige energier i størrelsesorden 10 20 elektron volt , eller hundre EeV . Så anta at en kosmisk stråle er en proton på 10 20 eV. Hva er hastigheten på denne partikkelen?
I uttrykket som gir energien E , representerer begrepet m c 2 energien til partikkens hvilemasse. Det til protonet er omtrent 1 GeV, eller 10 9 eV. Forholdet mellom E og m c 2 er lik 10 20 /10 9 = 10 11 og er annet enn strekkfaktoren av tiden . Hva er hastigheten på denne protonen? Skriftlig finner vi det
Med andre ord er protonens hastighet nesten lik lysets hastighet. Den skiller seg bare fra den med mindre enn 10-22 (men kan uansett ikke tilsvare den).
La oss se hva disse figurene innebærer for de relativistiske faktorene som eksisterer mellom den spesifikke referanserammen for partikkelen og den jordiske referanserammen. Vår Galaxy , med en diameter på ca 100 000 lysår , er krysset av lys i 100.000 år. For en jordisk observatør krysser protonen Galaxy samtidig. I den relativistiske protonens referanseramme er den tilsvarende tiden 10 11 ganger lavere, og er derfor verdt 30 sekunder (et år er 3 × 10 7 sekunder). Den krysser Galaxy på 30 sekunder av sin egen tid, men i 100.000 år av vår jordiske tid.
Når denne kosmiske strålen treffer et oksygen- eller nitrogenatom i jordens atmosfære i en høyde i størrelsesorden 20 til 50 kilometer over bakken, utløses en dusj av elementære partikler, spesielt inneholdende muoner . Noen av dem beveger seg mot bakken med en hastighet som er praktisk talt lik lysets, på 300.000 kilometer per sekund i den jordiske referanserammen. Disse partiklene krysser derfor de omtrent 30 kilometerne av atmosfæren på 10 -4 sekunder (eller 100 mikrosekunder).
I referanserammen der den er i ro, har en muon en halveringstid på 2 μs (2 mikrosekunder, eller 2 × 10-6 s). Dette betyr at blant et sett med muoner produsert på toppen av atmosfæren, vil halvparten ha forsvunnet etter 2 mikrosekunder, forvandlet til andre partikler. Halvparten av de gjenværende muonene vil forsvinne etter ytterligere 2 mikrosekunder og så videre. Hvis halveringstiden var den samme (2 mikrosekunder) i den jordiske referanserammen, ville muonene i løpet av 10 -4 sekunder krysset atmosfæren ha talt 10 -4 / 2 × 10-6 = 50 halveringstider. Derfor ville antallet reduseres ved ankomst til bakken med en faktor på (1/2) 50 eller omtrent 10-15, slik at ingen muon i praksis ville nå den.
Målingene indikerer imidlertid at omtrent 1/8, eller (1/2) 3 , av de første muonene når jordoverflaten, noe som beviser at de bare har gjennomgått 3 inndelinger av antallet med 2 og ikke 50. Med andre ord, atmosfærens passeringstid i sin egen referanseramme er 3 halveringstider og ikke 50, eller bare 6 mikrosekunder (og ikke 100 mikrosekunder). Dette resultatet utgjør et sterkt bevis på nøyaktigheten til spesiell relativitet og spesielt fenomenet strekking av naturlig tid (her muonens) når målinger foretas i en ekstern referanseramme (her jordens). I det valgte numeriske eksemplet er tidsdilatasjonsfaktoren 100/6.
Vi kan utlede hastigheten og energien til muonene. Faktisk har vi som i forrige beregning
Som leder til
Siden massen til en muon er omtrent 100 MeV , er energien til partikkelen 100/6 ganger større, eller omtrent 2000 MeV eller 2 GeV .
I et tredimensjonalt newtonsk rom blir en ladningspartikkel q plassert i et elektrisk felt og et magnetfelt utsatt for Lorentz-kraften, og ligningen som styrer dens bevegelse er
For å transponere denne formelen i relativistisk mekanikk, må vi vurdere energimomentkvadrivektoren i stedet for vektoren og evaluere hastigheten på variasjonen til denne quadrivectoren ikke i referanserammen til noen galilensk observatør, men i den spesifikke referanserammen for partikkel. Det venstre medlemmet vil derfor ha formen , hvor er den riktige tiden for den ladede partikkelen. Til høyre vil vi finne et objekt uavhengig av valgt referanseramme og som også nødvendigvis vil være en lineær funksjon av partikkelens hastighet . Den romlige delen av ligningen til dynamikken er faktisk lineær siden den er skrevet
I dette uttrykket og er komponentene i en Lorentzian referanseramme av hastighet quadrivector , som derfor kan skrives:
Eksplisitt brytes ligningen ovenfor ned på de tre aksene som følger:
For sin del er den temporale komponenten i ligningen av dynamikk (som tilsvarer loven som gir variasjonen av energi) skrevet
hvor W er kraftens arbeid
Ved å samle ligningene som er skrevet ovenfor i rammene av en firedimensjonal romtid, blir endringshastigheten til energimomentkvadriveren gitt av
Matriseligningen vi nettopp har skrevet viser at magnetfeltet og det elektriske feltet i spesiell relativitet utgjør en enhet. I virkeligheten er den forrige presentasjonen noe feil for å utnytte all kraften i relativistisk teori, og det er nødvendig å appellere til tensorer. Matriseligningen ovenfor er oversettelsen når det gjelder komponenter i tensorligningen, uavhengig av ethvert koordinatsystem.
er tensoren til det elektromagnetiske feltet (eller Maxwell tensor eller Faraday tensor). Det er dette objektet som fysisk representerer det elektromagnetiske feltet. Komponentene i et bestemt koordinatsystem er gitt av matrisen som er skrevet ovenfor.
I spesiell relativitet skal en lengde og en tid måles med samme enhet (noe vi ikke har gjort her systematisk). I astronomi velger vi tidsenheten, og vi måler en avstand med tiden det tar for lys å dekke denne avstanden. For eksempel at en galakse ligger fem millioner lysår fra vår betyr at lys tar fem millioner år å reise avstanden som skiller oss fra den. Merk at i hverdagen kan vi enkelt si at Paris for eksempel er tre timer med tog fra Montpellier, som er nøyaktig det samme som å måle en avstand i tid. Siden 1983 er tidsenheten (den andre) den eneste som defineres direkte av det internasjonale systemet for enheter (SI), hvor lengdenheten ( måleren ) defineres som den avstanden som ble kjørt lys i en presis tid. (som tilsvarer å feste definitivt og nøyaktig verdien av c til 299.792.458 m / s ).
Et utvalg av Einsteins verk, særlig hans originale artikler, er nå tilgjengelig i fransk oversettelse med kommentarer under tittelen Œuvres choisies at éditions du Seuil / CNRS éditions, i Sources du savoir- samlingen (6 bind utgitt siden 1989). Bind 2 og 3 er utelukkende viet til relativitetsteorier.
PopulariseringsbøkerTilgjengelig på videregående nivå (Première S).
Tilgjengelig på lavere nivå.