Hydraulisk hopp

Det hydrauliske hoppet er et fenomen som ofte observeres i vannstrømmer, fri overflate som elver og stammer. Når væsken gjennomgår et betydelig tap av hastighet, stiger overflaten av strømmen kraftig. Kinetisk energi transformeres til potensiell energi og turbulens, noe som resulterer i irreversible tap av ladning. Strømmen, som var rask, senker og hoper seg opp som en supersonisk sjokkbølge .

Dette fenomenet avhenger av starthastigheten til væsken. Hvis denne hastigheten er mindre enn den kritiske hastigheten, er det ikke mulig å hoppe. Når væskens hastighet ikke er vesentlig større enn den kritiske hastigheten, vises overgangen som et bølgesystem. Hvis strømningshastigheten blir større, blir overgangen mer og mer brå, til overgangssonen bryter og ruller opp på seg selv. Når dette fenomenet oppstår, vises hoppet i forbindelse med voldsom turbulens , dannelsen av ruller og bølger.

De to viktigste manifestasjonene av et hydraulisk hopp er:

det stasjonære hydrauliske hoppet der rask strømning blir til en lavere strømning (figur 1 og 2);
den tidevannsbølge , som er en bølge kommer oppstrøms (figur 3).

Konseptet med hydraulisk hopp kan generaliseres i meteorologi i nærvær av lettbølger . På samme måte som for en strøm i en elv, hvis luftens hastighet ( vinden ) er viktig, dannes hydrauliske hopp, som kan være voldelige nok til å bryte opp fly.

Hydraulisk hopp i fri overflatestrøm

For strømmer preget av overgangen fra kraftig til strømlignende strømning , avviker strømlinjene skarpt og strømmen blir raskt variert med hensyn til den frie overflateprofilen. Hvis økningen i vannlinjen er tilstrekkelig høy, observeres en eller flere valser mer eller mindre ustabile med betydelig bølging og turbulens som fører til en ikke-ubetydelig energidissipasjon.

Det hydrauliske hoppet betegner bare denne overgangen. Det ledsages av energispredning ( trykkfall ). I tillegg blir en del av den kinetiske energien omgjort til potensiell energi (hastigheten avtar og høyden øker). Hoppet er preget av sterk turbulens .

Disse funksjonene har gjort det mulig for ingeniører (fra 1950 ) å erstatte utslippene "i suksessive kaskader", også kjent som "trappetrinn med løpere" ( trinnvis overløp ) brukt i minst 3500 år og utstyre omtrent 1/3 nordamerikanske demninger, ved å erstatte dem med energispredende kummer ved hydraulisk hopp, mye billigere. Men teknikken "trapp" funnet en fornyet interesse i slutten av XX th tallet fordi det er mer effektivt å re-oxygenate vannet tatt oppstrøms i tank bunnen av dammen, mindre traumatisk for vannlevende organismer i flyt, og fordi takket være ny materialer og bedre kunnskap om tofasestrømmer (sistnevnte medfører en stor mengde luft med vannet i superkritisk strømningstilstand , og danner et "hvitt" og "skummende" vann, og derfor mye mer voluminøst) er det i dag mindre nødvendig for store installasjoner. Han demonstrerte også nylig at tilstedeværelsen av luft i vann som strømmer med høy hastighet reduserer eller forhindrer erosjon av materialer ved kavitasjon.

Froude nummer, kritisk flyt

Vi vurderer en rektangulær åpen elvekanal. La v være hastigheten på vannet og la h være dybden. Følgende mengde kalles hydraulisk belastning E :

E = {1 \ over 2} v ^ 2 + gh

Vi definerer flyten Q som mengden:

Q = vh

For et gitt hydraulisk hode vil strømningen Q være maksimal når:

v_0 = \ sqrt {g h_0}

Slik flyt kalles kritisk flyt.

Beregning av kritisk flyt

Vi søker å bestemme hva som er høyden h₀ som strømningen vil være maksimal for en gitt belastning E. En slik høyde kalles en kritisk høyde.

Vi løser:

{d v_0 \ over d h_0} h_0 + v_0 = {d Q \ over d h_0} = 0

Vi har :

0 = d E = v_0 d v_0 + gd h_0

og så :

{d v_0 \ over d h_0} = - {g \ over v_0}

Til slutt løser vi derfor:

- {g \ over v_0} h_0 + v_0 = 0

og endelig :

v_0 = \ sqrt {g h_0}

Vi definerer nå Froude-nummeret som følger:

Fr ^ 2 = {v_0 ^ 2 \ over g h_0}

Flyten vil sies å være underkritisk hvis Fr <1 , kritisk hvis Fr = 1 og superkritisk hvis Fr> 1 .

Belanger-ligning

Vi vurderer en superkritisk flyt nedstrøms for en hindring. Vi vil demonstrere at strømmen vil bli utsatt for et hopp som vil redusere den hydrauliske belastningen. Det antas at strømmen er ved høyden h₁ og hastigheten v₁ . Det blir husket at det tilknyttede Froude-nummeret vil være:

{\ displaystyle Fr ^ {2} = {v_ {1} ^ {2} \ over gh_ {1}}}

Belangers ligning uttrykker høyden h₂ på hoppet som følger:

${h_2 \ over h_1} = {-1 + \ sqrt {1 + 8 Fr ^ 2} \ over 2}$

Det kan sees at når strømningen er litt superkritisk, vil strømmen nedstrøms for det hydrauliske hoppet være i en veldig god kritisk tilnærming. Selv om Fr = 2 , vil Froude-tallet nedstrøms for hoppet være nær 1.

Imidlertid, når oppstrøms Froude-tallet er stort, vil nedstrømsstrømmen bli betydelig underkritisk.

Bevis på Belangers ligning

Som vi vil se senere, er det fordelaktig å anta at tyngdekraftens akselerasjon ikke er jevn langs strømmen . Denne tilleggshypotesen vil gjøre det mulig å generalisere denne modellen til meteorologiske fenomener nedstrøms for et fjell.

Den superkritiske strømmen er ikke i stabil tilstand, og strømmen vil komme tilbake. Under returen vil strømmen være turbulent og energien ( ladningen ) vil forsvinne som varme . Vi kan derfor ikke anvende loven om bevaring av energi. Vi kan imidlertid skrive at forskjellen i bevegelsesmengde oppstrøms og under hoppet er lik trykkraften som påføres væsken. La v₂ være strømningshastigheten i det hydrauliske hoppet og la det være høyden på hoppet. La ρ være væskens tetthet. Vi betrakter en uendelig liten basisvannsøyle δ S . Vi antar at i posisjon x er høyden h og hastigheten v . Vi vurderer nå fremdriften i xx for en uendelig liten kolonne:

\ delta P (x) = \ rho \ delta S h (x) v (x)

Som vi vil se senere, er det fordelaktig å anta

I x + δ x , der δ x er uendelig liten , vil momentum være:

\ delta P (x + \ delta x) = \ rho \ delta S h (x + \ delta x) v (x + \ delta x)

La L være bredden på kanalen, så har vi:

\ delta S = L \ delta x

Forskjellen i momentum vil derfor være:

\ Delta \ delta P = \ rho L \ delta x \ venstre ({dh \ over dx} v + {dv \ over dx} h \ høyre) \ delta x

Trykkraften δ F_p i høyden z vil være:

\ delta F_p (z) = \ rho \ venstre [g (x + \ delta x) (h (x + \ delta x) - z) - g (x) (h (x) - z) + {1 \ over 2} \ venstre (v (x + dx) ^ 2 - v (x) ^ 2 \ høyre) \ høyre] L \ delta z

Vi utvikler og derfor:

\ delta F_p (z) = \ rho \ venstre [\ venstre (g (x) + {dg \ over dx} (h (x) - z) \ delta x \ høyre) (h (x + \ delta x) - z) - g (x) (h (x) - z) + {1 \ over 2} \ venstre (v (x + dx) ^ 2 - v (x) ^ 2 \ høyre) \ høyre] L \ delta z

Derfor :

\ delta F_p (z) = \ rho \ venstre [g (x) (h (x + \ delta x) - z) + {dg \ over dx} \ delta x (h (x + \ delta x) - z) - g (x) (h (x) - z) + {1 \ over 2} \ venstre (v (x + dx) ^ 2 - v (x) ^ 2 \ høyre) \ høyre] L \ delta z

Vi får derfor:

\ delta F_p (z) = \ rho \ venstre [g {dh (x) \ over dx} \ delta x + {dg \ over dx} (h (x) -z) \ delta x + v (x) {dv \ over dx} \ delta x \ høyre] L \ delta z

Ved å integrere langs z får vi:

\ delta F_p = \ rho \ venstre [g {dh (x) \ over dx} h \ delta x + {1 \ over 2} {dg \ over dx} h \ delta x + v (x) {dv \ over dx } \ delta x \ høyre] L t

Ved hjelp av Newtons lov skriver vi:

\ Delta \ delta P = \ delta F_p \ delta t

Vi har $\ delta t = {\ delta x \ over v}$

Ved å kombinere ligningene får vi:

\ rho \ venstre [g {dh (x) \ over dx} h \ delta x + {1 \ over 2} {dg \ over dx} h \ delta x + v (x) {dv \ over dx} \ delta x \ høyre] L h {\ delta x \ over v} = \ rho L \ delta x \ venstre ({dh \ over dx} v + {dv \ over dx} h \ høyre) \ delta x

Vi får da en stor forenkling:

\ venstre (g {dh (x) \ over dx} h + {1 \ over 2} {dg \ over dx} h ^ 2 + v (x) {dv \ over dx} h \ høyre) {1 \ over v } = {dh \ over dx} v + {dv \ over dx} h

og så :

g {dh (x) \ over dx} h + {1 \ over 2} {dg \ over dx} h (x) ^ 2 = {dh \ over dx} v ^ 2

Vi merker at flyten er jevn og derfor . Derfor, $v \ ganger h = Q$

Derfor :

{dh \ over dx} = - {Q \ over v ^ 2} {dv \ over dx}

Derfor :

{d \ over dx} \ left [{1 \ over 2} gh ^ 2 \ right] = g {dh (x) \ over dx} h + {1 \ over 2} {dg \ over dx} h (x) ^ 2 = - {dv \ over dx} Q

Og nå ved å integrere langs x får vi:

{1 \ over 2} (g_2 h_2 ^ 2 - g_1 h_1) ^ 2 = - Q (v_2 - v_1) = Q (v_1 - v_2)

Vi merker at:

v_2 = v_1 {h_1 \ over h_2}

Derfor :

{1 \ over 2} (g_2 h_2 ^ 2 - g_1 h_1 ^ 2) = Q v_1 \ left (1 - {h_1 \ over h_2} \ right) = v_1 ^ 2 h_1 \ left (1 - {h_1 \ over h_2} \ Ikke sant)

I det følgende vil vi anta at gravitasjonsakselerasjonen er jevn. Med denne ekstra antagelsen oppnår vi derfor:

{1 \ over 2} g (h_2 + h_1) (h_2 - h_1) h_2 = v_1 ^ 2 h_1 (h_2 - h_1)

Siden det er et hydraulisk hopp, har vi og derfor kan vi dele med h₂-h₁ og derfor: $h_1 \ ne h_2$

{1 \ over 2} g (h_2 + h_1) h_2 = v_1 ^ 2 h_1

Vi deler med og derfor: $h_1 ^ 2$

\ venstre ({h_2 \ over h_1} \ høyre) ^ 2 + {h_2 \ over h_1} = 2 {v_1 ^ 2 \ over g h_1}

Denne ligningen er en kvadratisk ligning på y = h₂ / h₁ . Vi definerer Froude-tallet Fr som:

Fr ^ 2 = {v_1 ^ 2 \ over g h_1}

Ligningen som skal løses er da:

{\ displaystyle y ^ {2} + y-2Fr ^ {2} = 0}

Den positive roten til denne ligningen er derfor:

{\ displaystyle y = {- 1 + {\ sqrt {1 + 8Fr ^ {2}}} \ over 2}}

For høye Froude-tall har vi:

x \ simeq \ sqrt {2} Fr

Vi definerer nå . Vi antar at h₁ <h₀ . $z = {h_2 \ over h_0}$

Vi har :

z = y {h_1 \ over h_0}

Vi har :

Fr ^ 2 = {v_1 ^ 2 \ over g h_1} = {v_0 ^ 2 \ over g h_0} \ times \ left ({v_1 \ over v_0} \ right) ^ 2 \ times {h_0 \ over h_1} = 1 \ ganger \ venstre ({h_0 \ over h_1} \ høyre) ^ 3

Vi får derfor:

{h_2 \ over h_0} = {h_1 \ over h_0} \ ganger {1 \ over 2} \ venstre [-1 + \ sqrt {-1 + 8 \ igjen ({h_0 \ over h_1} \ høyre) ^ {3 \ over 2}} \ høyre]

Vi vurderer nå funksjonen . Vi har f (1) = 1 . Vi skriver og vi utfører en begrenset utvidelse i nabolaget 1. Vi får: $f: x \ til {-1 + \ sqrt {1 + 8x ^ {3 \ over 2}} \ over 2 x}$ $x = 1 + t$

f (1 + h) = {-1 + \ sqrt {1 + 8 (1 + h) ^ {3 \ over 2}} \ over 2 (1 + h)} \ simeq {1 \ over 2} (1 - h) \ times \ left (-1 + \ sqrt {9 + 8 \ times {3 \ over 2} h} \ right) \ simeq {1 \ over 2} (1 - h) \ times \ left [-1 + \ sqrt {9 \ left (1 + {12 \ over 9} h \ right)} \ right]

Derfor :

f (1 + h) \ simeq {1 \ over 2} (1 - h) \ times \ left [-1 + \ sqrt {9} \ times \ sqrt {\ left (1 + {12 \ over 9} h \ høyre)} \ høyre] \ simeq {1 \ over 2} (1 - h) \ ganger \ venstre [-1 + 3 \ ganger \ venstre (1 + {6 \ over 9} h \ høyre) \ høyre] \ simeq {1 \ over 2} (1 - h) \ times \ left [2 + {18 \ over 9} h \ right] \ simeq 1

Så ved første ordre har vi: $f (1 + h) = 1$

Vi bemerker at f (2) = 0,95 og derfor for små Froude-tall over enhet blir strømmen tilnærmet kritisk. Men når x blir stor, har vi:

f (x) \ approx {\ sqrt {8} x ^ {3 \ over 2} \ over 2 x} = \ sqrt {2 x}

og vi vil være i nærvær av et betydelig hopp.

Vi vurderer ekstreme tilfeller hvor . Under disse forhold blir ligningen x : $h_0 = \ infty$

x ^ 3 - 3 x + 2 = 0

Vi må derfor løse:

(x-1) ^ 2 (x + 2) = 0

I dette begrensende tilfellet er Froude-tallet 1 og derfor h₂ = h₁ = h₀ .

Effekt av et hinder over strømmen

Vi vurderer nå et hinder over høydestrømmen H₀ vi antar at strømningen over hindringen er kritisk. La h være høyden på strømmen nedstrøms hindringen. Vi definerer:

h_0 = h - H_0

Høyden på vannstrømmen h₁ like nedstrøms hindringen, beregnet av Joachim Küttner , blir gitt av følgende ligning:

h_0 + 2 (H_0 + h_0) = {h_0 ^ 3 \ over h_1 ^ 2} + 2 h_1

Bevis på Küttners ligning

Loven om bevaring av strømning er skrevet:

Q = h_0 v_0 = h_1 v_1

hvor v₁ er strømningshastigheten nedstrøms låsen. Det antas at strømmen er laminær like nedstrøms hindringen, og at energien blir bevart. Vi har :

E = {1 \ over 2} v_0 ^ 2 + g (H_0 + h_0) = {1 \ over 2} v_1 ^ 2 + g h_1

Vi erstatter v₁ og vi får:

E = {1 \ over 2} v_0 ^ 2 + g (H_0 + h_0) = {1 \ over 2} {Q ^ 2 \ over h_1 ^ 2} + g h_1

Husk det og det og derfor: $v_0 = \ sqrt {g h_0}$ $Q = v_0 h_0 = \ sqrt {g h_0 ^ 3}$

E = {1 \ over 2} g h_0 + g (H_0 + h_0) = {1 \ over 2} {g h_0 ^ 3 \ over h_1 ^ 2} + g h_1

Denne ligningen er forenklet og derfor:

h_0 + 2 (H_0 + h_0) = {h_0 ^ 3 \ over h_1 ^ 2} + 2 h_1

Vi definerer . Så til slutt: $x = {h_0 \ over h_1}$

\ venstre (2 {H_0 \ over h_0} + 3 \ høyre) x = x ^ 3 + 2

Denne ligningen er en kubisk ligning i x .

Anta for eksempel at h₀ = 0,4 × H₀ . Under disse forholdene får vi . $x \ ca. 1,5$

Det kan sees at tyngdeakselerasjonen g har forsvunnet i den endelige ligningen.

Søknad i meteorologi

For ikke så lenge siden ble noen værfenomener nedstrøms fra fjellene ikke forstått. Vi kan sitere Föhn som er en glohet vind fra sør blåser nord for den alpine bue . Denne vinden er ofte stormfull, og en tro som vedvarte til midten av XIX - tallet var at denne vinden PROVINTERTE direkte fra Sahara til en mer korrekt forklaring ble gitt. På et relatert notat har mange fly tidligere krasjet ned Sierra Nevada i Chinook- vær , med piloter som tror høydemålere er ute av drift når de ganske enkelt ble fanget i høye bølger. Som er perfekt laminerte. Disse laminære bølgene overvinner områder av turbulens som kalles rotorer som kan være så voldsomme at fly har blitt ødelagt mens de prøver å passere gjennom disse områdene.

Joachim Küttner har tilbudt en elegant forklaring på alle disse fenomenene basert på hydrodynamikk. Föhns stormfulle natur kan forklares ganske enkelt ved å ta i betraktning at luftstrømmen over et fjellkjede kan sammenlignes med strømmen i en elvekanal som Canal du Midi som møter en lås (som er snudd fordi døren ville stige opp fra bakken).

Så som det ble vist i avsnittet ovenfor, reduseres strømningens tykkelse når strømningen møter et hinder, mens sistnevnte akselererer markant. Dette forklarer hvorfor föhn kan være ekstremt voldelig rett nedstrøms Alpene.

Som Belanger-ligningen indikerer, ledsages et hydraulisk hopp av et trykkfall, og derfor må denne energien spres i form av turbulens og varme. Jo større trykkfall, jo større turbulens.

I det følgende kvantifiseres volden fra rotorene.

Grunnleggende antagelser

Enten den virtuelle temperaturen i atmosfæren og den virtuelle temperaturforskjellen mellom den stigende luftpakken og den virtuelle temperaturen til den eksterne luftmassen. Vi definerer deretter oppdriften til luftpakken γ som: $\ theta$ $\ Delta \ theta$

\ gamma = {g \ Delta \ theta \ over \ theta}

Merk at γ ikke er ensartet.

Modelleringen av rotorer og avlastningsbølger vil være basert på den forrige teorien der vi erstatter g med γ som kan være 50 ganger mindre. Froude-nummeret er definert av:

Fr ^ 2 = {v ^ 2 \ over \ gamma h} \ ca 1

Vi erstatter γ . Vi har :

\ gamma = g {\ Delta \ theta \ over \ theta} \ simeq g {\ partial \ theta \ over \ partial z} {\ Delta z \ over \ theta}

Hvis N er Brunt-Väisälä-frekvensen , har vi:

\ gamma = N ^ 2 \ Delta z = N ^ 2 H_0

Beregning av hoppet: tilfelle av ensartet Brunt-Väisälä-frekvens

I det følgende skal vi modellere det hydrauliske hoppet i Owens-dalen hvor høyden er 1200 m . Nedstrøms fra denne dalen er Mount Whitney, som er 4400 m . Vi betrakter en vestlig vind på 40 knop eller 20 m / s på toppen av fjellet som er typisk for regionen. I gjennomsnitt antas kjedet å være 2700 m . Så H₀ = 2700 m .

Det antas at strømmen på toppen av fjellet er kritisk. Hvis v₀ er vindhastigheten på toppen av fjellet, vil høyden på strømmen h₀ bli gitt av ligningen:

v_0 ^ 2 = \ gamma h_0 = N ^ 2 H_0 h_0

Derfor :

h_0 = {v_0 ^ 2 \ over N ^ 2 H_0}

Vi antar at atmosfæren er standard og derfor er det s. Vi får da: $N = 1,2 \ ganger 10 ^ {- 2}$

h_0 = {20 \ ganger 20 \ over 1,2 \ ganger 1,2 \ ganger 10 ^ {- 4} \ ganger 2700} \ ca 1000 \ m

Ved å bruke Küttners ligning får vi og derfor: h1 = 370 m . ${h_0 \ over h_1} = 2.7$

Vi bruker bevaringsligningen av masse med hensyn til vinden v₁ i x₁ . Så vi har: og derfor . Så i teorien ville vinden ved x₁ være v₁ = 40 × 2,7 = 108 knop. I praksis vil vinden på bakken være svakere på grunn av friksjonen. Merk at Küttners papir er feil når det står at riktig faktor er 2,7. Froude-nummeret for denne leien er verdt: ${\ displaystyle v_ {0} h_ {0} = v_ {1} h_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {1} = {v_ {0} h_ {0} \ over h_ {1}}}$ ${h_0 \ over h_1} \ ca 2$

Fr = \ venstre ({h_0 \ over h_1} \ høyre) ^ {3 \ over 2} = 2,7 ^ {3 \ over 2} = 4,5

Ved å bruke Belanger-ligningen får vi derfor:

{h_2 \ over h_1} = {-1 + \ sqrt {8 Fr ^ 2 +1} \ over 2} \ approx \ sqrt {2} Fr = 6.3

Vi får da h₁ = 2330 meter. Hoppet når ikke engang høyden på topplinjen som er på 2700 meter. Denne modellen er derfor ufullstendig.

Generalisert Belanger-ligning

Küttner sier at rotorene er mye mer voldsomme sent på ettermiddagen når bakken har blitt varmet opp av solen. Faktisk er regionen som ligger øst for Sierra Nevada , en semi-tørr region, og det er vanlig at den kaliforniske siden blir tatt av skyer mens siden er klar, noe som gjør at de nedre lagene i atmosfæren blir mer varme om dagen, som da har en tendens til å redusere temperaturinversjonen . Dermed modellerte Küttner denne svekkelsen av inversjonen med en lavere akselerasjonskoeffisient på hoppnivået.

Det antas at tyngdeakselerasjonen varierer fra g₁ til g₂ under det hydrauliske hoppet. Høyden på hoppet blir deretter gitt av følgende ligning som er den generaliserte Belanger-ligningen:

{1 \ over 2} (g_2 h_2 ^ 2 - g_1 h_1 ^ 2) = v_1 ^ 2 h_1 \ left (1 - {h_1 \ over h_2} \ right)

Med andre ord vil hoppet være desto mer voldsomt ettersom inversjonen vil bli redusert og derfor som g₂ vil bli redusert.

Under et hydraulisk hopp, på og . Den generaliserte Belanger-ligningen kan forenkles som følger: $h_2 \ gg h_1$ $v_1 \ gg v_2$

{1 \ over 2} g_2 h_2 ^ 2 \ ca v_1 ^ 2 h_1

Og så :

h_2 \ ca. v_1 \ sqrt {2 h_1 \ over g_2}

Vi antar at g₂ = g₁ / 4 . Vi antar at g₁ = 0,4 m / s² . Vi har sett at h₁ = 370 og v₁ = 54 . Vi får da:

h_2 = 54 \ ganger \ sqrt {2 \ ganger 370 \ over 0,1} = 4650

meter.

Under disse forholdene stiger hoppet tydelig over rygglinjen. Det skal bemerkes at hopp på opptil 9000 meter er observert.

Studie av et identisk fenomen i Colombia

I Colombia , den Cauca dalen lokalisert i den Andes skiller 2 fjellkjeder i en nesten identisk måte til den Owens dalen som skiller Sierra Nevada fra de Panamint-fjellene . I en vestlig vind blir den friske luften fra Stillehavet oppvarmet av föhn-effekten i Cauca-dalen og genererer et hydraulisk hopp som genererer tordenvær.

Merknader og referanser

(en) Joachim Küttner , Rolf Hertenstein, “ Observations of mounain-induced rotors and related hypoteses: a review ” , Proceedings of the 10. AMS Conference on Mountain Meteorology , American meteorological society,2002( les online )
Küttner-artikkel , s. 6
Chanson H (2001) Tofaseegenskaper ved strømningene på kurerer i trappetrinn ; Hvitt kull, (8), 16-28.
(in) Hubert Chanson, Jean Baptiste Charles Joseph Belanger (1790-1874), bakvannsligningen og ligningen Belanger , University of Queensland , 32 s. ( les online ) , s. 6
Küttner-artikkel , s. 11
ML Dufour, “ Foehn of September 23, 1866 ”, Bulletin of the Vaudoise Society of Natural Sciences , Vaudoise Society of Natural Sciences, vol. IX, n o 58, 1868( les online , konsultert 23. oktober 2013 )
(in) Petra Sebeirt, " Hann's Foehn Thermodynamic Theory and Its Presentation in Meteorological Textbooks in the Course of Time " [PDF] , Preprints ICHM Polling in 2004 , Meteorological Institute University of Vienna natural resources,2004(åpnet 23. oktober 2013 )
(i) Petra Sebeirt, " Hann er Foehn Termodynamisk teori og sin presentasjon i Meteorologiske lærebøker i løpet av tiden (oral) " [PDF] , Meteorologisk institutt Universitetet i Wien naturressurser,2004(åpnet 23. oktober 2013 )
Küttner-artikkel , s. 17
Küttner-artikkel , s. 4
(in) Manual Lopez and Wallace Howell, " Katabatic winds in the equatorial Andes ," Journal of the atmospheric sciences , American Meteorological Society , vol. 24,januar 1967, s. 29-35 ( les online )

Se også

Bibliografi

(en) Hubert Canson, “ Nåværende kunnskap om hydrauliske hopp og relaterte fenomener. A Survey of Experimental Results ”, European Journal of Mechanics B / Fluids , vol. 28, n o to2009, s. 191–210 ( DOI 10.1016 / j.euromechflu.2008.06.004 , les online )
[Küttner-artikkel] (no) Joachim Küttner , “ Rotor flow in the lee of mountains ” , GRD-forskningsnotater , Geofysisk forskningsdirektorat US Air Force , nr . 6,Januar 1959( les online )
Alexis Duchesne, " Den sirkulære hoppe, en historie med vendinger ," Pour la Science , n o 513,juli 2020, s. 58-65 ( online presentasjon )

Relaterte artikler