Zeta-regulering

Den zeta funksjon regularisering er en metode for regularisering av å bestemme (i) av operatører som vises i beregningene av komplette veier i kvantefeltteori .

Laplacian-saken

Enten et kompakt område med ombord . På dette feltet vurderer man den positive operatøren , hvor er laplacianen , forsynt med grensebetingelser på kanten av feltet (Dirichlet, Neumann, blandet) som helt spesifiserer problemet. $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ delvis \ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $\ Delta$ $\ delvis \ Omega$

Når feltet er kompakt, har den positive operatoren et diskret spektrum av egenverdier som er assosiert med et ortonormalt grunnlag for egenvektorer (man bruker her notasjonene av Dirac ): $\ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Spektral zeta-funksjon

Definisjon

Vi antar her at det grunnleggende . I analogi med Riemann zeta-funksjonen introduserer vi den spektrale zeta-funksjonen av Dirichlet-typen : ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}$

Denne serien konvergerer bare for $Re$ ( s ) som er stor nok, men den innrømmer en meromorf forlengelse av hele det komplekse planet.

Når spektret til operatøren ikke er kjent eksplisitt, kan vi bruke den formelle definisjonen som et spor : ${\ hat {H}}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ exp \ \ left [\ - \ s \ \ ln {\ hat {H}} \ \ right]}$

Koble til determinanten

Determinanten til operatøren H er definert av:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}$

Med identiteten:

${\ displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ ln \ \ left (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ høyre) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hat {H}}}$

vi demonstrerer lett den formelle relasjonen:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ exp \, \ left [\, - \ \ zeta '(0) \, \ right]}$

der derivatet av zeta-funksjonen blir evaluert ved s = 0.

Kobling til varmekjernen

Zeta-funksjonen er koblet av en transformasjon av Mellin-typen :

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} t \ t ^ {s- 1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}$

de spor av den varme kjernen , definert av:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Link til integralen

For n heltall gjør zeta-regulering det mulig å gi en mening til divergerende integraler av formen ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xx ^ {n} \:}$

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xx ^ {n} = {\ frac {n} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d } xx ^ {n-1} + \ zeta (-n) - \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2r}} {(2r)!}} a_ {n, r } (n-2r + 1) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xx ^ {n-2r}}

a _ {{n, r}} = {\ frac {\ Gamma (n + 1)} {\ Gamma (n-2r + 2)}}

Denne metoden ble introdusert i kvantefeltteori av fysikere som James Hartle og Emilio Elizalde. Den kan brukes til å regulere produktet av to distribusjoner ved hjelp av konvolusjonssatsen med divergerende integraler ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} t (xt) ^ {m} t ^ {n}}$

Utvidelser

Alle de foregående definisjonene er transponert ganske naturlig til tilfellet med Laplace-Beltrami-operatøren på en kompakt Riemannian manifold , som da også har et diskret spektrum. De strekker seg også til tilfellet med ikke-kompakte varianter om bord når spektret fortsatt er diskret.

Det er også mulig å utvide teorien for en annen elliptisk operatør .

Relaterte artikler

Bibliografi

Referanse bøker

(no) E. Elizalde, Ti fysiske anvendelser av spektrale zeta-funksjoner , forelesningsnotater i fysikk. Ny serie M35 (Springer-Verlag, 1995), kapittel 1 .
(no) E. Elizalde, SD Odintsov, A. Romeo og S. Zerbini, Zeta Regularization Techniques With Applications , (World Scientific, 1994).

Artikler

(no) JS Dowker og R. Critchley, Effektiv Lagrangian og energimomentstensor i de Sitter spacee , Physical Review D 13 (1976), 3224-3232.
(no) Stephen Hawking , Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime , Communications in Mathematical Physics 55 (2) (1977), 133-148. Euclid-prosjektet .
(en) André Voros, Spektralfunksjoner, spesialfunksjoner og Selberg zeta-funksjonen , Kommunikasjon i matematisk fysikk 110 (3) (1987), 439–465. Euclid-prosjektet .
Pierre Cartier og André Voros, Ny tolkning av Selberg-sporingsformelen , Days of partial differential equations (1988), Art. Nr. 13. Numdam

(no) E. Elizalde, Regulering av Zeta-funksjon er veldefinert og godt , Journal of Physics A 27 (1994), L299-304.