Det sekstende Hilbert-problemet er et av 23 problemer Hilbert .
Den har to deler. Den første gjelder antall virkelige grener (ovaler) av en algebraisk kurve , og deres arrangement; mange moderne resultater ( Petrovskii , Thom , Arnold ) gir informasjon om dem. Klara Löbenstein og Margarete Kahn utvikler også metoder for å løse dette problemet. Den andre delen av problemet stiller spørsmålet om maksimalt antall og den gjensidige posisjonen til Poincaré- grensesyklusene (isolerte periodiske baner) for en plan polynomdifferensialligning av en gitt grad; dette spørsmålet er fremdeles åpent.
Bortsett fra Riemann-hypotesen (åttende Hilbert-problem), ser det ut til å være det mest unnvikende problemet med Hilbert-problemene. Det er på Smales liste over problemer under nummer 13.
Jean Ecalle og Yulij Ilyashenko demonstrerte i 1991-1992 at antall grensesykluser for en gitt polynomligning er endelig. Henri Dulac trodde han hadde nådd det samme resultatet i 1923, før Ilyashenko oppdaget en feil i beviset sitt i 1981. Vi vet fortsatt ikke i 2019 om det maksimale antallet H (N) av grensesyklusene til en polynomligning av gitt grad N> 1 er endelig.