Karakteristisk underrom
Definisjoner
La E være et K - endelig dimensjonalt vektorrom , u en endomorfisme av E og λ en egenverdi av u .
- kalt generalisert egenvektor , underromsspektral eller egenrom generalisert av u assosiert med λ- vektors underrom
![{\ displaystyle N _ {\ lambda} (u) = \ ker \ left [(u- \ lambda {\ rm {Id}}) ^ {m} \ right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71847c3fbc1d86504fe681821ccd31c7c277120b)
Id blir kartet identitet og m den mangfoldighet av λ i den minimale polynom av u . Denne eksponenten m er den som kjernen i formelen når sin maksimale dimensjon for: hvis den erstattes av en større verdi, endres ikke kjernen mer. Av denne grunn kan vi også ta mangfoldet av λ i det karakteristiske polynomet , fordi det alltid er m , ifølge Cayley-Hamilton-teoremet .
- en vektor x er en generalisert egenvektor av u assosiert med λ hvis x ikke er null, og hvis det eksisterer et heltall k ≥ 1 slik at x ∈ ker [( u - λ Id ) k ], med andre ord hvis x ∈ N λ ( u ) \ {0}.
Renter
De karakteristiske delområdene brukes i karakteriseringen av trigonaliseringen av en endomorfisme . Faktisk er en endomorfisme u av et vektorrom E trigonaliserbar hvis og bare hvis E er (direkte) sum av de karakteristiske underområdene til u , det vil si om og bare hvis det eksisterer et grunnlag for E dannet av generaliserte egenvektorer av u . Denne karakteriseringen slutter seg til den som gis ved bruk av det karakteristiske polynomet, som må deles slik at endomorfismen kan trigonaliseres.