Gjentakende fortsettelse

I matematikk er en tilbakevendende (autonom) sekvens en sekvens assosiert med en funksjon (av en eller flere variabler ) kalt en gjentakelsesfunksjon , som gjør det mulig å beregne hvert begrep fra de foregående ved en gjentakelsesrelasjon av skjemaet . Dette er et dynamisk system diskret kan defineres ved forholdet og ett eller flere første ord, eller som et resultat forbundet med hverandre ved hjelp av en transformasjon bijektiv . ${\ displaystyle \ forall n, u_ {n + p} = f (u_ {n}, u_ {n + 1}, \ prikker, u_ {n + p-1})}$

I virkelige analyse , aritmetiske , geometriske og arithmetico-geometriske sekvenser er således de første eksempler på enkle tilbakevendende sekvenser. De logistiske sekvensene fremhever oppførselen til konvergens , begrensningssyklus eller divergens av tilbakevendende sekvenser med sterk følsomhet for de innledende forholdene som kommer under teorien om kaos . Den Fibonacci sekvensen er et eksempel på et lineært tilbakevendende sekvens av orden 2 med forholdet . ${\ displaystyle \ forall n \ geq 0, F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_ {n}}$

Studiet av variasjonene og konvergensen til en enkel tilbakevendende reell sekvens er knyttet til søket etter de faste punktene i gjentakelsesfunksjonen.

Gjentakende sekvenser kan også vises i sammenheng med rasjonelle språk med ordsekvenser.

Definisjon

Definisjon ved induksjon

Gjentakelsesforholdet er ofte støtten for definisjonen av en gjentakende sekvens. Fra en funksjon $f$ som opererer på et sett $E$ og en første ende (eller første ende) ofte bemerkes $u 0$ og $u 1$ i $E$ , forholdet entydig definerer en sekvens med verdier i $E$ . ${\ displaystyle \ forall n, u_ {n + 1} = f (u_ {n})}$

Når gjentakelse funksjonen har verdier som faller utenfor sitt sett av definisjonen (for eksempel i tilfelle av et homografiske funksjon av skjemaet innrømme en forbudt verdi i som kan likevel synes i sitt bildesett ), definisjonen av induksjons must s ' trykk på kontrollen for at gjentakelsesfunksjonen alltid er godt definert på verdiene til sekvensen. Bestemmelsen av et stabilt intervall er en effektiv prosedyre for å rettferdiggjøre den gode definisjonen av en tilbakevendende sekvens med reelle verdier. ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {ax + b} {cx + d}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {-d} {c}}}$

Tilknyttet suite

Når $u$ er et tilbakevendende sekvens til verdier i et sett $E$ , og hvis $g$ er en transformasjon bijektiv mellom alle $E$ og et sett $F$ , sekvensen forbundet $(v n) = (g ( u n))$ er også et tilbakevendende sekvens som gjentakelse funksjon oppnås ved konjugering av $g$ : . ${\ displaystyle \ forall n, v_ {n + 1} = g (f (g ^ {- 1} (v_ {n})))}$

Denne situasjonen vises spesielt når man trekker fra det aritmetisk-geometriske sekvensen det faste punktet for gjentakelsesfunksjonen. Sekvensen som oppnås er deretter geometrisk med samme multiplikasjonsfaktor som en årsak.

Flere gjentakelsesvektorer

Som i det spesielle tilfellet med lineære tilbakevendende sekvenser , kan en hvilken som helst sekvens definert av en gjentakelsesrelasjon relatert til flere foregående termer oppnås fra en enkel tilbakevendende vektorsekvens. For eksempel hvis , så kan vi spørre og få forholdet . ${\ displaystyle \ forall n, u_ {n + 3} = f (u_ {n}, u_ {n + 1}, u_ {n + 2})}$ ${\ displaystyle \ forall n, X_ {n} = (u_ {n}, u_ {n + 1}, u_ {n + 2})}$ ${\ displaystyle F: (x, y, z) \ mapsto (y, z, f (x, y, z))}$ ${\ displaystyle \ forall n, X_ {n + 1} = F (X_ {n})}$

Enkel tilbakevendende ekte suite

Eksempler

Etternavn	Gjentakelsesforhold	Betingelser og vilkår
aritmetisk progresjon	$u _ {{n + 1}} = u_ {n} + r$
geometrisk sekvens	${\ displaystyle u_ {n + 1} = u_ {n} \ ganger q}$	noen ganger unntatt verdien 0
aritmetisk-geometrisk sekvens	${\ displaystyle u_ {n + 1} = au_ {n} + b}$	generelt $a \in R ∖ {0; 1}$
logistikk suite	${\ displaystyle u_ {n + 1} = \ mu u_ {n} (1-u_ {n})}$	i intervallet $[0, 1]$ med $μ \in [0, 4]$
Syracuse-suite	${\ displaystyle u_ {n + 1} = {\ begin {cases} u_ {n} / 2 og {\ text {si}} \ u_ {n} \ {\ text {er jevn}} \\ 3u_ {n} + 1 og {\ text {ellers}} \ end {cases}}}$	i $Z$
alikvot suite	$u n +1$ er summen av de strenge delene av $u n$	i $N *$

Eiendommer

Hvis $(u n)$ er en tilbakevendende sekvens med verdier i et intervall $I som er$ stabilt med gjentakelsesfunksjonen $f$ , er ikke egenskapene til funksjonen nødvendigvis de for sekvensen, men det er koblinger mellom de to.

Hvis gjentakelsesfunksjonen øker , er sekvensen monoton (men ikke nødvendigvis med samme variasjonsretning som funksjonen).

Hvis sekvensen konvergerer til et reelt $α \in I,$ og hvis gjentakelsesfunksjonen er kontinuerlig , er grensen $α$ et fast punkt i gjentakelsesfunksjonen.

Hvis gjentakelsesfunksjonen kan differensieres ved en av dens faste punkter betegnet $α$ , er dette faste punktet attraktivt hvis og dette faste punktet er frastøtende hvis . ${\ displaystyle \ left | f '(\ alpha) \ right | <1}$ ${\ displaystyle \ left | f '(\ alpha) \ right |> 1}$

De teoremet Charkovski gi betingelser for eksistensen av periodiske punkter for enkel tilbakevendende faktiske resultat.

Merknader og referanser

Adjektivet autonom , oftere påtruffet for en vanlig differensialligning , brukes noen ganger (som i denne utdelingen på tilbakevendende sekvenser i M2 MEEF i Paris Saclay) for å eliminere tilfeller der gjentakelsesforholdet vil involvere indeksen $n$ av deretter, som i denne håndboken til Xcas av Renée Degraeve .

Se også