Bipolar teorem
I matematikk er den bipolare teoremet en setning av konveks analyse som gir de nødvendige og tilstrekkelige betingelser for en kjegle er lik kjeglebipolar . Den bipolare teoremet kan sees på som et spesielt tilfelle av Fenchel-Moreau-teoremet .
Setning av setningen
For ethvert ikke-ukomplisert sett av et vektorrom er den bipolare kjeglen gitt av
VS⊂X{\ displaystyle C \ delmengde X}
X{\ displaystyle X}
VS∘∘=(VS∘)∘{\ displaystyle C ^ {\ circ \ circ} = (C ^ {\ circ}) ^ {\ circ}}![{\ displaystyle C ^ {\ circ \ circ} = (C ^ {\ circ}) ^ {\ circ}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49eff0c6a2692b7f1a86d6377d17ac87e90817f9)
VS∘∘=cl(co{λvs.:λ≥0,vs.∈VS}){\ displaystyle C ^ {\ circ \ circ} = \ operatorname {cl} (\ operatorname {co} \ {\ lambda c: \ lambda \ geq 0, c \ in C \})}![{\ displaystyle C ^ {\ circ \ circ} = \ operatorname {cl} (\ operatorname {co} \ {\ lambda c: \ lambda \ geq 0, c \ in C \})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edef2ee7f22b78c303684b2075eb7e12200e5ec1)
hvor betegner den konvekse konvoluttenco{\ displaystyle \ operatorname {co}}![{\ displaystyle \ operatorname {co}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e395261162c24dcfe33e38b74cc54df863ed7572)
Spesielt tilfelle
VS⊂X{\ displaystyle C \ delmengde X}
er en lukket konveks nonempty kjegle hvis og bare hvis , hvor , og betegner den positive doble kjeglen .
VS++=VS∘∘=VS{\ displaystyle C ^ {++} = C ^ {\ circ \ circ} = C}
VS++=(VS+)+{\ displaystyle C ^ {++} = (C ^ {+}) ^ {+}}
(⋅)+{\ displaystyle (\ cdot) ^ {+}}![{\ displaystyle (\ cdot) ^ {+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56aa92b2ccd16b14f9a423b3d65124f7cffc505)
Mer generelt, hvis er en ikke-fri konveks kjegle, blir den bipolare kjeglen gitt av
VS{\ displaystyle C}![VS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
VS∘∘=clVS.{\ displaystyle C ^ {\ circ \ circ} = \ operatorname {cl} C.}![{\ displaystyle C ^ {\ circ \ circ} = \ operatorname {cl} C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4886e34439b6e8d4ab765ba2e07015cd2d8411ef)
Kobling til Fenchel-Moreau-teoremet
Hvis er indikatorfunksjonen til en kjegle . Deretter konjugatet konveks funksjon er den støtte funksjon av , og . Så hvis og bare hvis .
f(x)=δ(x|VS)={0hvis x∈VS+∞Hvis ikke{\ displaystyle f (x) = \ delta (x | C) = {\ begin {cases} 0 og {\ text {si}} x \ i C \\ + \ infty & {\ text {ellers}} \ end {cases}}}
VS{\ displaystyle C}
f∗(x∗)=δ(x∗|VSo)=δ∗(x∗|VS)=supx∈VS⟨x∗,x⟩{\ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = \ delta (x ^ {*} | C ^ {o}) = \ delta ^ {*} (x ^ {*} | C) = \ sup _ {x \ i C} \ langle x ^ {*}, x \ rangle}
VS{\ displaystyle C}
f∗∗(x)=δ(x|VSoo){\ displaystyle f ^ {**} (x) = \ delta (x | C ^ {oo})}
VS=VSoo{\ displaystyle C = C ^ {oo}}
f=f∗∗{\ displaystyle f = f ^ {**}}![{\ displaystyle f = f ^ {**}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1afe22c64e407d3b2eb3a5960d48acc1b35b888)
Den Fenchel-Moreau teorem kan ses som en generalisering av den bipolare teoremet.
Referanser
-
(i) Jonathan Borwein og Adrian Lewis , konveks analyse og ikke-lineær optimalisering: teori og maler , New York, Springer ,2006, 2 nd ed. , 310 s. ( ISBN 978-0-387-29570-1 , leses online ) , s. 76-77.
-
Borwein og Lewis 2006 , s. 54
-
(in) Stephen P. Boyd og Lieven Vandenberghe , Convex Optimization , Cambridge University Press ,2004, 716 s. ( ISBN 978-0-521-83378-3 , leses online ) , s. 51-53.
-
(in) R. Tyrrell Rockafellar , konveks analyse , Princeton, NJ, Princeton University Press ,1997( 1 st ed. 1970), 451 s. ( ISBN 978-0-691-01586-6 , leses online ) , s. 121-125.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">