Hopf-Rinow-setning
La ( M , g ) være en tilkoblet Riemannian manifold ( uten grense ). Den Hopf-Rinow teorem sier at følgende egenskaper er likeverdige:
- Det eksisterer et punkt m i M for hvilken påføring eksponentielle opprinnelige m er satt til T m M .
- For et hvilket som helst punkt m i M , den eksponensielle opprinnelige m er satt til T m M .
- Fordeleren ( M , g ) er geodesisk komplett, dvs. geodesikken er definert på ℝ.
- Plassen M er komplett for den Riemanniske avstanden.
- Lukkede og avgrensede deler er kompakte .
I denne situasjonen kan også to punkter a og b av M kobles sammen med en geodesikk med lengden d ( a , b ). Spesielt er det eksponentielle kartet (uansett opprinnelse) surjektiv .
Teoremet er oppkalt etter Heinz Hopf og hans student Willi Rinow (de) (1907-1979).
Den innrømmer en mer generell versjon innenfor rammen av lengderom .
Eksempler
- Hopf-Rinow-teoremet innebærer at alle kompakte, tilkoblede Riemann-manifolder er geodesisk komplette. For eksempel er sfæren geodesisk komplett.
- Den euklidske plass ℝ n og de hyperbolske mellomrom er geodesisk fullført.
- Det metriske rommet M : = ℝ 2 \ {0} med den induserte euklidiske beregningen er ikke geodesisk komplett. Faktisk, i M , er to motsatte punkter ikke forbundet med noen geodesikk. Det metriske rommet M er heller ikke komplett, siden det ikke er stengt i ℝ 2 .
Søknad til løgngrupper
La G være en Lie-gruppe utstyrt med en bi-invariant Riemannian-beregning (en slik beregning eksisterer alltid hvis G er kompakt ). Eksponensialet i det nøytrale elementet assosiert med en slik beregning faller sammen med det eksponentielle i betydningen teori om Lie-grupper . Spesielt er geodesikk som passerer gjennom det nøytrale elementet identifisert med undergrupper med en parameter . Derfor :
- for enhver kompakt Lie-gruppe G , er det eksponentielle (i betydningen teorien om Lie-grupper) antatt;
- Lie-gruppen SL (2, ℝ) innrømmer ikke noe bi-invariant Riemann-metrisk (siden det eksponentielle ikke er antagelig, ta for eksempel ).
