Geodetikk

I geometri er en geodesikk generalisering av en rett linje på en overflate . Spesielt er den korteste stien eller en av de korteste stiene, hvis det er mer enn en, mellom to punkter i et rom utstyrt med en beregning , en geodesik. Hvis vi endrer denne oppfatningen av avstand, kan romgeodetikken få et helt annet utseende.

Introduksjon

Opprinnelig kommer begrepet geodesic fra geodesi (fra gresk gaïa "jord" og daiein "del, del"), vitenskapen om å måle størrelsen og formen på jorden . Geodesikk betegnet derfor, for geometre , den korteste stien mellom to punkter i rommet ( geografisk implikasjon ).

Transponeringen til matematikk gjør at geodesikk blir generalisert begrepet "rett linje" til overflater og mer generelt til "buede rom". Siden definisjonen av geodesikken derfor avhenger av typen "buet rom", er den forrige betydningen ikke lenger sant der, bortsett fra lokalt hvis dette rommet har en beregning .

Den korteste banen mellom to punkter i et buet rom kan oppnås ved å skrive ligningen for kurvens lengde og finne minimumsverdien for den verdien. På en ekvivalent måte kan man definere en annen verdi, kurvens energi og søke å minimere den, noe som fører til de samme ligningene for en geodesik. Intuitivt kan vi prøve å forstå denne andre formuleringen ved å forestille oss, strukket mellom to punkter, et elastisk bånd. Hvis den følger geodetikken, vil den ha en minimumslengde og derfor en minimumsenergi.

Geodesikk opptrer ofte i studiet av Riemannian geometri og, mer generelt, metriske geometrier . I fysikk beskriver geodesikk bevegelsen til frie partikler , som ikke er utsatt for en ytre kraft (annet enn tyngdekraften i sammenheng med generell relativitet ). Eksempler er stien fulgt av en fritt fallende stein, en bane rundt satellitt og formen på en planetbane, som alle er beskrevet av geodesikk fra teorien om generell relativitet. På den annen side er banen til en rakett på vei til månen ikke geodesisk på grunn av trykkraften som utøves når motoren er på.

Eksempler

Geodetisk av en romflate

De mest kjente eksemplene på geodesikk er linjer tegnet på overflater i dimensjon 3. De forsøker å generalisere forestillingen om en rett linje på en flat overflate. Vi observerer at en sykkel som ruller på en flat overflate uten å endre retning følger en rett linje. Hvis sykkelen beveger seg på en ujevn overflate, men føreren ikke snur på styret, vil sykkelen følge en geodesikk. Denne intuitive visjonen gjenspeiles i følgende matematiske definisjon:

La være en vanlig bue, tegnet på et vanlig ark med rom, buen er en geodesik hvis dens geodesiske krumning konstant er null.

Det er andre måter å karakterisere en geodesikk på. En geodetikk er en kurve tegnet på en overflate hvis hovednormale er normal til overflaten. En geodetisk linje er en linje som til enhver tid som ikke er et bøyepunkt, har et oscilleringsplan som er normalt til overflaten på dette punktet.

Det er vist at på en gitt overflate, hvis det eksisterer en kurve med minimumslengde som forbinder to punkter, følger denne kurven alltid en geodesikk. Men en geodetikk tilsvarer ikke alltid en sti med minimum lengde.

For eksempel er geodesikken til en revolusjonssylinder meridianer, paralleller og sirkulære spiraler . Det er en uendelig sirkelformet helix som passerer gjennom to punkter $A$ og $B$ i revolusjonssylinderen, ikke plassert på samme parallell, men en enkelt kurve med minimum lengde som forbinder $A$ og $B$ (hvis midtpunktet til $[ AB ]$ ikke er på rotasjonen akser).

Geodesikken til en sfære er dens store sirkler . Den korteste avstand mellom et punkt $A$ og et punkt $B$ på en kule er gitt ved den minste delen av den store sirkelen som går gjennom $A$ og $B$ . Hvis $A$ og $B$ er poler fra hverandre (som Nordpolen og Sydpolen), er det et uendelig antall kortere stier.

Geodesikk har følgende to unike egenskaper:

ved et punkt på en overflate eksisterer det en og bare en geodetisk med gitt tangens;
gjennom to ganske tette punkter på overflaten , går det en enkelt geodesikk som går gjennom disse punktene; denne geodesikken tilsvarer deretter banen til minimumslengden som forbinder disse punktene.

Geografi

Et geodetisk koordinatsystem (geodetisk system ) er en måte å finne et sted nær jordoverflaten (for eksempel etter bredde og lengdegrad ). Det er et tre- dimensjonalt referanseramme (a plansisfære har bare to) i en euklidsk referanseramme.

Hvis man tenker på jorden til en kule, er geodesikken buer som også kalles "store sirkelbuer" eller " ortodromier ". Dette er bare en tilnærming av virkeligheten, jordens form er nær den som en ellipsoid av revolusjon.

Fysisk

I fysikk er geodesikk en generalisering av denne terrestriske applikasjonen. I stedet for å ha en materiell hindring for å omgå, er det for eksempel et kraftfelt som endrer banen.

Den Voyager har, for eksempel, følger en krummet romlige retninger, slik det er vist nedenfra mot ved hver passering nær en planet. Stien deres, som kan sammenlignes med en form for en spiral, er imidlertid den raskeste veien.

Spesiell relativitet , ved å relatere materie til energi, gjorde det mulig å bruke begrepet geodesikk på elementer som så ut til å unnslippe den, for eksempel lys.

Dette materialiseres, for eksempel i astrofysikk , av det faktum at tilstedeværelsen av en stjerne, mellom en lyskilde og en observatør, kurver den optimale banen som lyset må ta for å nå den.

Den generelle relativitetsteorien , som knytter tid til et "buet" rom, tillot å koble bane- begrepet og geodesikken. Den jordas bane rundt solen er derfor sin logiske bane i rom-tid på grunn av kombinasjonen av fremdriften (tolkes som en sentrifugal virkning i Galilaer fysikk) og den krumning av nærliggende rom-tid. Av stjernen (tolkes som sentripetal virkning i galilsk fysikk).

Geometriske applikasjoner

Metrisk geometri

I metrisk geometri er en geodesikk en kurve som lokalt følger minimumsavstanden overalt. Mer presist, en parametrisk kurve $γ: I \to M$ fra enhetsintervallet $I$ til det metriske rommet $M$ er en geodetisk hvis det eksisterer en konstant $v \geq 0$ slik at det for alt eksisterer et nabolag $J$ av $t$ i $I$ slik at for alt vi har: $t \ i jeg$ $t_ {1}, t_ {2} \ i J.$

{\ displaystyle d \ left (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2}) \ right) = v | t_ {1} -t_ {2} | ~}

Et metrisk rom sies å være geodesisk hvis to av punktene alltid er forbundet med minst en geodesikk. En forestilling som ligner veldig på lengdeplassen .

Dette generaliserer forestillingen om geodesikk for Riemannian manifolds. I metrisk geometri er geodesikken som er vurdert nesten alltid utstyrt med en naturlig parametrisering , som er definert av det faktum at $v = 1$ og

{\ displaystyle d \ left (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2}) \ right) = | t_ {1} -t_ {2} | ~}

(Pseudo-) Riemannian geometri

På en pseudo-Riemannian manifold er en geodesisk $M$ definert av en vanlig parametrisert kurve som bærer sin egen tangentvektor parallelt . ${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ gamma (\ lambda)}$

For å intuitivt forstå hva dette betyr, kan man forestille seg et passasjerfly som flyr i konstant høyde rundt jorden fra Paris til Beijing på den korteste ruten. Fra passasjerens synspunkt er flyretningen alltid den samme. På slutten av turen følte passasjerene aldri en akselerasjon som ville fått dem til å endre retning. Ifølge dem tok de den korteste ruten. Imidlertid, hvis vi vurderer referanserammen sentrert på jorden, har vektoren som beskriver flyets hastighet endret retning over tid for å følge formen på planeten. Disse variasjonene var imidlertid vinkelrett på alle punkter mot planet som berører den jordiske sfæren, siden ingen tangensiell variasjon finner sted. Denne modifikasjonen av flyets hastighetsvektor på en måte tilpasset geometrien der den beveger seg tilsvarer nøyaktig det som menes med parallell transport . Når det gjelder en overflate som er inkludert i rommet til dimensjon 3, er en geodesikk som er krysset med konstant hastighet en kurve slik at akselerasjonen til mobilpunktet er vinkelrett på planet som tangerer overflaten. Det er ingen lateral akselerasjon som ville fått bevegelsespunktet til å avvike fra banen.

I matematiske termer uttrykkes dette som følger, med $γ ( λ )$ den parametriserte kurven som representerer geodesikken og betegner med

{\ frac {{{\ rm {d}}} \ gamma (\ lambda)} {{{\ rm {d}}} \ lambda}} = V = V ^ {{\ mu}} {\ frac {\ delvis} {\ delvis x ^ {{\ mu}}}}

tangensvektoren til kurven (hastighetsvektoren hvis vi identifiserer $λ$ med tiden i reisendes referanseramme) i referanserammen som tilsvarer koordinatene $x μ$

{\ frac {{{\ rm {d}}}} {{{\ rm {d}}} \ lambda}} V = \ nabla _ {{V}} V = V ^ {{\ mu}} \ nabla _ {{\ mu}} V = 0

hvor ∇ er Levi-Civita-forbindelsen på $M$ (tilsvarer det samvariante derivatet ). Denne relasjonen uttrykker at avledningen av hastigheten V i tangensplanet langs banen (i retning $V$ selv) er null. Med andre ord, operatøren $V jj \nabla for jj$ representerer akselerasjon langs $γ ( λ ) , og vi uttrykker det faktum at denne akselerasjonen langs kurven er null. Spesielt er det ingen akselerasjon som er normal for geodesikken som kan bøye den.$

Fra denne definisjonen og uttrykket av komponentene i Levi-Civita-forbindelsen, får vi ligningen av geodesikk :

{\ frac {{\ mathrm d} ^ {2} x ^ {\ alpha}} {{\ mathrm d} \ lambda ^ {2}}} + {\ Gamma ^ {{\ alpha}}} _ {{\ gamma \ beta}} {\ frac {{\ mathrm d} x ^ {\ gamma}} {{\ mathrm d} \ lambda}} {\ frac {{\ mathrm d} x ^ {\ beta}} {{\ mathrm d} \ lambda}} = 0

Geodesikken er derfor i de mangfoldige parametriske kurvene som reagerer på denne differensiallikningen. Den $-y oc γβ$ er Christoffel symboler , som avhenger direkte på den metriske tensor $g$ : de representerer den forsvinnende deformasjon av plass i forhold til en flat plass.

Den geodesiske ligningen er også Euler-Lagrange-ligningen assosiert med kurvens energi:

{\ displaystyle E (\ gamma) = \ int g _ {\ gamma (\ lambda)} (V (\ lambda), V (\ lambda)) \, \ mathrm {d} \ lambda}

Ettersom Lagrangian er uavhengig av tid $λ$ , er Hamiltonian konservert langs geodesikk. Men her er Hamiltonian lik Lagrangian, som i seg selv er lik kvadratet til normen for hastigheten. Vi konkluderer med at hastigheten er bevart langs geodesikken, i samsvar med deres fravær av akselerasjon. $L (\ lambda, \ gamma, V) = g _ {\ gamma} (V, V)$

Periodisk geodetikk

Søket etter periodisk geodesikk motiverte utviklingen av Riemannian geometri . Ett problem angår den asymptotiske estimat for en rekke Riemannisk ( M , g ) antallet periodiske geodetisk lavere enn en gitt lengde L . Denne geodetikken er de kritiske punktene i den energifunksjonelle som er definert i rommet til snørene til manifolden (med for eksempel en Sobolev-regelmessighet). For en generisk Riemannian-beregning ble det oppnådd en reduksjon i 1981 som en funksjon av den globale topologien i blonderommet.

En eksponentiell vekst ble demonstrert av Katok i 1988 for orienterte flater av slekten større enn 1 . Videre ble det vist i 1993 at for en beregning på den todimensjonale sfæren, er dette tallet større enn et begrep i $L / log ( L )$ .

Se også

og også

Lastebil som peker sørover

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Geodesic " ( se listen over forfattere ) .

Jacqueline Lelong-Ferrand og Jean-Marie Arnaudiès, matematikkurs: geometri og kinematikk , t. 3, Paris, Bordas,1977, s. 517
“Klassisk differensialgeometri”, Encyclopædia Universalis, Paris, 1990, T10, s. 365c
Lelong-Ferrand og Arnaudiès 1977 , s. 520.
Marcel Berger, 150 år med Riemannian geometri .