Sfære

I geometri i rommet er en kule en overflate som består av alle punktene i samme avstand fra et punkt som kalles sentrum . Verdien av denne avstanden til sentrum er sfærens radius . Den sfæriske geometrien er vitenskapen som studerer kulenes egenskaper. Jordens overflate kan, som en første tilnærming , modelleres av en kule med en radius på omtrent 6.371 km .

Mer generelt i matematikk, i et metrisk rom , er en kule settet med punkter som ligger i samme avstand fra et senter. Formen deres kan da være veldig forskjellig fra den vanlige runde formen. En kule er også en degenerert ellipsoid .

En "full" kule er en ball , hvis poeng har en avstand fra sentrum mindre enn eller lik radius.

Euklidisk kule (i tredimensjonalt rom)

Ordforråd

I lang tid brukte hverdagsspråket ordet "sfære" like mye for å navngi overflaten som det faste stoffet det avgrenser. I dag betegner sfæren utelukkende overflaten, og det faste stoffet på sin side bærer navnet på ballen .

Andre termer fortjener å bli definert:

To antipodale punkter er to diametralt motsatte punkter på sfæren. Dette er tilfellet med polene på den jordiske sfæren;
En stor sirkel er en sirkel tegnet på sfæren og har samme radius som sfæren. En stor sirkel passerer alltid gjennom to antipodale punkter. De meridianer av terrestriske sfære er gode sirkler. De paralleller er sirkler trukket på kulen, men deres stråler er generelt mindre enn den til den sfæren, og deretter ikke er store sirkler;
en sfærisk spindel er en figur tegnet på sfæren av to halvstore sirkler med samme ender;
en sfærisk flik er en solid kutt ut av en ball av en dihedral , som en oransje kil.
en sfærisk trekant er en figur tegnet på sfæren dannet av tre punkter forbundet med buer av halvstore sirkler;
en sfærisk polygon er en figur tegnet på en kule, dannet av flere punkter forbundet med buer i store sirkler;
en sfærisk sone er den delen av en kule som ligger mellom to parallelle plan;
en sfærisk hette er en sfærisk sone der et av flyene er tangent til sfæren;
et sfærisk segment er det faste avgrenset av to parallelle plan og den sfæriske sonen som de bestemmer;
en sfærisk sektor er det faste avgrenset av en sfærisk hette og den sirkulære kjeglen generert av de originale halvlinjene midt i sirkelen og hviler på den sfæriske hetten.

Ligninger

I kartesisk geometri , er rommet forsynt med et ortonormalt koordinatsystem , en kule med senter og radius, settet med punkter som: ${\ displaystyle ({\ overrightarrow {Ox}}, {\ overrightarrow {Oy}}, {\ overrightarrow {Oz}})}$ $(x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ $r$ $(X Y Z)$

\ displaystyle (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2} + (z-z_ {0}) ^ {2} = r ^ {2}

Punktene til sfæren med radius r og sentrum O kan parametreres ved å:

\ venstre \ {{\ begynn {matrise} x & = & r \ cos \ theta \; \ cos \ phi \\ y & = & r \ cos \ theta \; \ sin \ phi \\ z & = & r \ sin \ theta \ end {matrix}} \ right. \ qquad \ left ({\ frac {- \ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}} {\ mbox { og}} - \ pi \ leq \ phi \ leq \ pi \ høyre)

Vi kan se det som bredde og lengdegrad. (Se trigonometriske funksjoner og sfæriske koordinater .) $\ displaystyle \ theta$ $\ displaystyle \ phi$

Formler

Det område av en kule med radius er: $r$

A = 4 \ pi r ^ {2}

Det volum av ballen det inneholder er:

{\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}}}

Dens "kompakthet", det vil si areal-volumforholdet , er derfor:

{\ displaystyle C = {\ frac {A} {V}} = {\ frac {3} {r}}}

Den treghetsmoment av en homogen ball med radius , tetthet og masse M , med hensyn til en akse som går gjennom dens senter er: $r$ $\ rho$

I = {\ frac {2Mr ^ {2}} {5}} = {\ frac {8 \ pi \ rho r ^ {5}} {15}}

Treghetsmomentet av en homogen sfære med radius og masse M , med hensyn til en akse som går gjennom dens senter er: $r$

I = {\ frac {2Mr ^ {2}} {3}} = {\ frac {8 \ pi \ rho r ^ {5}} {9}}

Arealelementet til sfæren med radius i koordinater for breddegrad / lengdegrad ( - ) er . Vi utleder at arealet til en spindel (del begrenset av to halvsirkler som forbinder polene og danner en vinkel uttrykt i radianer ) er . $r$ $\ lambda$ $\ varphi$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = r ^ {2} \ cos \ lambda \, \ mathrm {d} \ lambda \, d \ varphi}$ $\ alfa$ ${\ displaystyle 2 \ alpha \, r ^ {2}}$

Dette gjør det også mulig å beregne arealet til en sfærisk sone , det vil si av en del av en sfære begrenset av to parallelle plan som krysser sfæren (eller er tangent til den). Vi finner hvor betegner avstanden til de to planene: området er det samme som for en sirkulær sylinder med samme høyde som er tangent til sfæren (omskrevet sylinder). Dette bemerkelsesverdige resultatet demonstreres av Archimedes i sin avhandling om sfæren og sylinderen . Ifølge Cicero ville Archimedes ha bedt om å bli gravert inn på graven hans, til minne om dette resultatet, en kule og dens omskrevne sylinder. $2 \ pi rh$ $h$

Den sylinder som omskriver en gitt kule har et volum tilsvarende 1,5 ganger volumet av kulen.

Sfæren har det minste området blant overflatene som inneholder et gitt volum og inneholder det største volumet blant overflatene til et gitt område. Det er svaret på isoperimetrispørsmålet for det euklidiske rom av dimensjon 3. Av denne grunn ser kulen ut i naturen, for eksempel er boblene og vanndråpene (i fravær av tyngdekraften ) kuler fordi overflatespenningen prøver å minimere område.

Sfæren er omskrevet til en tetraeder

Gjennom fire punkter som ikke er av samme plan A, B, C og D (ABCD er en ikke- flat tetraeder ), passerer den en enkelt sfære, kalt den omskrevne sfæren .

De seks planene som formidler tetraederens kanter krysser seg i midten av sfæren.

Utvikling

Vi kan vise at sfæren er en overflate som ikke kan utvikles . Det er ingen sjef på sfæren. Likevel er det i praksis mulig å oppnå utviklingsbare overflater som nærmer seg sfæren veldig trofast, dette er tilfelle med alle syede ballonger . Se: fotball ( avkortet icosahedron ), volleyballball og fancy ball (pol-til-pol-spindler.)

Merk at det indre trykket vrir overflatene og skaper lojalitet i tilnærmingen ... Jo mer du blåser opp, jo mer nærmer sfæren deg perfeksjon.

Høyere dimensjonale euklidiske kuler

Vi kan generalisere begrepet sfære til et rom av enhver hel dimensjon . For hvert naturlige tall n er en n -sfære med radius r settet med punkter i det euklidiske rommet med ( n +1) dimensjoner som er på en fast avstand r fra et punkt i dette rommet ( r er en strengt reell positiv). For eksempel :

en 0-kule er paret sluttpunkter for intervallet [- r , r ] av den virkelige linjen;
en 1-kule er en sirkel med radius r ;
en 2-kule er en vanlig kule.

Sfærer av dimensjon n > 2 kalles noen ganger hypersfærer . Den n -sphere med radius 1 er merket S n .

Området til en ( n -1) -sfære med radius r er

2 {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)}} r ^ {n-1} = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n-1}} {2 \ cdot 4 \ cdots (n-2)}}, og {\ text {si}} n {\ text {er jevn;}} \\ \\\ displaystyle {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdots (n-2)}}, & {\ text {si}} n {\ text {er odd}}, \ end {cases}}

hvor Γ er Eulers gammafunksjon

og volumet av en n- kule med radius r er lik produktet fra dette området ved , derfor til ${r \ over n}$

{\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n}} {2 \ cdot 4 \ cdots n}}, og {\ text {si}} n {\ text {er jevn;}} \\\\\ displaystyle {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots n}}, og {\ text {si}} n {\ text {er merkelig}}. \ end {cases}}

Avhengig av konteksten, spesielt i topologi , kan ordet sfære (eller n - sfære hvis vi vil huske dimensjonen) brukes til å betegne ethvert topologisk rom som er homomorf til en n- sfære i den forstand som er definert i forrige avsnitt.

Den Euler karakteristisk for en n -sphere er verdt 2 hvis n er jevn, og 0 dersom n er et oddetall.

Sfæren som en geometrisk primitiv

I CAD- eller datagrafikkprogramvare (f.eks. Blender ) er sfæren mye brukt som en geometrisk primitiv . Kjennetegnene til nettet som brukes til representasjon er spesifisert av brukeren (justering av glattheten).

Sfæren som variasjon

Det er en manifold (av dimensjon 2, uten kant).

Noen eiendommer

Sfæren er globalt invariant av (spesielt) en rotasjon hvis akse går gjennom sentrum.
De to viktigste krumningene er like, og er verdt . $\ frac {1} {r}$
Hans Ricci skalar er uniform: . ${\ displaystyle R = {\ frac {2} {r ^ {2}}}}$

Merknader og referanser

Merknader

I henhold til den pytagoreiske læresetning generalisert i flere dimensjoner

Referanser

I leksikonet til Diderot og d'Alembert er kule for eksempel "en solid kropp inneholdt under en enkelt overflate, og som i midten har et punkt som kalles sentrum, derav alle linjene som er tegnet i området, er like. " (( S: L'Encyclopédie / 1. utgave / SPHERE ) og det er litt mnemonisk rim for å beregne volumet " Kulevolumet / er hva vi kan gjøre / fire tredjedeler av pi R tre / enten i jern eller tre ” (Roland Bouchot, L'Amour des mots , side 142 )
Arbeid digitalisert av Marc Szwajcer, Works of Archimedes, oversatt bokstavelig, med en kommentar, av F. Peyrard, professor i matematikk og astronomi ved Lycée Bonaparte .
Se for eksempel Diderot leksikon , Artikkel Syracuse , på Wikikilden .
(in) Herbert Seifert og William Threlfall (de) ( overs. Fra tysk), A Textbook of Topology , New York, Academic Press ,1980, 437 s. ( ISBN 978-0-12-634850-7 ) , s. 53.
(in) " Primitives - Blender Manual " på docs.blender.org (åpnet 11. april 2020 )

Se også

Bibliografi

(no) David Hilbert og Stephan Cohn-Vossen , Geometry and the Imagination [ detalj av utgaver ]
Marcel Berger , Geometry [ detalj av utgaver ]Nathan, 1990, c. 18

Relaterte artikler

Eksterne linker

A. Javary, avhandling om beskrivende geometri , kjegler og sylindere, kule og overflater av andre grad , 1881 (om Gallica )
Matthieu Aubry, Den korteste veien på sfæren
Xavier Hubaut, Secondary Mathematics - Cone and Sphere
Xavier Hubaut, reiser på en kule