Pappus 'teorem

Den teoremet Pappus er et teorem i geometri med hensyn til innretting av tre punkter: hvis vi betrakter tre innrettede punkter A, B, C og tre også innrettede punkter a, b, c, de rette skjæringspunktene (Ab) - (BA), ( Ac) - (Ca) og (Bc) - (Cb) er også justert.

Det er i utgangspunktet en setning av plan projektiv geometri som har flere variasjoner i affin geometri . I prosjektiv geometri er det kun angitt i form av justeringer av punkter og kryss av linjer, og er demonstrert i ethvert prosjektivt plan bygget på en kommutativ kropp . I affin geometri kan det demonstreres ved bruk av Menelaus teorem .

I en aksiomatisk tilnærming til prosjektiv geometri, kan den tas som et aksiom og karakteriserer deretter blant planene sett på som en struktur av innfall , de som kan konstrueres på et kommutativt felt , også i affin geometri for den affine avataren til Pappus. teorem (se argusisk affineplan ). Det resulterer i aksiomet til Desargues som er utledet fra aksiomene av innfall og fra aksiomet til Pappus av setningen til Hessenberg .

Dette er et spesielt tilfelle av Pascals heksagram .

Den er oppkalt til ære for den greske matematikeren Pappus fra Alexandria .

Setning av setningen

I en plan, er , , tre distinkte punkter er innrettet på en linje , og er , , tre andre distinkte punkter som ligger på en annen linje , mens punktene PÅ1{\ displaystyle A_ {1}}B1{\ displaystyle B_ {1}}VS1{\ displaystyle C_ {1}}(d){\ displaystyle (d)}PÅ2{\ displaystyle A_ {2}}B2{\ displaystyle B_ {2}}VS2{\ displaystyle C_ {2}}(d′){\ displaystyle (d ^ {\ prime})}

• PÅ{\ displaystyle A}skjæringspunktet mellom med(B2VS1){\ displaystyle (B_ {2} C_ {1})}(VS2B1){\ displaystyle (C_ {2} B_ {1})}
• B{\ displaystyle B}skjæringspunktet mellom med(PÅ2VS1){\ displaystyle (A_ {2} C_ {1})}(VS2PÅ1){\ displaystyle (C_ {2} A_ {1})}
• VS{\ displaystyle C}skjæringspunktet mellom med(PÅ2B1){\ displaystyle (A_ {2} B_ {1})}(B2PÅ1){\ displaystyle (B_ {2} A_ {1})}

er justert.

Det er en prosjektiv geometri-setning, derfor kan punktene som vurderes være riktig eller upassende. Hvis alle punktene er rene, oppnås en konfigurasjon av den motsatte typen.

Merknader

Hvis vi betegner linjen som bærer punktene A, B, C, er følgende påstander ekvivalente (i prosjektiv geometri): (Δ){\ displaystyle (\ Delta)}

• de tre linjene , og er samtidig;(d){\ displaystyle (d)}(d′){\ displaystyle (d ^ {\ prime})}(Δ){\ displaystyle (\ Delta)}
• de tre linjene er samtidig;(PÅ1PÅ2){\ displaystyle (A_ {1} A_ {2})} (B1B2){\ displaystyle (B_ {1} B_ {2})} (VS1VS2){\ displaystyle (C_ {1} C_ {2})}
• de seks "kryss" rette linjene er tangent til samme kjeglesnitt.(B2VS1){\ displaystyle (B_ {2} C_ {1})} (VS2B1){\ displaystyle (C_ {2} B_ {1})} (PÅ2VS1){\ displaystyle (A_ {2} C_ {1})} (VS2PÅ1){\ displaystyle (C_ {2} A_ {1})} (PÅ2B1){\ displaystyle (A_ {2} B_ {1})} (B2PÅ1){\ displaystyle (B_ {2} A_ {1})}
• De to linjene og kan betraktes som en degenerert kjegle : for hexagram , den Pappus-Pascal-teoremet hevder justeringen av punktene , og .(d){\ displaystyle (d)}(d′){\ displaystyle (d ^ {\ prime})} PÅ1B2VS1PÅ2B1VS2{\ displaystyle A_ {1} B_ {2} C_ {1} A_ {2} B_ {1} C_ {2}}PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}

Demonstrasjon ved hjelp av prosjektive applikasjoner

Vi konstruerer punktene O skjæringspunktet mellom (d) og (d '), D skjæringspunktet mellom og og E skjæringspunktet mellom og(PÅ1B2){\ displaystyle (A_ {1} B_ {2})}(PÅ2VS1){\ displaystyle (A_ {2} C_ {1})}(PÅ1VS2){\ displaystyle (A_ {1} C_ {2})}(VS1B2){\ displaystyle (C_ {1} B_ {2})}

Vi vurderer den sentrale projeksjonen p av linjen på linjen (d) med sentrum(PÅ1B2){\ displaystyle (A_ {1} B_ {2})}PÅ2{\ displaystyle A_ {2}}

• PÅ1{\ displaystyle A_ {1}} har for image PÅ1{\ displaystyle A_ {1}}
• C har for bildeB1{\ displaystyle B_ {1}}
• D har for bildeVS1{\ displaystyle C_ {1}}
• B2{\ displaystyle B_ {2}}har for bilde O

Vi vurderer den sentrale projeksjonen q av linjen (d) på midtlinjen(B2VS1){\ displaystyle (B_ {2} C_ {1})}VS2{\ displaystyle C_ {2}}

• PÅ1{\ displaystyle A_ {1}}har for bilde E
• B1{\ displaystyle B_ {1}}har for bilde A
• VS1{\ displaystyle C_ {1}} for bilde VS1{\ displaystyle C_ {1}}
• O har for bildeB2{\ displaystyle B_ {2}}

Ved den projiserende applikasjonen qop fra høyre til høyre(PÅ1B2){\ displaystyle (A_ {1} B_ {2})}(B2VS1){\ displaystyle (B_ {2} C_ {1})}

• PÅ1{\ displaystyle A_ {1}}har for bilde E
• C har for bilde A
• D har for bildeVS1{\ displaystyle C_ {1}}
• B2{\ displaystyle B_ {2}} har for image B2{\ displaystyle B_ {2}}

Hvis vi nå ser på den sentrale projeksjonen r av linjen på linjen med sentrum B(PÅ1B2){\ displaystyle (A_ {1} B_ {2})}(B2VS1){\ displaystyle (B_ {2} C_ {1})}

• PÅ1{\ displaystyle A_ {1}}har for bilde E
• D har for bildeVS1{\ displaystyle C_ {1}}
• B2{\ displaystyle B_ {2}} har for image B2{\ displaystyle B_ {2}}

Imidlertid bestemmes en prosjektiv anvendelse av en linje på en annen av bildet av tre forskjellige punkter. Transformasjonene qop og r sammenfaller på , D og . De er derfor like og . Punktene A , B og C er derfor justert. PÅ1{\ displaystyle A_ {1}}B2{\ displaystyle B_ {2}}r(VS)=PÅ{\ displaystyle r (C) = A}

Bevis i affin geometri av Ménélaüs teorem

Teoremet har flere affine avatarer som hver trekkes fra den projiserende versjonen ved å velge en linje i det uendelige. Det antas som ovenfor at 2 tripler av distinkte punkter ( , , ) på den ene side, ( , , ) på den annen, er på linje med hverandre på to forskjellige linjer. Vi legger til som en betingelse at og er sekant (i A), samt og (i B), og at og (i C). Vi utleder av Pappus teorem at A, B og C er justert. PÅ1{\ displaystyle A_ {1}}B1{\ displaystyle B_ {1}}VS1{\ displaystyle C_ {1}}PÅ2{\ displaystyle A_ {2}}B2{\ displaystyle B_ {2}}VS2{\ displaystyle C_ {2}}(B2VS1){\ displaystyle (B_ {2} C_ {1})}(VS2B1){\ displaystyle (C_ {2} B_ {1})}(PÅ2VS1){\ displaystyle (A_ {2} C_ {1})}(VS2PÅ1){\ displaystyle (C_ {2} A_ {1})}(PÅ2B1){\ displaystyle (A_ {2} B_ {1})}(B2PÅ1){\ displaystyle (B_ {2} A_ {1})}

Her er en direkte demonstrasjon i affin geometri, med noen tilleggsbetingelser, nemlig at og er hemmelige i , og i , og i . (PÅ2B1){\ displaystyle (A_ {2} B_ {1})}(B2VS1){\ displaystyle (B_ {2} C_ {1})}J1{\ displaystyle J_ {1}}(B2VS1){\ displaystyle (B_ {2} C_ {1})}(PÅ1VS2){\ displaystyle (A_ {1} C_ {2})}L1{\ displaystyle L_ {1}}(PÅ2B1){\ displaystyle (A_ {2} B_ {1})}(PÅ1VS2){\ displaystyle (A_ {1} C_ {2})}K1{\ displaystyle K_ {1}}

De tre således definerte punktene er så forskjellige og ikke justert og definerer trekanten (i blått på figuren) . J1K1L1{\ displaystyle J_ {1} K_ {1} L_ {1}}

• rett oppfyller de tre sidene i trekanten , ,(PÅ1VS1){\ displaystyle (A_ {1} C_ {1})}PÅ1{\ displaystyle A_ {1}}B1{\ displaystyle B_ {1}}VS1{\ displaystyle C_ {1}}
• rett oppfyller de tre sidene i trekanten , ,(PÅ2VS2){\ displaystyle (A_ {2} C_ {2})}PÅ2{\ displaystyle A_ {2}}B2{\ displaystyle B_ {2}}VS2{\ displaystyle C_ {2}}
• rett oppfyller de tre sidene i trekanten , ,(B1VS2){\ displaystyle (B_ {1} C_ {2})}B1{\ displaystyle B_ {1}}PÅ{\ displaystyle A}VS2{\ displaystyle C_ {2}}
• rett oppfyller de tre sidene i trekanten , ,(PÅ2VS1){\ displaystyle (A_ {2} C_ {1})}PÅ2{\ displaystyle A_ {2}}B{\ displaystyle B}VS1{\ displaystyle C_ {1}}
• rett oppfyller de tre sidene i trekanten , ,(PÅ1B2){\ displaystyle (A_ {1} B_ {2})}PÅ1{\ displaystyle A_ {1}}VS{\ displaystyle C}B2{\ displaystyle B_ {2}}

Ifølge Ménélaüs oversettes disse justeringene til følgende likheter:

PÅ1K1¯PÅ1L1¯×B1J1¯B1K1¯×VS1L1¯VS1J1¯=1{\ displaystyle {\ frac {\ overline {A_ {1} K_ {1}}} {\ overline {A_ {1} L_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {B_ {1} J_ { 1}}} {\ overline {B_ {1} K_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {C_ {1} L_ {1}}} {\ overline {C_ {1} J_ {1} }}} = 1}PÅ2J1¯PÅ2K1¯×B2L1¯B2J1¯×VS2K1¯VS2L1¯=1{\ displaystyle {\ frac {\ overline {A_ {2} J_ {1}}} {\ overline {A_ {2} K_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {B_ {2} L_ { 1}}} {\ overline {B_ {2} J_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {C_ {2} K_ {1}}} {\ overline {C_ {2} L_ {1} }}} = 1}B1K1¯B1J1¯×PÅJ1¯PÅL1¯×VS2L1¯VS2K1¯=1{\ displaystyle {\ frac {\ overline {B_ {1} K_ {1}}} {\ overline {B_ {1} J_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {AJ_ {1}}} {\ overline {AL_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {C_ {2} L_ {1}}} {\ overline {C_ {2} K_ {1}}}} = 1}PÅ2K1¯PÅ2J1¯×BL1¯BK1¯×VS1J1¯VS1L1¯=1{\ displaystyle {\ frac {\ overline {A_ {2} K_ {1}}} {\ overline {A_ {2} J_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {BL_ {1}}} {\ overline {BK_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {C_ {1} J_ {1}}} {\ overline {C_ {1} L_ {1}}}} = 1}PÅ1L1¯PÅ1K1¯×VSK1¯VSJ1¯×B2J1¯B2L1¯=1{\ displaystyle {\ frac {\ overline {A_ {1} L_ {1}}} {\ overline {A_ {1} K_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {CK_ {1}}} {\ overline {CJ_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {B_ {2} J_ {1}}} {\ overline {B_ {2} L_ {1}}}} = 1}

Ved å multiplisere medlem med medlem disse fem likhetene, forblir det etter forenkling:

PÅJ1¯PÅL1¯×BL1¯BK1¯×VSK1¯VSJ1¯=1{\ displaystyle {\ frac {\ overline {AJ_ {1}}} {\ overline {AL_ {1}}}} \ times {\ frac {\ overline {BL_ {1}}} {\ overline {BK_ {1} }}} \ times {\ frac {\ overline {CK_ {1}}} {\ overline {CJ_ {1}}}} = 1}

som viser fra gjensidigheten av Menelaus justeringen av de tre punktene , og . PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}

En lignende demonstrasjon kan gjøres, ved å endre tilleggsbetingelsene, med trekanten (i rødt på figuren). I dette tilfellet bytter de tre linjene , og (i rødt på figuren) sine roller med de tre linjene , og (i blått på figuren). J2K2L2{\ displaystyle J_ {2} K_ {2} L_ {2}}(B1VS2){\ displaystyle (B_ {1} C_ {2})}(PÅ2VS1){\ displaystyle (A_ {2} C_ {1})}(PÅ1B2){\ displaystyle (A_ {1} B_ {2})}(B2VS1){\ displaystyle (B_ {2} C_ {1})}(PÅ1VS2){\ displaystyle (A_ {1} C_ {2})}(PÅ2B1){\ displaystyle (A_ {2} B_ {1})}

Vi trekker ut den projiserende versjonen av Pappus 'teorem fra denne affineversjonen ved å foreta en hensiktsmessig valg av en linje i det uendelige i det projiserende planet, for å redusere til affinplanet for å verifisere alle forholdene i setningen demonstrert av Ménélaüs.

Relaterte begreper

• Den Hessen teorem er linken mellom teorem av Pappus og teorem av Desargues .
• Affinere Pappus 'setning i affineplanet .
• Den hexagram Pascal hvis konfigurasjon Pappus er en degenerert versjon av (et kjegle er en bidroite).
• Pappus-graf
• Konfigurasjonen av Pappus er et eksempel på dualitet .

Kilder

• Leksjoner i prosjektiv geometri fra F. Enriqués
• Liten oppslagsverk for matematikk Ed. Didier
• Nettstedet der er gitt mange utviklinger på teoremet til Pappus: Merveilleux Pappus

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">