Den endelige typen abeliske grupper struktursetning gir en veldig eksplisitt klassifisering av endelige typen abeliske grupper opp til isomorfisme .
Blant annen informasjon indikerer det at enhver abelian gruppe av endelig type er et endelig direkte produkt av monogene grupper, og derfor er en abelian gruppe av endelig type der ethvert element som ikke er null, av uendelig orden er gratis .
Det er mulig å se en ganske enkel konsekvens av en setning for å klassifisere matrikser av heltall opp til ekvivalens . Det er et spesielt tilfelle av en mer generell setning (men neppe vanskeligere å bevise) som klassifiserer opp til isomorfisme modulene på en gitt hovedring .
Teoremet er kjent i to varianter, som kan trekkes fra hverandre ved å anvende det kinesiske setningen .
La ( G, +) være en abelsk gruppe av endelig type.
Bevisplanen presentert nedenfor, hentet fra Paul Cohns avhandling om algebra , bruker bare konsepter fra elementær gruppeteori. Uttalelsene som er fremhevet der, stadier av beviset, blir resultatene i andre eksponeringsmetoder og er interessante i seg selv.
La ( G, +) være en abelsk gruppe.
Et element av G av endelig orden vil sies å være et torsjonselement .
Torsjonselementene danner en undergruppe. Det kalles torsjonsundergruppen .
Når bare nøytral er vridning, snakker vi om en gruppe uten torsjon .
For hvert primtall p er settet med torsjonselementer hvis orden er en kraft av p en undergruppe. Den kalles p -komponent av torsjon av G .
Vi minner om at en fri abelsk gruppe er en abelsk gruppe som har en base, dvs. en del B , slik at et hvilket som helst element av gruppen er skrevet på en unik måte som en lineær kombinasjon med heltallige koeffisienter av et endelig antall av elementer B .
Åpenbart, hvis en gruppe ( F, +) er fri for abelianer, har den ingen vridning. Det omvendte er falsk: Q har ingen vridning, men kan ikke være fri siden den er delbar .
På den annen side er det ekvivalens innenfor klassen av endelige typegrupper:
eller med andre ord:
Siden dessuten Z m og Z n ikke er isomorfe for m ≠ n , har vi således fullstendig beskrevet abelske grupper av endelig type uten torsjon opp til isomorfi.
Følgende foreløpige resultat er bevist med samme teknikk som den kinesiske restsatsen :
Det er litt vanskeligere enn å belyse strukturen til disse p- komponentene, som ser ut til å være direkte produkter av sykliske grupper . I orden får vi den endelige gruppestruktursetningen i følgende form:
Elementene i denne suiten kalles elementære divisorene av G .
Ved å gruppere disse sykliske faktorene annerledes, kan vi utlede følgende setning:
Elementene i denne pakke er kalt invariante faktorer av G .
Denne formen for teoremet kan også vises direkte uten forutgående inngripen fra p- komponentene; vi kan lese et bevis i denne ånden (ved induksjon etter gruppens rekkefølge) i artikkelsetningen til Kronecker .
La oss nå ( G, +) være en abelsk gruppe av endelig type i all allmennhet. Vi betegner T sin torsjonsgruppe.
F er da av endelig type (som et kvotient av G ), og tilnærmingen av struktursetningene for endelige abeliske grupper og for torsjonsløse abelian-grupper av endelig type gir dermed struktursetningen.
En annen presentasjon av beviset består i å først demonstrere en klassifikasjonssetning av matriser med heltallskoeffisienter opp til ekvivalensen til matriser , for deretter å utlede ganske raskt klassifiseringen av abeliske grupper av endelig type opp til isomorfisme. En redegjørelse for dette kan bli funnet i den detaljerte artikkelen Invariant Factor Theorem , der den blir diskutert i den mer generelle sammenheng med euklidiske ringer .
Det er sammenfall mellom den abeliske gruppen og modulstrukturer på Z- ringen av relative heltall (se om dette emnet artikkelen abelian-gruppe ). Beviset viser seg å kunne reproduseres nesten identisk for å oppnå en analog setning som er gyldig på en hvilken som helst hovedring. Dette resultatet er i seg selv anvendelig på ganske andre spørsmål - spesielt klassifiseringen med likhet nær matriser med koeffisienter i et kommutativt felt .