I matematikk , nærmere bestemt i algebra , er en abelsk gruppe (oppkalt etter Niels Abel ), eller kommutativ gruppe , en gruppe hvis interne sammensetningslov er kommutativ . Ellers sett kan en kommutativ gruppe også defineres som en modul på den kommutative ringen ℤ av relative heltall ; studien av abeliske grupper fremstår da som et spesielt tilfelle av modulteori.
Vi vet hvordan vi på en enkel og eksplisitt måte kan klassifisere de abeliske gruppene av endelig type opp til isomorfisme , og spesielt å beskrive de endelige abeliske gruppene .
Vi sier at en gruppe er abel eller kommutativ når loven om intern sammensetning av gruppen er kommutativ , det vil si når:
for alleLoven til en kommutativ gruppe bemerkes noen ganger i tillegg, det vil si med tegnet +. Når denne konvensjonen er vedtatt, betegnes det nøytrale elementet 0, symbolet til et element x i gruppen er betegnet - x og for ethvert relativt heltall n betegner vi:
For x- element i en abelsk gruppe betegnet additivt og n relativt heltall, definerte vi over elementet nx i gruppen. Gruppen vises således som en modul på ringen ℤ av heltall. Omvendt oppnås en hvilken som helst ℤ-modul på denne måten.
Denne prosessen gjør det mulig å tenke på teorien om kommutative grupper som et spesielt tilfelle av teorien om moduler; i motsatt retning kan visse resultater angitt i sammenheng med kommutative grupper generaliseres til større klasser av moduler, spesielt klassen moduler på en hovedring . Dermed gjør en resirkulering av beviset for struktursetningen til abeliske grupper av endelig type det mulig å bevise en analog setning som er gyldig på en hvilken som helst hovedring, som i seg selv gjelder for alle andre spørsmål - spesielt klassifisering med likhet nær matriser med koeffisienter i en kommutativt felt .
Vi kaller en fri abelsk gruppe for en abelsk gruppe som er fri som et ℤ- modul (og ikke som en gruppe ), det vil si som har en base .
I likhet med vektorrom klassifiseres frie abelske grupper (opp til isomorfisme ) etter rang, definert som kardinalen til en base, og enhver undergruppe av en fri abelsk gruppe er i seg selv fri abelsk. Enhver abelsk gruppe er derfor isomorf til kvotienten til en fri abelsk gruppe av en fri abelsk undergruppe.
De er per definisjon de abelske gruppene som har en endelig genererende del : dermed spesielt de endelige abeliske gruppene og nettverkene til et euklidisk rom.
De endelige produktene, kvotientene, men også undergruppene til abeliske grupper av endelig type, er selv endelige. En strukturteori for abeliske grupper av endelig type gjør det mulig å klargjøre den komplette listen over disse gruppene opp til isomorfisme; han viser spesielt at enhver abelisk gruppe av endelig type er et endelig produkt av sykliske grupper . Spesielt en abelsk gruppe av endelig type som ikke har noen endelig rekkefølge element (bortsett fra den nøytrale) er abelsk fri.
En abelsk gruppe G sies å være delbar når for et helt tall n > 0, G = nG . Dens arketyper er additivgruppen ℚ av rasjonelle tall og p - Prüfer-gruppene . En strukturteori for delbare abeliske grupper viser at enhver delbar gruppe er en direkte sum (endelig eller uendelig) av kopier av disse modellene.
Den kategorien av alle abelsk gruppe er prototypen på en abelsk kategori .
Wanda Szmielew (de) , en student fra Tarski , demonstrerte i 1955 at førsteordens teori om abelske grupper kan avgjøres (i motsetning til første ordens teori om grupper).
(en) László Fuchs (en) , Abelian Groups , Pergamon Press ,1960, 3 e ed. ( 1 st ed. 1958) ( lese på nettet )