Abelsk gruppe av endelig type

I matematikk er en abelsk gruppe av endelig type en abelsk gruppe som har en endelig genererende del . Med andre ord  : det er en endelig type modul på ringen Z av relative heltall . Følgelig er de endelige produktene , kvotientene , men også undergruppene til abeliske grupper av endelig type, selv endelige. En struktursetning av abeliske grupper av begrenset type gjør det mulig å klargjøre den komplette listen over disse gruppene opp til isomorfisme ; han viser spesielt at enhver abelisk gruppe av endelig type er et endelig produkt av monogene grupper .

Definisjon

En abelsk gruppe av begrenset type er en abelsk gruppe (dvs. en gruppe hvis lov er kommutativ ) av endelig rang , dvs. generert av en begrenset del.

Eksempler

De to utsagnene nedenfor gjelder grupper av begrenset type , uten at det er nødvendig å anta at de er kommutative, og er veldig elementære:

• Ethvert ferdig produkt av grupper av endelig type er av endelig type.
• Enhver kvotient i en begrenset type gruppe er av endelig type.

Når disse uttalelsene er kjent, merker vi at:

• Gruppen ( Z , +) er av endelig type, generert av elementet 1.
• For et strengt positivt heltall er ( Z / a Z , +) i sin tur av endelig type (og monogen , som et kvotient).
• For l strengt positivt heltall Z l er av begrenset typen, som direkte produkt.
• Mer generelt, for a 1 , a 1 , ..., a k strengt positiv, og l positiv eller null, ( Z / a 1 Z ) x ( Z / a 2 Z ) x ... x ( Z / a k Z ) x Z l er av endelig type som et direkte produkt.

Som angitt nedenfor i artikkelen, beskriver dette siste eksemplet alle abeliske grupper av begrenset type, i den forstand at enhver abelisk gruppe av endelig type er isomorf for en gruppe av formen som er forklart i dette eksemplet.

På den annen side er den abeliske gruppen ( Q , +) av rasjonelle tall ikke av endelig type.

Undergrupper

Siden Z er en Noetherian-ring , er ethvert Z- modul av endelig type Noetherian , det vil si:

• Enhver undergruppe av en abelisk gruppe av endelig type er av endelig type.

Mer presist, siden Z er til og med prinsipp , er enhver undergruppe av en fri abelsk gruppe av rang n fri abel med rang mindre enn eller lik n , derfor:

• Enhver undergruppe av en abelisk gruppe generert av n elementer innrømmer at en genererende del som har maksimalt n elementer.

Struktursetning

Abelske grupper av endelig type kan klassifiseres opp til isomorfisme ganske eksplisitt. Flere enklere utsagn, konsekvenser av klassifiseringssetningen eller stadier av demonstrasjonen i henhold til den valgte eksponeringsmetoden, fortjener å bli isolert. I tillegg til det spesielle tilfellet som utgjøres av struktursetningen til endelige abeliske grupper, kan vi nevne følgende to resultater:

• Enhver abelsk gruppe av endelig type er et endelig produkt av monogene grupper  ;
• En abelisk gruppe av endelig type er torsjonsfri (hvis og) bare hvis den er fri abelian (en gruppe sies å være torsjonsfri hvis det eneste elementet i endelig orden er nøytralt ).

Her er to varianter av utsagnet om struktursetningen, som kan trekkes fra hverandre ved å anvende den kinesiske teoremet  :

La ( G , +) være en abelsk gruppe av endelig type.

• Det eksisterer et unikt heltall l ≥ 0 og en sekvens ( q 1 , q 2 ,…, q t ) av krefter av primtall , unikt bortsett fra omorganisering, som vi har isomorfien for  :

G ≃ ( Z / q 1 Z ) × ( Z / q 2 Z ) ×… × ( Z / q t Z ) × Z l

• Det eksisterer et unikt heltall l ≥ 0 og en unik sekvens ( a 1 , a 2 ,…, a k ) av heltall > 1 som vi har isomorfien: G ≃ ( Z / a 1 Z ) × ( Z / a 2 Z ) ×… × ( Z / a k Z ) x Z l med tilleggsbetingelsen: a j + 1 deler a j for ethvert heltall j mellom 1 og k - 1.

Den q jeg kalles elementære divisorene av G , og en j dens invariante faktorer . Heltallet s blir noen ganger kalt "  rang  (i)  " (fra abelsk gruppe) av G .

Et lærerikt bevis på denne teoremet er basert på bruk av Smiths normale form for matriser med heltallskoeffisienter. En analog teorem, mer generell, selv om den i det vesentlige har samme bevis, klassifiserer modulene av endelig type på en gitt hovedring , se om den artikkelen "  Theorem of invariant factors  ".

applikasjoner

Ettersom abeliske grupper av endelig type er veldig kjente gjenstander, har de egenskapen til å vises i mange grener og spørsmål av en matematisk orden, som er desto mer anvendelig. Vi finner dem i noen satser og sentrale temaer i matematikk, for eksempel enhetssatsen til Dirichlet, Mordell-Weil-teoremet og Mordell-formodningen , via Mordell-Lang-formodningen, i aritmetisk geometri, den enkle homologien til CW-kompleksene av endelig type og Nero-Severi-gruppen i algebraisk topologi , bestemte grupper av klasser ( K- grupper ) som for eksempel klassene idealer for en kropp av tall, klasser av representasjoner på C av endelige grupper, eller gruppen av tegn av en algebraisk torus.

I en annen ideerekke gjør begrepet abelian group det mulig å manipulere konstruksjoner som tensorproduktet den direkte summen (og produktet), det indre Hom , og disse konstruksjonene beholder egenskapen til endelig tilfredsstillelse av de abeliske gruppene av typen ferdig. Mer formelt oppnår vi dermed en stabil kategori ved standardoperasjoner. Dette gir en praktisk ramme for homologisk algebra , og dannelsen av Tor- og Ext- grupper .

Merknader og referanser

1. Roger Godement , Course algebra , Hermann , to th ed. 1966, s.  123 . Se også merknaden nedenfor om grupper uten vridning.
2. Dette ville være helt falsk uten hypotesen om kommutativitet: gruppen som er avledet fra den frie gruppen med to generatorer x og y, er ikke av endelig type: den er den frie gruppen med en tellbar uendelig generator [ x m , y n ] for m , n ikke-null heltall.
3. Serge Lang , Algebra [ detalj av utgaver ], red. på engelsk fra 1965, s.  45 .
4. Denne utvannede versjonen av klassifiseringssetningen er eksplisitt trykt i AG Kurosh ( overs.  Ann Swinfen), Forelesninger om generell algebra , Pergamon Press ,1965, s.  215.
5. (i) Paul Cohn , Algebra , t.  1, Wiley ,1974( ISBN  0-471-16430-5 ) , s.  281. Hypotesen om endelighet er viktig: for eksempel er den abeliske gruppen ( Q , +) torsjonsfri, men er ikke abelianfri.
6. Cohn 1974 , s.  284-285 (inkludert for uttrykkene "elementære delere" og "uforanderlige faktorer").
7. Lang 1965 , s.  50. Men ikke å forveksle med rangeringen som en gruppe, som er l + k .
8. For en diskusjon langs disse linjene (i) Nathan Jacobson , Basic Algebra I: Second Edition , Mineola, Dover ,2009, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1974, Freeman), 499  s. , lomme ( ISBN  978-0-486-47189-1 , LCCN  2009006506 , les online ) , s.  173-189.

Ekstern lenke

Fin generert abelsk gruppe av Michel Merle (over 3 e 2006-2007 lisensår ved Universitetet i Nice Sophia-Antipolis )