Isomorfiske teoremer

I matematikk , de tre isomorphism teoremer gi eksistensen av isomorphisms i sammenheng med den gruppeteori .

Disse tre isomorfiske setningene kan generaliseres til andre strukturer enn grupper . Se spesielt “  Universell algebra  ” og “  Gruppe med operatører  ”.

Første isomorfisats

Den første isomorfismen sier at gitt en gruppemorfisme , kan vi gjøre injiserende ved å kvotientere ved kjerne . f:G→G′{\ displaystyle f: G \ til G '}f{\ displaystyle f} G{\ displaystyle G}

Intuitivt betyr kvotering av en gruppe etter en undergruppe å "avbryte" elementene i . Ved kvotient av kjernen til , sørger vi derfor for at det bare gjelder for , noe som tilsvarer injeksjonsevnen til . G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}f(x)=0{\ displaystyle f (x) = 0}x=0{\ displaystyle x = 0}f{\ displaystyle f}

Før du snakker om gruppemorfisme , for å kunne snakke om en kvotientgruppe, er det nødvendig å sørge for at det er en normal undergruppe. G/Ker⁡f→G′{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f \ to G '}G/Ker⁡f{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}

Proposisjon  -  La og være to grupper og la være en gruppemorfisme. Da er en normal undergruppe av . G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}f:G→G′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}G{\ displaystyle G}

Demonstrasjon

Legg merke til lover og og og deres nøytrale elementer, og kontroller at det er stabilt ved konjugasjon, det vil si for alle og alle . ⋅{\ displaystyle \ cdot}G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}e{\ displaystyle e}e′{\ displaystyle e '}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}x⋅h⋅x-1∈Ker⁡f{\ displaystyle x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1} \ in \ operatorname {Ker} f}x∈G{\ displaystyle x \ i G}h∈Ker⁡f{\ displaystyle h \ in \ operatorname {Ker} f}

Det har vi . Som det er i , det vil si det , trekker vi frem det . Så, er i og er derfor en normal undergruppe av . f(x⋅h⋅x-1)=f(x)⋅f(h)⋅f(x-1){\ displaystyle f (x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}) = f (x) \ cdot f (h) \ cdot f (x ^ {- 1})}h{\ displaystyle h}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}f(h)=e′{\ displaystyle f (h) = e '}f(x⋅h⋅x-1)=f(x)⋅f(x-1)=f(x⋅x-1)=f(e)=e′{\ displaystyle f (x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}) = f (x) \ cdot f (x ^ {- 1}) = f (x \ cdot x ^ {- 1}) = f ( e) = e '}x⋅h⋅x-1{\ displaystyle x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}G{\ displaystyle G}

Det faktum at det er en normal undergruppe av gjør det mulig å definere en gruppe lov som er kompatibel med kvotientgruppen . Takket være denne kompatibiliteten induserer morfismen til grupper en isomorfisme . Ker⁡f{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}G{\ displaystyle G}G/Ker⁡f{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}G{\ displaystyle G}f:G→G′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}f^:G/Ker⁡f→Jeg er⁡f{\ displaystyle {\ widehat {f}}: G / \ operatorname {Ker} f \ rightarrow \ operatorname {Im} f}

Vi kan nå uttale teoremet.

Første isomorfismesetning  -  La og være to grupper og en gruppemorfisme. Deretter indusere en orm isomorfisme . G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}f:G→G′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}f{\ displaystyle f}G/Ker⁡f{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}f(G){\ displaystyle f (G)}

Demonstrasjon

La oss betegne kjernen til . Vi definerer ved å stille H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}f^{\ displaystyle {\ hat {f}}}

f^(xH)=f(x){\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = f (x)}.

• Funksjonen er veldefinert , det vil si at den bare avhenger av klassen og ikke av den aktuelle representanten . Faktisk, hvis en annen representant for , som er å si om , så derfor , fra der .f^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}f^(xH){\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH)}xH{\ displaystyle xH}x{\ displaystyle x}y∈G{\ displaystyle y \ in G}xH{\ displaystyle xH}xH=yH{\ displaystyle xH = yH}xy-1∈H=Ker⁡f{\ displaystyle xy ^ {- 1} \ i H = \ operatorname {Ker} f}f(x)=f(y){\ displaystyle f (x) = f (y)}f^(xH)=f^(yH){\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = {\ widehat {f}} (yH)}
• Per definisjon av kvotientgruppeloven, er en morfisme av grupper.f^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}
• Morfismen er antagelig: for alt eksisterer den slik at  ; men da .f^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}y∈f(G){\ displaystyle y \ in f (G)}x∈G{\ displaystyle x \ i G}f(x)=y{\ displaystyle f (x) = y}f^(xH)=f(x)=y{\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = f (x) = y}
• Morfismen er injiserende. Faktisk, enten et element i kjernen. Så det vil si er i kjernen av . Men så , hvem er det nøytrale elementet i .f^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}xH{\ displaystyle xH}e′=f^(xH)=f(x){\ displaystyle e '= {\ widehat {f}} (xH) = f (x)}x{\ displaystyle x}H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}xH=H{\ displaystyle xH = H}G/H{\ displaystyle G / H}

En annen mulig formulering av forrige teorem er at morfismen er faktorisert ved kanonisk overskjæring og injeksjon, det vil si at diagrammet som følger er kommutativt . f{\ displaystyle f}

Andre isomorfismesetning

Andre isomorfisats  -  La være en gruppe, en normal undergruppe av og en undergruppe av . Da er en normal undergruppe av , og vi har følgende isomorfisme: G{\ displaystyle G}IKKE{\ displaystyle N}G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}H∩IKKE{\ displaystyle H \ cap N}H{\ displaystyle H}

H/(H∩IKKE)≃HIKKE/IKKE.{\ displaystyle H / (H \ cap N) \ simeq HN / N.} Demonstrasjon

• For å kunne snakke om gruppen , er det først nødvendig å vise at det er en gruppe og det er en normal undergruppe av den.HIKKE/IKKE{\ displaystyle HN / N}HIKKE{\ displaystyle HN}IKKE{\ displaystyle N}

La og to elementer av . Vi har , med , (siden er normalt i ) og er derfor i , som viser at er stabilt ved multiplikasjon. er inversjonsstabil fordi , og den inneholder . Vi bemerker at fordi og . hikke{\ displaystyle hn}h′ikke′{\ displaystyle h'n '}HIKKE{\ displaystyle HN}hikkeh′ikke′=hh′(h′-1ikkeh′)ikke′{\ displaystyle hnh'n '= hh' (h '^ {- 1} nh') n '}hh′∈H{\ displaystyle hh '\ i H}h′-1ikkeh′∈IKKE{\ displaystyle h '^ {- 1} nh' \ i N}IKKE{\ displaystyle N}G{\ displaystyle G}ikke′∈IKKE{\ displaystyle n '\ in N}hikkeh′ikke′{\ displaystyle hnh'n '}HIKKE{\ displaystyle HN}HIKKE{\ displaystyle HN}HIKKE{\ displaystyle HN}(hikke)-1=h-1(hikke-1h-1)∈HIKKE{\ displaystyle (hn) ^ {- 1} = h ^ {- 1} (hn ^ {- 1} h ^ {- 1}) \ i HN}e{\ displaystyle e}HIKKE=IKKEH{\ displaystyle HN = NH}ikkeh=h(h-1ikkeh)∈HIKKE{\ displaystyle nh = h (h ^ {- 1} nh) \ i HN}hikke=(hikkeh-1)h∈IKKEH{\ displaystyle hn = (hnh ^ {- 1}) h \ i NH}

På den annen side har vi gruppeinneslutninger , og er normale i , så det er også normale i . IKKE⊂HIKKE⊂G{\ displaystyle N \ subset HN \ subset G}IKKE{\ displaystyle N}G{\ displaystyle G}HIKKE{\ displaystyle HN}

• For å etablere isomorfisme, vil vi bruke den første isomorfismen.

Vi har en injeksjonsmorfisme definert av , og den kanoniske overkastelsen (settet ved ankomst er en gruppe, siden det er normalt i ). Ved å komponere disse to morfismene får vi en ny morfisme definert av . j:H↪HIKKE{\ displaystyle j: H \ hookrightarrow HN}j(h)=h{\ displaystyle j (h) = h}σ:HIKKE↠HIKKE/IKKE{\ displaystyle \ sigma: HN \ twoheadrightarrow HN / N}IKKE{\ displaystyle N}G{\ displaystyle G}f=σ∘j:H→HIKKE/IKKE{\ displaystyle f = \ sigma \ circ j: H \ til HN / N}f(h)=hIKKE{\ displaystyle f (h) = hN}

• Morfismen er antagelig.f{\ displaystyle f}

Faktisk, enten med og . Siden er i , så . (hikke)IKKE∈HIKKE/IKKE{\ displaystyle (hn) N \ i HN / N}h∈H{\ displaystyle h \ in H}ikke∈IKKE{\ displaystyle n \ in N}ikke{\ displaystyle n}IKKE{\ displaystyle N}hikkeIKKE=hIKKE{\ displaystyle hnN = hN}hikkeIKKE=f(h){\ displaystyle hnN = f (h)}

• Kjernen i er .f{\ displaystyle f}H∩IKKE{\ displaystyle H \ cap N}

Faktisk er det nøytrale elementet i hvis, og bare hvis, er i . Som allerede er i , tilsvarer det å si at det er i . f(h)=hIKKE{\ displaystyle f (h) = hN}IKKE{\ displaystyle N}HIKKE/IKKE{\ displaystyle HN / N}h{\ displaystyle h}IKKE{\ displaystyle N}h{\ displaystyle h}H{\ displaystyle H}h{\ displaystyle h}IKKE∩H{\ displaystyle N \ cap H}

• Den første isomorfismen forsikrer deretter at det er en normal undergruppe av , og at den induserte morfismen er en isomorfisme.IKKE∩H{\ displaystyle N \ cap H}H{\ displaystyle H}f^:H/(IKKE∩H)→HIKKE/IKKE{\ displaystyle {\ widehat {f}}: H / (N \ cap H) \ til HN / N}

Konklusjonen til denne teoremet forblir sant hvis man bare antar at standard setter å inneholde (i stedet for å anta lik et heltall). IKKE{\ displaystyle N}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}

Tredje isomorfisats

Tredje isomorfisats  -  La være en gruppe og og to normale undergrupper av slike som er inkludert i . Da er en normal undergruppe av, og vi har følgende isomorfisme: G{\ displaystyle G}IKKE{\ displaystyle N}M{\ displaystyle M}G{\ displaystyle G}M{\ displaystyle M}IKKE{\ displaystyle N}IKKE/M{\ displaystyle N / M}G/M{\ displaystyle G / M}

(G/M)/(IKKE/M)≃G/IKKE.{\ displaystyle (G / M) / (N / M) \ simeq G / N.} Demonstrasjon

Morfisme G/M→G/IKKE, gM↦(gM)IKKE=g(MIKKE)=gIKKE{\ displaystyle G / M \ til G / N, ~ gM \ mapsto (gM) N = g (MN) = gN} er surjektiv og kjerne . IKKE/M{\ displaystyle N / M}

Se også

• Faktoriseringsteori
• Korrespondenssetning
• Lemma av Zassenhaus

Henvisning

Serge Lang , Algebra [ detalj av utgaver ] kapittel I, § 4

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">