Zsigmondys teorem

I nummer teori , Zsigmondy teorem , oppkalt etter Karl Zsigmondy (de) , fremgår det at hvis en > b > 0 er hele tall prim seg imellom , og deretter til et hvilket som helst heltall n ≥ 1, eksisterer det et primtall p (såkalt primitiv primdivisor ) hvilken dividerer en n - b n og ikke deler en k - b k for k < n , med følgende unntak:

n = 1 , a - b = 1 ; deretter, a n - b n = 1 som ikke har noen primordeler;
n = 2 , a + b en kraft på to ; deretter må en hvilken som helst odde primfaktor for a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a 1 - b 1 ) være inneholdt i en 1 - b 1 , som også er jevn;
n = 6 , a = 2 , b = 1 ; deretter, a 6 - b 6 = 63 = 3 2 × 7 = ( a 2 - b 2 ) 2 ( a 3 - b 3 ).

Dette generaliserer et Bang-setning, som sier at hvis n > 1 og n er forskjellig fra 6, så har 2 n - 1 en hoveddeler som ikke deler 2 k - 1 uten k < n .

På samme måte har a n + b n minst en primitiv primordeler, bortsett fra 2 3 + 1 3 = 9 .

Zsigmondys teorem er ofte nyttig, spesielt i gruppeteori , hvor det brukes til å vise at forskjellige grupper har forskjellige ordrer , bortsett fra når de er like.

Historie

Teoremet ble oppdaget av Zsigmondy, som jobbet i Wien fra 1894 til 1925.

Generaliseringer

La være en sekvens av heltall som ikke er null. Det sett av Zsigmondy forbundet med suite er innstilt ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) = \ {n \ geq 1 \ mid a_ {n} {\ text {has no primitive prime divisor}} \}}

det vil si settet med indekser slik at ethvert delende primtall også deler seg for en viss . Således innebærer den teorem som Zsigmondy , og den teoremet Carmichael (i) angir at alle Zsigmondy av Fibonacci er , og at resultatet av Pell 's . I 2001 har Bilu og Hanrot Voutier vist at hvis generelt er et resultat av Lucas eller et resultat av Lehmer (i) , da . $ikke$ $år$ $a_ {m}$ $m <n$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a ^ {n} -b ^ {n}) \ subset \ {1,2,6 \}}$ ${\ displaystyle \ {1,2,6,12 \}}$ $\ {1 \}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) \ delmengde \ venstre [1,30 \ høyre]}$

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Zsigmondys teorem " ( se listen over forfattere ) .

(in) Y. Bilu, G. Hanrot og PM Voutier, " Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers " , J. Queen angew. Matte. , vol. 539,2001, s. 75-122.

Se også

Bibliografi

(en) Graham Everest , Alf van der Poorten (en) , Igor Shparlinski og Thomas Ward , Recurrence-sekvenser , Providence (RI) , AMS , koll. "Mathematical Undersøkelser og Monographs" ( n o 104)2003( ISBN 0-8218-3387-1 , zbMATH 1033.11006 ) , s. 103-104
(en) Walter Feit , “ On Large Zsigmondy Primes ” , Proc. Bitter. Matte. Soc. , vol. 102, n o 1,1988, s. 29-36 ( DOI 10.2307 / 2046025 , JSTOR 2046025 )
(en) Moshe Roitman, “ On Zsigmondy Primes ” , Proc. Bitter. Matte. Soc. , vol. 125, n o 7,1997, s. 1913-1919 ( DOI 10.1090 / S0002-9939-97-03981-6 , JSTOR 2162291 )
(de) Th. Schmid, " Karl Zsigmondy " , Jahresber. DMV , vol. 36,1927, s. 167-168 ( les online )
(de) K. Zsigmondy, “ Zur Theorie der Potenzreste ” , Monatshefte für Mathematik , vol. 3, n o 1,1892, s. 265-284 ( DOI 10.1007 / BF01692444 )

Ekstern lenke

(no) Eric W. Weisstein , “ Zsigmondy Theorem ” , på MathWorld