Ultrametrisk avstand

I matematikk , og mer presist i topologi , er en ultrametrisk avstand en avstand d over et sett E som tilfredsstiller den ultratriangulære ulikheten:

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

Et metrisk rom hvis avstand tilfredsstiller denne egenskapen sies å være ultrametrisk .

Definisjon og eksempler

La E være et sett ; en ultrametrisk avstand (på E ) kalles et program som verifiserer følgende egenskaper: ${\ displaystyle d: \ mathrm {E} \ times \ mathrm {E} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$

Etternavn	Eiendom
symmetri	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = d (y, x)}$
atskillelse	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = 0 \ Lefttrightarrow x = y}$
ultratriangulær ulikhet	${\ displaystyle \ forall x, y, z \ in \ mathrm {E}, \ d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}$

Tatt i betraktning symmetrien, betyr den ultratriangulære ulikheten at i en trekant er lengden på hver side mindre enn eller lik den største av lengden på de andre to sidene (derfor til summen av disse to lengdene, som uttrykkes ved Jeg er trekantet ulikhet ).

Trivial avstand

Ethvert sett kan leveres med den såkalte trivielle eller diskrete avstanden definert av:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = y \\ 1 & {\ text {si}} x \ neq y \ end {cases}}}

Ulikhet

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

er sant om x er lik z eller ikke. Det er derfor en ultrametrisk avstand.

P -adisk avstand over settet ℚ

For et primtall p , kan vi definere p -adisk verdsettelse av et ikke-null rasjonelt tall r . ${\ displaystyle v_ {p} (r)}$

Vi beviser enkelt at dette programmet bekrefter

{\ displaystyle v_ {p} (r + r ') \ geq \ inf (v_ {p} (r), v_ {p} (r'))}

{\ displaystyle v_ {p} (- r) = v_ {p} (r).}

Deretter definerer vi p -adisk avstand på ℚ med:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = y \\ p ^ {- v_ {p} (xy)} & {\ text {si}} x \ neq y \ end {cases}}}

Den forrige egenskapen fører lett til ultrametrisk ulikhet. De to andre kontrollene er enkle. $v_p$

Det er derfor faktisk en ultrametrisk avstand på ℚ.

Andre eksempler

La X være en vilkårlig sett og E = X ℕ alle suiter med verdiene i X . Vi gir E en komplett ultrametrisk romstruktur ved å posere ${\ displaystyle k (x, y) = \ inf \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid x_ {n} \ neq y_ {n} \}}$ (med andre ord : og hvis , er rangen til det første begrepet der de to sekvensene er forskjellige), så ${\ displaystyle k (x, x) = + \ infty}$ $x \ ne y$ ${\ displaystyle k (x, y)}$ ${\ displaystyle d (x, y) = {\ frac {1} {1 + k (x, y)}}$ eller igjen, for en vilkårlig reell : ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ displaystyle d_ {a} (x, y) = a ^ {- k (x, y)}}$ ,som er en avstand jevnt ekvivalent til . $d$ For X = {0, 1} får vi Cantor-rommet og for X = ℕ, Baire-rommet .
I genetikk kan avstanden mellom genotyper langs grenene til et fylogenetisk tre måles med en ultrametrisk avstand.

Eiendommer

Her er noen egenskaper til et ultrametrisk rom, som ser ut til å gå imot intuisjonen.

Det er ingen kryssende baller , i den forstand at hvis to åpne baller (eller to lukkede baller ) har et punkt til felles, så inneholder den ene den andre: ${\ displaystyle B (a, r) \ cap B (a ', r') \ neq \ varnothing {\ text {et}} r \ leq r '\ Rightarrow B (a, r) \ subset B (a ', r')}$ .
Ethvert punkt på en ball er et senter: ${\ displaystyle \ forall x \ i B (a, r) \ quad B (x, r) = B (a, r)}$ .
I et metrisk rom er enhver åpen ball åpen , hvilken som helst lukket ball er stengt . I et ultrametrisk rom har vi også: Enhver lukket kule med ikke-null radius er åpen. Enhver åpen ball er stengt. Følgelig er en hvilken som helst ultra- metrizable topologiske plass er lik null dimensjon og derfor helt diskontinuerlig , det vil si at dens forbundne komponenter er de enkelts .
Gitt tre poeng er de to nærmeste i samme avstand fra det tredje, med andre ord: "hver trekant er likbenet og dens base er høyst lik de like sidene" , som også er skrevet: ${\ displaystyle d (x, y) \ neq d (y, z) \ Rightarrow d (x, z) = \ max (d (x, y), d (y, z))}$ .
For at en oppfølger skal være Cauchy , er det nok $(x_ {n})$ ${\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {n + 1}) \ til 0.}$

applikasjon

La X være et sett med en ultrametrisk avstand d , og la r være et positivt tall. Alle kulene med radius r definert for X er en partisjon av X . Ved å øke r fra 0, danner vi en finhetskjede mellom disse partisjonene, fra den fineste (diskrete partisjonen for r = 0 ) til den minste fine (universalpartisjonen for maksimum r ). Dette er en av grunnlagene for automatisk klassifisering etter hierarkisk gruppering .

Se også

Merknader og referanser

Denne forestillingen ble introdusert av Marc Krasner , " Semi-reelle tall og ultrametriske rom ", Ukentlig rapporter om øktene til Academy of Sciences , vol. 219, n o to1944, s. 433-435 ( les online ), Som rapporterer: "De eneste ultrametriske områdene som hittil er ansett ser ut til å være kroppen og algebraen verdsatt " .
Dyadic Models, Terence Tao , 27. juli 2007: https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/
Jean-Luc Verley, metriske mellomrom , i Dictionary of Mathematics; algebra, analyse, geometri , red. Albin Michel, s. 652-653 .
Korrigering av problem 1.b av Jean Dieudonné , Elements of analysis , t. I: Fundamenter for moderne analyse [ detalj av utgaver ], kap. III, § 14, oversikt over den engelske utgaven på Google Books .
Spesielt . ${\ displaystyle d (x, x) = {\ frac {1} {1+ \ infty}} = 0}$
Spesielt . ${\ displaystyle d (x, x) = a ^ {- \ infty} = 0}$
For demonstrasjon, se for eksempel denne korrigerte øvelsen på Wikiversity .
(in) Emil Artin , algebraiske tall og algebraiske funksjoner , AMS ,1967, 349 s. ( ISBN 978-0-8218-4075-7 , leses online ) , s. 44.
IC Lerman, Basene for automatisk klassifisering , Gauthier-Villars , 1970.