Ultrametrisk standard

I matematikk er en ultrametrisk norm , også kalt ikke-arkimedisk , en norm (på et K -vektorrom hvor K er et verdsatt felt , i den forstand: forsynt med en absolutt verdi som i seg selv er ultrametrisk) som tilfredsstiller en tilstand sterkere enn den trekantulikheten , nemlig:

{\ displaystyle \ | a + b \ | \ leq \ max (\ | a \ |, \ | b \ |).}

Denne tilstanden blir lett generalisert ved induksjon , for å bekrefte at normen for en sum økes med det maksimale av normene i vilkårene.

Denne sterkere tilstanden gjør et visst antall resultater som ikke er gyldige i det generelle rammeverket, spesielt:

den tilhørende avstanden er ultrametrisk, derfor :
- hvert poeng av en ball er i sentrum; ballene er både åpne og lukkede ; to baller er enten usammenhengende eller inkludert den ene i den andre;
- hver trekant er likbenet og dens base er høyst lik like sider;
${\ displaystyle \ | a \ | \ neq \ | b \ | \ Rightarrow \ | a + b \ | = \ max (\ | a \ |, \ | b \ |) ~;}$

Demonstrasjon

Siden trekanten $0, a , a + b$ er likbenet og har en base mindre enn eller lik de like sidene , har vi ${\ displaystyle d (0, a) \ neq d (a, a + b) \ Rightarrow d (0, a + b) = \ max (d (0, a), d (a, a + b)), }$ som, transkribert i form av standarder, er den tiltenkte implikasjonen.

i et komplett ultrametrisk rom konvergerer en serie hvis og bare hvis dens generelle betegnelse har en tendens til 0;
i ultrametrisk rom har enhetsballen en ringstruktur .

På ethvert legeme med en ultrametrisk absolutt verdi , sett på som et vektorrom på seg selv, er denne absolutte verdien en ultrametrisk standard.

Relatert artikkel

P-adic analyse