I kvantemekanikk er middelverdien , eller kvanteforventningen , gjennomsnittsverdien forutsagt for resultatet av et eksperiment. Det er et grunnleggende konsept for alle områder av kvantefysikk .
Kvantefysikk viser en grunnleggende statistisk atferd: resultatet av en eksperimentell måling vil generelt ikke være det samme hvis eksperimentet gjentas flere ganger. Det er bare det statistiske gjennomsnittet av verdiene målt i et stort antall repetisjoner av eksperimentet som er en reproduserbar mengde. Kvanteteori forutsier ikke resultatet av individuelle målinger, men bare deres statistiske gjennomsnitt. Dette spådde gjennomsnittet kalles middelverdien , eller noen ganger kvanteforventning .
Mens beregningen av gjennomsnittsverdien av eksperimentelle resultater er nøyaktig den samme som i klassisk statistikk , er dens matematiske representasjon i kvanteteoriens formalisme dypt forskjellig fra det klassiske målebegrepet .
I kvanteteori er en eksperimentell enhet beskrevet av det observerbare som skal måles, og tilstanden til systemet. Gjennomsnittsverdien av i staten er notert
Matematisk, er en hermitisk operatør på et Hilbert-rom . Ofte er det i kvantemekanikk en ren tilstand , beskrevet av en normalisert vektor av Hilbert-rommet. Gjennomsnittsverdien av i staten er definert som
(1) .
Hvis man tar i betraktning dynamikken , gjør man avhengig av tid enten vektoren eller operatoren i henhold til om man bruker representasjonen av Schrödinger eller Heisenberg . Men tidsavhengigheten av middelverdien avhenger ikke av dette valget.
Hvis har et komplett system med egenvektorer , med egenverdier , kan vi omformulere (1) i:
(2) .
Dette uttrykket ligner det aritmetiske gjennomsnittet og illustrerer den fysiske betydningen av matematisk formalisme: egenverdiene er de mulige resultatene av eksperimentet, og koeffisientene som påvirker dem er sannsynligheten for forekomst av disse resultatene; de blir ofte referert til som ormovergangssannsynligheter .
Et spesielt enkelt tilfelle er at hvor er en projektor , hvis egenverdier bare er 0 og 1 . Dette tilsvarer fysisk et ja- eller nei- eksperiment , og som resultatet kan det beregnes som
(3) .
I kvanteteori bruker vi også operatører hvis spektrum ikke er diskret, for eksempel posisjonsoperatøren i kvantemekanikk. Denne operatøren har ikke egenverdier, men har et helt kontinuerlig spekter . I dette tilfellet kan vektoren skrives som en kompleksverdig funksjon på spekteret av (vanligvis det reelle tallaksen). Gjennomsnittlig verdi av posisjonsoperatøren skrives deretter
(4) .
En lignende formel er gyldig for øyeblikksoperatøren , i systemer der den har et kontinuerlig spekter.
Alle formlene ovenfor er bare gyldige for rene tilstander . Spesielt innen termodynamikk er blandede tilstander viktige; er beskrevet av en operatør spor positiv såkalt statistisk operator eller matrise tetthet . Vi kan da få gjennomsnittsverdien i skjemaet
(5) .
Generelt blir kvantetilstander beskrevet av positive lineære funksjoner og normalisert over settet av observerbare, ofte beskrevet matematisk som en C * -algebra . Gjennomsnittsverdien av en observerbar er gitt av
(6) .
Hvis algebra av observerbare stoffer virker irredusierbart på et Hilbert-rom , og hvis er en normal funksjonell , dvs. kontinuerlig i ultra-lav topologi
med en positiv operatør av klasse spor spor 1 , da dette gir formel (5) ovenfor. I tilfelle av en ren tilstand, er en projektor på enhetsvektoren . Så , som gir formel (1) ovenfor.
antas å være en hermitisk operatør . Generelt sett vil spektrumet ikke være helt diskret eller helt kontinuerlig. Men vi kan fortsatt skrive for en spektral nedbrytning
med et mål på projektorverdien . For gjennomsnittsverdien av i ren tilstand
,som kan betraktes som en vanlig generalisering av formlene (2) og (4) ovenfor.
I ikke-relativistisk teori om et stort endelig antall partikler, (kvantemekanikk stricto sensu ), er tilstandene som er vurdert generelt normale. Men i andre felt innen kvanteteori brukes ikke-normale tilstander også: de vises for eksempel i form av KMS-tilstander i kvantestatisk mekanikk til uendelige medier, og som ladede tilstander i kvantefeltteori . I disse tilfellene bestemmes middelverdien bare av den mer generelle formelen (6) .
Vurder for eksempel en kvantepartikkel i et dimensjonalt rom, i representasjonen av konfigurasjonsrommet . Her er Hilbert-rommet , rommet til sumable kvadrat fungerer på den virkelige aksen. Vektorer er representert av funksjoner , som kalles “ bølgefunksjoner ”. Punktproduktet er gitt av . Bølgefunksjoner har en direkte tolkning når det gjelder sannsynlighetsfordelinger:
gir sannsynligheten for å finne partikkelen i et uendelig minimalt lengdeintervall rundt punktet .
La oss betrakte som observerbar posisjonsoperatøren , som virker på bølgefunksjonene av
.Kvanteforventningen, eller gjennomsnittsverdien, av over et stort antall identiske uavhengige systemer er gitt av
.Det skal bemerkes at gjennomsnittsverdien kun konvergerer hvis integralen konvergerer, noe som ikke er tilfelle for alle vektorene . Dette skyldes at posisjonsoperatøren er ubegrenset , og det er nødvendig å velge i definisjonsområdet .
Generelt kan gjennomsnittsverdien for alle observerbare beregnes ved å erstatte den med den aktuelle operatøren. For eksempel, for å beregne den midlere tid, ved hjelp av messig operatør punkt i den konfigurasjon plass , . Eksplisitt er denne middelverdien derfor
.Generelt har ikke alle operatører en gjennomsnittsverdi. En operatør som har en reell middelverdi kalles en observerbar , og dens verdi kan måles direkte eksperimentelt.
Gjennomsnittsverdien, spesielt aspektet presentert i seksjonen “ Kvantemekanikkens formalisme ”, presenteres i de fleste elementære lærebøker om kvantemekanikk.
For en diskusjon av konseptuelle aspekter, se f.eks.