Hovedverdien av Cauchy
I matematikk forbinder Cauchy-hovedverdien , såkalt til ære for Augustin Louis Cauchy , en verdi med visse upassende integraler som ellers ville forbli udefinert.
Definisjon
La c være en singularitet til en funksjon av en reell variabel f og anta at for a < c < b , følgende grense
limε→0∫påvs.-ϵf(x)dx+limη→0∫vs.+ηbf(x)dx=L{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {a} ^ {c- \ epsilon} f (x) \ mathrm {d} x + \ lim _ {\ eta \ to 0} \ int _ {c + \ eta} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = L}![\ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int_a ^ {c- \ epsilon} f (x) \ mathrm dx + \ lim _ {\ eta \ to 0} \ int_ {c + \ eta} ^ bf (x) \ mathrm dx = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f8c9a264424fd48aa46e5fc67af1027402a1f2)
eksisterer og er endelig. Så sier vi at feil integral f ( x ) over intervallet finnes, og dens verdi er definert av L .
Hvis ovennevnte grense ikke eksisterer, er det imidlertid mulig at den eksisterer når ε og η har en tendens mot null mens de forblir like , det vil si om grensen
limε→0(∫påvs.-εf(x)dx+∫vs.+εbf(x)dx)=L{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int _ {a} ^ {c- \ varepsilon} f (x) \ mathrm {d} x + \ int _ {c + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x \ right) = L}![\ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int_a ^ {c- \ varepsilon} f (x) \ mathrm dx + \ int_ {c + \ varepsilon} ^ bf (x) \ mathrm dx \ right) = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44d4d6685b6fbd45049dc4bc46362ff44040ab9)
eksisterer og er endelig. I dette tilfellet kaller man grensen L den viktigste verdien av Cauchy av den feilaktige integralen det man skriver:
v.s.∫påbf(x)dx=L{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = L}![{\ mathrm {vp}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ mathrm d} x = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b890f9e99e9009143d5b732b0c6d13c6482023bc)
Definisjonen strekker seg som følger i tilfelle med n singulariteter :
på<x1,...,xikke<b{\ displaystyle a <x_ {1}, ..., x_ {n} <b}![a <x_ {1}, ..., x_ {n} <b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa574b6398eb3ce1ff87cb514c5f5cbe0ebef147)
hvis for ε> 0 integralene eksisterer og er endelige og grensen
∫påx1-εf(x)dx,...,∫xikke+εbf(x)dx{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x_ {1} - \ varepsilon} f (x) \ mathrm {d} x, \ ldots, \ int _ {x_ {n} + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x}![\ int_ {a} ^ {x_1- \ varepsilon} f (x) \ mathrm dx, \ ldots, \ int_ {x_n + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm dx](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7625f88907104424973da57b35ff0b607e199b)
limε→0(∫påx1-εf(x)dx+⋯+∫xikke+εbf(x)dx)=L{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int _ {a} ^ {x_ {1} - \ varepsilon} f (x) \ mathrm {d} x + \ dots + \ int _ { x_ {n} + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x \ right) = L}![\ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int_a ^ {x_1- \ varepsilon} f (x) \ mathrm dx + \ dots + \ int_ {x_n + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm dx \ right) = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75151d381d40d4d6c781c805063691f684b63618)
eksisterer, oppstår: .
v.s.∫påbf(x)dx=L{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = L}![{\ mathrm {vp}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ mathrm d} x = L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b890f9e99e9009143d5b732b0c6d13c6482023bc)
Eksempler
Strømfunksjon
La funksjonen f definert av illustrert i figur 1 motsatt, vi har:
f(x)=x-3{\ displaystyle f (x) = x ^ {- 3}}![{\ displaystyle f (x) = x ^ {- 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087e8371bd1eab2f4aefcd8d25d0fbfcddd25b26)
limε→0∫-∞-εdxx3+limη→0∫η+∞dxx3=limε→0-12ε2+limη→012η2{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {3}} + \ lim _ {\ eta \ til 0} \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {3}} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {- 1 \ over 2 \ varepsilon ^ {2}} + \ lim _ {\ eta \ til 0} {1 \ over 2 \ eta ^ {2}}}![\ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ mathrm dx \ over x ^ 3} + \ lim _ {\ eta \ to 0} \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} {\ mathrm dx \ over x ^ 3} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {-1 \ over 2 \ varepsilon ^ 2} + \ lim _ {\ eta \ to 0 } {1 \ over 2 \ eta ^ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a70a58f905190816ce811783d8c547a123e8536)
Denne grensen eksisterer ikke når ε og η har en tendens til å nullstilles uavhengig. På den annen side, ved å sette ε = η, eksisterer grensen og er lik null. Vi har derfor:
v.s.∫-∞+∞dxx3=0{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {3}} = 0}![{\ mathrm {vp}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} {{\ mathrm d} x \ over x ^ {3}} = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8c5f5d7d14fd0c5f799da901e06bf82860c889)
Dette tilsvarer intuisjon siden funksjonen er merkelig og at vi integrerer over et symmetrisk intervall.
Integrert logaritme
Den integrerte logaritmefunksjonen spiller en stor rolle i analytisk tallteori . Det er definert av
lJeg(x)=∫0xdtln(t).{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}}.}![{\ mathrm {li}} (x) = \ int _ {{0}} ^ {{x}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {\ ln (t)}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b54b34a822cca3345f67547e4326c861986eb24)
Denne notasjonen er fornærmende, vi må virkelig se denne definisjonen for x > 1 som hovedverdien av Cauchy:
lJeg(x)=limε→0(∫01-εdtln(t)+∫1+εxdtln(t)).{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} {\ frac {\ mathrm {d} t} { \ ln (t)}} + \ int _ {1+ \ varepsilon} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}} \ right).}![{\ mathrm {li}} (x) = \ lim _ {{\ varepsilon \ to 0}} \ left (\ int _ {{0}} ^ {{1- \ varepsilon}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {\ ln (t)}} + \ int _ {{1+ \ varepsilon}} ^ {{x}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {\ ln (t )}} \ Ikke sant).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ca5d0f0fbfee92d36b6d25e81394a6eeefb73e)
Kobling med distribusjonsteori
La settet av glatte funksjoner med kompakt støtte av ormer . Vi kan da definere en applikasjon
VSvs.∞(R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
v.s.(1x):VSvs.∞(R)→VS{\ displaystyle \ operatorname {vp} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \,: {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R }) \ to \ mathbb {C}}![\ operatorname {vp} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \,: {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ) \ til {\ mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad18e679417d8953167d79e4956aea06c6faf9cd)
som for eksempel
v.s.(1x)(f)=limε→0+(∫-∞-εf(x)xdx+∫ε∞f(x)xdx) for alle f∈VSvs.∞(R){\ displaystyle \ operatorname {vp} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ frac {f (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} {\ frac {f (x)} { x}} \, \ mathrm {d} x \ right) \ quad {\ text {for all}} f \ i {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R })}![{\ displaystyle \ operatorname {vp} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ frac {f (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} {\ frac {f (x)} { x}} \, \ mathrm {d} x \ right) \ quad {\ text {for all}} f \ i {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9c2e2ca0b639e680254e4d3cf4932728dfb205)
Dette kartet er veldefinert og er en fordeling av ordre 1.
Mer generelt kan man definere hovedverdien til et stort antall integrerte operatører med enestående kjerne. La være en funksjon som innrømmer en singularitet ved 0, men fortsetter . I noen tilfeller er følgende funksjon godt definert, og det er en fordeling.
K:R→VS{\ displaystyle K: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}
R-{0}{\ displaystyle \ mathbb {R} - \ {0 \}}![{\ mathbb {R}} - \ {0 \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb32bc9a623e719607174610cc8db958062df85)
v.s.(K)(f)=limε→0+(∫-∞-εf(x)K(x)dx+∫ε∞f(x)K(x)dx) for alle f∈VSvs.∞(R){\ displaystyle \ operatorname {vp} (K) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} f (x) K (x ) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} f (x) K (x) \, \ mathrm {d} x \ right) \ quad {\ text {for all} } f \ in {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}![\ operatorname {vp} (K) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0+} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} f (x) K (x) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} f (x) K (x) \, \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ text {for all} f \ in \ matematisk {C} _c ^ \ infty (\ mathbb {R})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2dc8fe2bb5361449c8777a135ededfc95cd1ab5)
Andre notasjoner
I litteraturen blir hovedverdien av Cauchy noen ganger også bemerket:
P∫f(x)dx,PV∫f(x)dx,VP∫f(x)dx,∫∗f(x)dx,∫ f(x)dx{\ displaystyle P \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, PV \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, VP \ int f (x) \, \ mathrm {d} x , \ int ^ {*} f (x) \, \ mathrm {d} x, \ int \! \! \! \! \! \! \! \! {\ frac {} {\ \ \}} f (x ) \, \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle P \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, PV \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, VP \ int f (x) \, \ mathrm {d} x , \ int ^ {*} f (x) \, \ mathrm {d} x, \ int \! \! \! \! \! \! \! \! {\ frac {} {\ \ \}} f (x ) \, \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3025c21704e4de30ba5ceb41642b6bd9b256020)
hvor PV står for den engelske hovedverdien .
Referanser
-
(in) King, Frederick W. , Hilbert Transforms. Volum 1. , Cambridge University Press ,2009( ISBN 978-0-511-72145-8 , 0511721455 og 9780521887625 , OCLC 776965734 , les online ) , s. 14
Se også
Referanser
-
(en) ET Copson , En introduksjon til funksjonsteorien til en kompleks variabel , Oxford University Press , 1955 ( ISBN 978-0-198-53145-6 )
-
Murray R. Spiegel (en) , Complex Variables , McGraw-Hill , 1991 ( ISBN 978-2-7042-0020-7 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">