Tilfeldig vektor

En tilfeldig vektor kalles også en flerdimensjonal tilfeldig variabel .

Definisjon

En tilfeldig vektor er en n- dimensjonal generalisering av en reell tilfeldig variabel . Mens en reell tilfeldig variabel er en funksjon som samsvarer med et reelt tall til hver beredskap, er den tilfeldige vektoren en X- funksjon som samsvarer med en vektor på : $\ mathbb {R} ^ {n}$

X: \ omega \ mapsto X (\ omega) = (X_ {1} (\ omega), X_ {2} (\ omega), \ prikker, X_ {n} (\ omega))

hvor $ω$ er det generiske elementet i $Ω$ , rommet til alle mulige muligheter.

Applikasjoner $X 1 , ..., X n$ er vilkårlige variabler som kalles komponenter fra en slump vektoren X . Vi betegner deretter med $X = ( X 1 , ..., X n )$ .

Et kart $X$ av (definert på $Ω$ ), med verdier i rommet utstyrt med den borelianske stammen av , er en tilfeldig vektor hvis den er målbar. $(\ Omega, \ mathcal {F})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Distribusjonsfunksjon

La være en tilfeldig vektor. Distribusjonsfunksjonen er definert som følger: $X = (X_ {1}, \ prikker, X_ {n})$ $F: \ R ^ n \ til \ R$

F (x_ {1}, \ prikker, x_ {n}) = \ mathbb {P} ((X_ {1} \ leq x_ {1}) \ cap \ cdots \ cap (X_ {n} \ leq x_ {n }))

Uavhengighet av tilfeldige vektorer

Definisjon

To tilfeldige vektorer er uavhengige hvis og bare hvis sannsynligheten for at disse vektorene tar en gitt verdi er lik produktet av sannsynlighetene for at hver vektor tar en gitt verdi. Dessuten hvis kovariansen til de to vektorene er null.

Eksempel

La være et sannsynliggjort rom. Vi setter tre tilfeldige vektorer. $(\ Omega, \ mathcal {T}, \ mathbb {P})$

{\ displaystyle X (\ Omega) = \ {x_ {1}, ..., x_ {p} \}, \, Y (\ Omega) = \ {y_ {1}, ..., y_ {q} \}, \, Z (\ Omega) = \ {z_ {1}, ..., z_ {r} \}.}

Ved deres uavhengighet har vi:

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = x_ {i}, Y = y_ {j}, Z = z_ {k}) = \ mathbb {P} (X = x_ {i}) \ cdot \ mathbb {P } (Y = y_ {j}) \ cdot \ mathbb {P} (Z = z_ {k}), \ \ forall i \ i [\! [1; p] \!], J \ i [\! [ 1; q] \!], K \ i [\! [1; r] \!].}

Gaussisk vektor

Definisjon

En tilfeldig vektor av dimensjon $n$ er en Gaussisk vektor hvis en lineær kombinasjon av komponentene er en Gaussisk variabel .

Definisjon - La $X = ( X 1 , ..., X n ) være$ en tilfeldig vektor. $X$ er Gaussisk hvis og bare hvis den tilfeldige variabelen for en hvilken som helst sekvens $( a 1 , ..., a n )$ av reelle tall

Z = a_ {1} X_ {1} + a_ {2} X_ {2} + \ cdots + a_ {n} X_ {n}

er en gaussisk variabel .

Eiendommer

La være en Gaussisk vektor med verdier i . Vi betegner sin forventning og dens kovariansmatrise . Enten og . Da er den tilfeldige vektoren Gaussisk, forventningen er og dens kovariansmatrise . ${\ displaystyle \ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle m \}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ displaystyle A \ i M_ {n, p} (\ mathbb {R}) \}$ ${\ displaystyle \ displaystyle b \ \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle AX + b}$ ${\ displaystyle \ displaystyle Am + b}$ ${\ displaystyle \ displaystyle A \ Sigma A ^ {T}}$
Gitt en Gaussisk vektor , følger hver av komponentene en Gaussisk lov, for for alt kan vi skrive :, hvor er Kronecker-symbolet . ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ displaystyle \ displaystyle i \ i [\! [1, n] \!]}$ ${\ displaystyle X_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ delta _ {ij} X_ {j}}$ $\ delta_ {ij}$
På den annen side er det omvendte falsk: hvis og er uavhengige tilfeldige variabler for respektive reduserte sentrerte Gaussiske og Rademacher lover , innrømmer som atom og følger derfor ikke en Gaussisk lov. Imidlertid, og følg en redusert sentrert gaussisk lov. $X$ $\ varepsilon$ ${\ displaystyle X + \ varepsilon X}$ ${\ displaystyle 0}$ $X$ ${\ displaystyle \ varepsilon X}$
La være en familie av uavhengige gaussiske reelle tilfeldige variabler . Da er den tilfeldige vektoren Gaussisk. ${\ displaystyle \ displaystyle (X_ {i}) _ {1 \ leqslant i \ leqslant n}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle (X_ {1}, ..., X_ {n})}$

Konstruksjon av en Gaussisk vektor fra dens kovariansematrise

Det er bemerkelsesverdig at en hvilken som helst positiv bestemt matrise er kovariansematrisen til en Gaussisk vektor. Videre kan man bestemme en enkelt Gaussisk vektor fra denne matrisen og fra en reell vektor (tilsvarende vektoren til middelene til den Gaussiske vektoren).

Eiendom - La $Γ være$ en positiv bestemt reell matrise av størrelse $d \times d$ , og $μ$ en vektor av størrelse $d$ .

Det er en unik Gauss-vektor $X = ( X 1 , ..., X n )$ der $Γ$ er kovariansmatrisen og $μ$ er gjennomsnittsvektoren.

{\ displaystyle \ Gamma = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {Var} (X_ {1}) & \ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {2}) & ... & \ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {n}) \\\ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {2}) & ... & ... & \\ ... &&& \\\ mathrm {Cov } (X_ {1}, X_ {n}) & ... & ... & \ mathrm {Var} (X_ {n}) \\\ end {pmatrix}} {\ text {and}} \ mu = {\ begin {pmatrix} \ mathbb {E} (X_ {1}) \\\ mathbb {E} (X_ {2}) \\ ... \\\ mathbb {E} (X_ {n}) \ end {pmatrix}}}

Vi betegner den Gaussiske vektoren assosiert med $μ$ og $Γ$ . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

I tillegg kan vi beregne tettheten til denne Gaussiske vektoren.

Eiendom - Enten . Dens tetthet $f$ $X$ $($ $u$ $) blir$ uttrykt (med og $d$ dimensjon $X$ ): ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ cfrac {1} {\ sqrt {(2 \ pi) ^ {d} \ mathrm {det} (\ Gamma _ {X})}}} \ exp \ left (- {\ dfrac {1} {2}} (x- \ mu) ^ {t} \ Gamma ^ {- 1} (x- \ mu) \ høyre)}

Til slutt kan vi merke oss dette forholdet mellom $X$ Gaussian-vektor og en vektor med uavhengige reduserte sentrerte normalfordelinger :

Eiendom - Enten . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

{\ displaystyle X = AZ + \ mu}

med $en$ kvadratrotmatrise av $Γ$ , $μ-$ vektor av middel og $Z$ tilfeldig vektor hvis komponenter er uavhengige og følger en normalfordeling ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$

Karakteristisk funksjon

Vi kan beregne den karakteristiske funksjonen til en Gaussisk vektor:

Eiendom - Enten . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

Dens karakteristiske funksjon $Φ X ( u )$ uttrykkes (med ): ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle \ Phi _ {X} (u) = \ exp \ left (iu ^ {t} \ mu - {\ frac {1} {2}} u ^ {t} \ Gamma u \ right)}

Spesielt kan egenskapene til en Gaussisk vektor leses direkte på Fourier-transformasjonen. Faktisk, hvis er en Gaussisk vektor med karakteristisk funksjon definert av: ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$

{\ displaystyle \ forall (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ Phi _ {X} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) = \ exp \ left (i \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu _ {i} - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n } \ Gamma _ {i, j} x_ {i} x_ {j} \ høyre)}

Deretter blir middelvektoren gitt av og dens kovariansmatrise av . ${\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}$ ${\ displaystyle \ Gamma = (\ Gamma _ {ij}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}$

Merknader og referanser

Gaussiske vektorer, forberedelse til aggregering Bordeaux 1, Jean-Jacques Ruch

Bibliografi

Patrick Bogaert, Sannsynligheter for forskere og ingeniører, De Boeck University, 2006, Brussel
Alain Combrouze , Probabilities1, Presses Universitaires de France, 1996, Paris
Yves Ducel, Introduksjon til matematisk teori om sannsynlighet, Ellipses, 1998, ( ISBN 2-7298-9820-4 )
Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Korrigerte øvelser i sannsynlighetsteori, Ellipses, 1996, ( ISBN 2-7298-4688-3 )

Interne lenker

Eksterne linker