Poynting Vector
Poynting Vector
Kryssprodukt av det elektriske feltet V ved magnetfeltet B.
I fysikk , den Poynting vektor er den fluks tetthet knyttet til forplantning av elektromagnetiske bølger . Dens retning er forplantningsretningen. Legg merke til , , eller .
Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}
S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}
R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}
IKKE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}![{\ vec {N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e01cc1cec4201098af497311170ea68412c6b7)
Fluxen til Poynting-vektoren gjennom en overflate (lukket eller ikke) er lik kraften som bølgen bærer gjennom denne overflaten. Den modulus av denne vektor er således et energien per enhet område , det vil si en tetthet flyt av energi ; den er homogen med en energisk belysning og en energisk exitance ; og i det internasjonale systemet (SI) av enheter , uttrykkes det i watt per kvadratmeter .
Generelt uttrykk for Poynting-vektoren
La og være det elektriske feltet og magnetfeltet . Bevaringen av elektromagnetisk energi over en overflate uttrykkes i sin lokale form (ofte kalt Poyntings teorem ) som en bevaringsligning :
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}![{\ vec {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ae7d80cab55b606de217162280b2279142bbb4)
∂e(t)∂t+∇→⋅Π→(t)=s(t){\ displaystyle {\ frac {\ partial e (t)} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ Pi}} (t) = s (t)}![{\ displaystyle {\ frac {\ partial e (t)} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ Pi}} (t) = s (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531aa5fcd23b801535a1ff2b9e2f4df433530888)
med tiden, volumets energitetthet til det elektromagnetiske feltet, strømmen som går ut av overflatenergi, og begrepet kilde: volumtettheten til oppnådd eller tapt energi .
t{\ displaystyle t}
e{\ displaystyle e}
Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}
s{\ displaystyle s}
s>0{\ displaystyle s> 0}![s> 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76beea94b6662bd490c61c0628dddd8a8cd35538)
Fra Maxwells ligninger i vakuum avleder vi uttrykket for Poynting-vektoren i vakuum:
Π→(t)=E→(t)∧B→(t)μ0{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ frac {{\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {B}} (t)} {\ mu _ {0}} }}![{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ frac {{\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {B}} (t)} {\ mu _ {0}} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a27a21662a4f39c1e6eda3e319b72cea79f7af)
hvor μ 0 er vakuumets permeabilitet .
I et lineært materiale med magnetisk permeabilitet μ og hvor man kan neglisjere spredningen og tapene, anbefales det å ta hensyn til magnetisk eksitasjon definert av forholdet . Vi får da et mer generelt uttrykk for Poynting-vektoren:
H→(t){\ displaystyle {\ vec {H}} (t)}
B→(t)=μH→(t){\ displaystyle {\ vec {B}} (t) = \ mu \, {\ vec {H}} (t)}![{\ displaystyle {\ vec {B}} (t) = \ mu \, {\ vec {H}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db60173292e9aeb64f0b8feb71f11cd1c22f8de5)
Π→(t)=E→(t)∧H→(t){\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {H}} (t)}![{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {H}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3655e3550bc1d6e531626fe343e530febcb254)
.
I et lossy dispersivt lineært medium beholdes ekspresjonen av Poynting-vektoren , men Poynting-teoremet uttrykkes ikke lenger med og inkluderer ytterligere dissipasjonsbetingelser.
Π→=E→∧H→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} = {\ vec {E}} \ wedge {\ vec {H}}}
e{\ displaystyle e}![e](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
Tidsgjennomsnitt i kompleks notasjon
I tilfelle av en harmonisk progressiv plan elektromagnetisk bølge , har vi
E→=E→0cos(ωt-φ){\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ varphi)}}![{\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ varphi)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9aa1dc4b5ef05ab018c6ab20fc686f930e32de3)
og
B→=B→0cos(ωt-ψ){\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {B}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ psi)}}![{\ vec B} = {\ vec B} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ psi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd4069c0ff0562373f61f316157831b929fe192)
Man kan altså assosiere komplekse mengder med feltene og ved å posere (med det komplekse antallet som ):
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}
Jeg{\ displaystyle i}
Jeg2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}![i ^ {2} = - 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e98a401d352e5037d5043028e2d7f449e83fa6)
E→_=E→_0eJegωt=E→0e-JegφeJegωt{\ displaystyle {\ understreket {\ vec {E}}} = {\ understrek {\ vec {E}}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {E }} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ varphi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}![{\ displaystyle {\ understreket {\ vec {E}}} = {\ understrek {\ vec {E}}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {E }} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ varphi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c543feb8f866259f4069d43a7f6e657ec116bcd6)
og
B→_=B→_0eJegωt=B→0e-JegψeJegωt{\ displaystyle {\ understreket {\ vec {B}}} = {\ understrek {\ vec {B}}} _ {0} \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {B}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ psi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}![{\ displaystyle {\ understreket {\ vec {B}}} = {\ understrek {\ vec {B}}} _ {0} \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {B}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ psi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759907316c2dd39552529d940ac46ac4b722c8d9)
.
Det timelige gjennomsnittet av Poynting-vektoren er da verdt:
⟨Π→⟩=12μ0Re(E→_∧B→_⋆){\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle = {\ frac {1} {2 \, \ mu _ {0}}} \; {\ text {Re}} \ left ({\ understreket { \ vec {E}}} \ wedge {\ understreket {\ vec {B}}} ^ {\ star} \ right)}![{\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle = {\ frac {1} {2 \, \ mu _ {0}}} \; {\ text {Re}} \ left ({\ understreket { \ vec {E}}} \ wedge {\ understreket {\ vec {B}}} ^ {\ star} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c85afb243a95b8397c30773ee8832bb3a356104)
hvor betegner konjugatet avB→_⋆{\ displaystyle {\ understreke {\ vec {B}}} ^ {\ star}}
B→_{\ displaystyle {\ understreket {\ vec {B}}}}
Kobling til energitilnærmingen til stråleforplantning
Det tidsmessige gjennomsnittet av Poynting-fluksen er relatert til luminansen til en stråle som forplanter seg i retningen . Denne luminansen er gitt av:
L(Ω){\ displaystyle L (\ Omega)}
Ω0=Π→||Π→||{\ displaystyle \ Omega _ {0} = {\ frac {\ vec {\ Pi}} {|| {\ vec {\ Pi}} ||}}}![{\ displaystyle \ Omega _ {0} = {\ frac {\ vec {\ Pi}} {|| {\ vec {\ Pi}} ||}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44a5f7f044c27b855db6d14a7b4d4ce7ad06463)
L(Ω)=⟨Π→⟩δ(Ω-Ω0){\ displaystyle L (\ Omega) = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle \ delta (\ Omega - \ Omega _ {0})}![{\ displaystyle L (\ Omega) = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle \ delta (\ Omega - \ Omega _ {0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1e596d620f8e5a9af54712147bd7cd403a55a6)
hvor er Dirac-funksjonen .
δ{\ displaystyle \ delta}![\ delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
Vi kontrollerer at den første øyeblikk av som representerer flukstettheten finner Poynting flux:
L(Ω){\ displaystyle L (\ Omega)}
f→{\ displaystyle {\ vec {f}}}![\ vec f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c36da6dad4ad8949b0f84bbaf0b5cb6d811fe5)
f→=∫S2ΩL(Ω)dΩ=⟨Π→⟩{\ displaystyle {\ vec {f}} = \ int _ {S ^ {2}} \ Omega L (\ Omega) \ mathrm {d} \ Omega = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle}![{\ displaystyle {\ vec {f}} = \ int _ {S ^ {2}} \ Omega L (\ Omega) \ mathrm {d} \ Omega = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96405ac5377055ac7d966b6968e44c525d9b80a2)
Elektromagnetisk kraft som går gjennom en overflate
En konsekvens av Poyntings teorem er at den elektromagnetiske kraften som passerer gjennom en overflate S er gitt av strømmen av Poynting-vektoren gjennom denne overflaten.
PS=∬SΠ→⋅dS→{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {S} = \ iint _ {S} {\ vec {\ Pi}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}![{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {S} = \ iint _ {S} {\ vec {\ Pi}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c09f25b736c676b3270d05afe8ee48faf5988fc)
Energi ligning av et elektromagnetisk felt
La energien til det elektromagnetiske feltet være:
Uem{\ displaystyle U_ {em}}![U _ {{em}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7214b2e847d1af666e81a52bb6fbf05d771a2a0f)
Uem=∭VWemdτ{\ displaystyle U_ {em} = \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau}
med W energivolumtetthet (mengde energi per volumsenhet)
Vi definerer mengden energi som etterlater et volum en stund :
V{\ displaystyle V}
dt{\ displaystyle \ mathrm {d} t}![\ mathrm {d} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588a981eb3c6f32c01153f8710a7f70029b5e553)
-dUemdt=-ddt∭VWemdτ=-∭V∂Wem∂tdτ{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} U_ {em}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau = - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} \ mathrm {d} \ tau}![- {\ frac {{\ mathrm d} U _ {{em}}} {{\ mathrm d} t}} = - {\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} t}} \ iiint _ {{V}} W _ {{em}} {\ mathrm d} \ tau = - \ iiint _ {{V}} {\ frac {\ partial W _ {{em}}} {\ partial t }} {\ mathrm d} \ tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76466e32f89b20c5ca740105b1bcd9c7516f0499)
La , være feltets energiflytningsvektor. I følge Green-Ostrogradsky-teoremet ( flow-divergence theorem ) kan vi si at strømmen som forlater volumet V er:
P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}![{\ vec P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765f1dd50e122eb3e565c9bfee85de8f74d47f27)
∬ΣP→⋅ikke→ dσ{\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma} {\ vec {P}} \ cdot {\ vec {n}} \ \ mathrm {d} \ sigma}
med en enhetsvektor normal til overflaten av volumet V, orientert fra innsiden til utsiden.
ikke→{\ displaystyle {\ vec {n}}}
Σ{\ displaystyle \ Sigma}![\ Sigma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e)
Volumets energitap kan forklares som følger:
- tap på grunn av "friksjon" av mobilbelastning (se lokal Ohm-lov, Joule-effekt);
- tap på grunn av elektromagnetisk stråling som går ut av volumet.
Vi kan derfor si at:
-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} \ mathrm {d} \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau}
+ arbeid levert av feltet til materialet
La oss beregne dette arbeidet:
F→e´levs.trJegque=q(E→+v→∧B→){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ rm {{\ acute {e}} elektrisk}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B }})}
.
For en partikkel:
dW→=F→⋅dr→=qE→⋅dr→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {W}} = {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = q {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}
(det observeres lett at magnetkraften ikke fungerer).
La oss gå videre til kraften som leveres av feltet. Effekten mottatt av en partikkel er:
F→⋅v→=qE→⋅v→{\ displaystyle {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} = q \, {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}}
Partikkeltettheten er notert , derfor:
IKKE{\ displaystyle N}![IKKE](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
∂WElevs.trJegque∂t=IKKEqE→⋅v→{\ displaystyle {\ frac {\ partial W_ {Electric}} {\ partial t}} = Nq {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}}
gull IKKEqv→=j→{\ displaystyle Nq {\ vec {v}} = {\ vec {j}}}
derfor ∂WElevs.trJegque∂t=j→⋅E→{\ displaystyle {\ frac {\ partial W_ {Electric}} {\ partial t}} = {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}
Dette tapet av kraft er lik tapet av energi i feltet per tidsenhet og volum, så vi endelig skriver:
-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ+∭Vj→⋅E→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} d \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau + \ iiint _ {V} {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} \ mathrm {d} \ tau}
Så endelig har vi:
-∂Wem∂t=∇→⋅P→+j→⋅E→{\ displaystyle - {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {j}} \ cdot { \ vec {E}}}
elektromagnetisk feltenergi ligning
Merknader og referanser
-
Dubesset 2000 , sv watt per kvadratmeter, s. 124.
-
Dubesset 2000 , sv irradiance, s. 60.
-
Dubesset 2000 , sv energy exitance, s. 64.
-
Dubesset 2000 , sv- vektor av Poynting, s. 121.
-
(in) John David Jackson, Klassisk elektrodynamikk 3. utgave , John Wiley & Sons ,1999, side 259
-
Klassisk elektrodynamikk 3. utgave, JD Jackson, side 264 (side 275-277 i den franske utgaven)
Se også
Bibliografi
-
[Poynting 1884] (en) John Henry Poynting , " Om overføring av energi i det elektromagnetiske feltet " , Philos. Trans. R. Soc. , vol. 175,Des. 1884, kunst. n o XV , s. 343-361 ( OCLC 6067266495 , DOI 10.1098 / rstl.1884.0016 , JSTOR 109449 , Bibcode 1884RSPT..175..343P , sammendrag , les online
[PDF] ) - kunst. mottatt den17. des 1883 og les den 10. jan 1884.
-
[Dubesset 2000] Michel Dubesset ( pref. Av Gérard Grau), manualen til det internasjonale systemet for enheter: leksikon og konvertering , Paris, Technip, koll. "Publikasjoner fra det franske petroleumsinstituttet ",Sep 2000, 1 st ed. , 1 vol. , XX -169 s. , syk. , fig. og tabl. , 15 × 22 cm , br. ( ISBN 2-7108-0762-9 , EAN 9782710807629 , OCLC 300462332 , varsel BnF n o FRBNF37624276 , SUDOC 052448177 , online presentasjon , les online ) , sv vector de Poynting, s. 121.
Relaterte artikler
Eksterne linker