Mason-Weaver-ligning
Den Mason-Weaver ligning er en ligning som beskriver sedimentering og diffusjon av oppløste stoffer under påvirkning av en jevn kraft , typisk et gravitasjonsfelt .
Matematisk uttrykk
Forutsatt at tyngdekraften er et felt orientert i z- retning , kan Mason-Weaver-ligningen skrives
∂vs.∂t=D∂2vs.∂z2+sg∂vs.∂z{\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial t}} = D {\ frac {\ partial ^ {2} c} {\ partial z ^ {2}}} + sg {\ frac {\ partial c } {\ partial z}}}hvor t er tiden, c er den lineære konsentrasjonen av det oppløste stoff (mol pr lengdeenhet i z- retningen ), og parametrene D , s og g representerer respektivt diffusjonskoeffisienten for den oppløste substans , den sedimentasjonskoeffesienter og akselerasjonen av tyngdekraften (antatt konstant).
Mason-Weaver-ligningen er fullført av grensebetingelser . Hvis cellen antas å være rektangulær og justert til et kartesisk koordinatsystem; vi har
D∂vs.∂z+sgvs.=0{\ displaystyle D {\ frac {\ partial c} {\ partial z}} + sgc = 0}øverst og nederst i cellen betegnet henholdsvis z a og z b . Disse grenseforholdene tilsvarer det faktum at det er fysisk umulig for en løsemiddel å passere gjennom veggene i cellen, og at strømmen derfor må være null der. Likeledes må strømmen på sideveggene være null. Følgelig den totale mengden oppløste stoffer inneholdt i cellen
IKKEtidlig=∫zbzpådz vs.(z,t){\ displaystyle N _ {\ text {tot}} = \ int _ {z_ {b}} ^ {z_ {a}} dz \ c (z, t)}holdes, altså .
dIKKEtidlig/dt=0{\ displaystyle dN _ {\ text {tot}} / dt = 0}
Å skaffe Mason-Weaver-ligningen
Sedimentasjonshastighet
Kraften som utøves på en partikkel i en ukomprimerbar væske er gitt av Basset - Boussinesq - Oseen-ligningen :
msdVdt=-3πμdsV⏟dra (Stokes)-mf2dVdt⏟lagt til masse-32ds2πρfμ∫-∞t1t-τdVdτdτ⏟Basset-kraft+(ms-mf)g⏟Archimedes stakk{\ displaystyle m_ {p} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = - \ underbrace {3 \ pi \ mu d_ {p} \ mathbf {V} } _ {\ text {drag (Stokes)}} - \ underbrace {{\ frac {m_ {f}} {2}} \, {\ frac {{\ text {d}} \ mathbf {V}} {{ \ tekst {d}} t}}} _ {\ text {lagt til masse}} - \ underligger {{\ frac {3} {2}} d_ {p} ^ {2} {\ sqrt {\ pi \ rho _ {f} \ mu}} \ int _ {- \ infty} ^ {t} {\ frac {1} {\ sqrt {t- \ tau}}} \, {\ frac {{\ text {d}} \ mathbf {V}} {{\ text {d}} \ tau}} \, {\ text {d}} \ tau} _ {\ text {Basset force}} + \ underbrace {(m_ {p} -m_ { f}) \ mathbf {g}} _ {\ text {Archimedean thrust}}}med
ds{\ displaystyle d_ {p}} |
partikkeldiameter,
|
mf=ρfρsms{\ displaystyle m_ {f} = {\ frac {\ rho _ {f}} {\ rho _ {p}}} m_ {p}} |
masse væske fortrengt,
|
ρf,ρs{\ displaystyle \ rho _ {f}, \ rho _ {p}} |
væske og partikkeltetthet, henholdsvis
|
μ{\ displaystyle \ mu} |
væskens dynamiske viskositet ,
|
g{\ displaystyle \ mathbf {g}} |
akselerasjonsfeltet som mediet blir utsatt for.
|
Her er den karakteristiske tiden det tar for partikkelen å nå sin grensehastighet gitt av likevekten til kreftene som utøves på den, veldig lav (typisk 10 ns for molekylære oppløste stoffer). Vi vil derfor anta at denne likevekten til enhver tid er sann. Vi trekker ut fartsgrensen ved å gjøre :
dVdt=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = 0}
Vl=ms-mf3πμdsg{\ displaystyle \ mathbf {V} _ {l} = {\ frac {m_ {p} -m_ {f}} {3 \ pi \ mu d_ {p}}} \ mathbf {g}}Sedimentasjonskoeffisienten er definert av:
s=Vlg{\ displaystyle s = {\ frac {V_ {l}} {g}}}Den strømning er gitt ved:
J=-D∇vs.-Vlvs.=-D∇vs.-svs.g{\ displaystyle \ mathbf {J} = -D \ nabla c- \ mathbf {V} _ {l} \, c = -D \ nabla cs \, c \, \ mathbf {g}}Det første uttrykket beskriver strømningen på grunn av diffusjon av materiale under påvirkning av en konsentrasjon -gradient , mens det andre leddet beskriver den konvektive strømning på grunn av den gjennomsnittlige hastigheten av partiklene.
Vl{\ displaystyle V_ {l}}
Bevaringsligning
Vi kan definere en bevaringslov for en omfattende variabel som drives med hastighet og inkluderer en volumproduksjonstid ved:
ϕ{\ displaystyle \ phi}V{\ displaystyle \ mathbf {V}}S{\ displaystyle S}
∂ϕ∂t+∇⋅(ϕV)=S{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ phi \ mathbf {V}) = S}I vårt tilfelle , og .
ϕ=vs.{\ displaystyle \ phi = c}V=Jvs.{\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {\ mathbf {J}} {c}}}S=0{\ displaystyle S = 0}
Ved å erstatte strømmen med uttrykket, får vi Mason-Weaver-ligningen:
∂vs.∂t=D∇2vs.+s∇⋅(vs.g){\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial t}} = D \ nabla ^ {2} c + s \ nabla \ cdot (\ mathbf {c \, g})}La, i en dimensjon av rommet z justert med g antatt konstant:
∂vs.∂t=D∂2vs.∂z2+sg∂vs.∂z{\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial t}} = D {\ frac {\ partial ^ {2} c} {\ partial z ^ {2}}} + s \, g {\ frac { \ delvis c} {\ delvis z}}}
Den dimensjonsløse Mason-Weaver-ligningen
Parametrene D , s og g bestemmer en karakteristisk lengdez0{\ displaystyle z_ {0}}
z0 =def Dsg{\ displaystyle z_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {D} {sg}}}og en karakteristisk tid t0{\ displaystyle t_ {0}}
t0 =def Ds2g2{\ displaystyle t_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {D} {s ^ {2} g ^ {2}}}}Ved å definere dimensjonsløse størrelser og blir Mason-Weaver-ligningen:
ζ =def z/z0{\ displaystyle \ zeta \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ z / z_ {0}}τ =def t/t0{\ displaystyle \ tau \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ t / t_ {0}}
∂vs.∂τ=∂2vs.∂ζ2+∂vs.∂ζ{\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial \ tau}} = {\ frac {\ partial ^ {2} c} {\ partial \ zeta ^ {2}}} + {\ frac {\ partial c } {\ partial \ zeta}}}underlagt grensevilkår
∂vs.∂ζ+vs.=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial \ zeta}} + c = 0}øverst og nederst i cellen, henholdsvis og
.
ζpå{\ displaystyle \ zeta _ {a}}ζb{\ displaystyle \ zeta _ {b}}
Løsning av Mason-Weaver-ligningen
Denne delvise differensiallikningen kan løses ved en variabel separasjonsmetode . Ved å posere oppnår vi to vanlige differensiallikninger koblet med en konstantvs.(ζ,τ) =def e-ζ/2T(τ)P(ζ){\ displaystyle c (\ zeta, \ tau) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ e ^ {- \ zeta / 2} T (\ tau) P (\ zeta)}β{\ displaystyle \ beta}
dTdτ+βT=0{\ displaystyle {\ frac {dT} {d \ tau}} + \ beta T = 0}d2Pdζ2+[β-14]P=0{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} P} {d \ zeta ^ {2}}} + \ left [\ beta - {\ frac {1} {4}} \ right] P = 0}der de mulige verdiene av er definert av grensebetingelsene
β{\ displaystyle \ beta}
dPdζ+12P=0{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ zeta}} + {\ frac {1} {2}} P = 0}ved den øvre og nedre grenser og hhv. Siden ligningen i T innrømmer løsningene hvor er en konstant, reduseres løsningen av ligningen til Mason-Weaver til å finne funksjonen .
ζpå{\ displaystyle \ zeta _ {a}}ζb{\ displaystyle \ zeta _ {b}}T(τ)=T0e-βτ{\ displaystyle T (\ tau) = T_ {0} e ^ {- \ beta \ tau}}T0{\ displaystyle T_ {0}}P(ζ){\ displaystyle P (\ zeta)}
De ordinære differensiallikningene for P og dets betingelser tilfredsstiller kriteriene i Sturm-Liouville-teorien, noe som fører til flere konklusjoner. Først og fremst eksisterer det et ortonormalt sett med egenfunksjoner som er en løsning av differensiallikningene og tilfredsstiller grensebetingelsene. Videre er de tilsvarende egenverdiene reelle, begrenset dårligere av egenverdien og øker asymptotisk som der det naturlige tallet k er rangeringen av egenfunksjonen. I det nåværende tilfellet er den minste egenverdien null, tilsvarende likevekten. Til slutt danner egenfunksjonene et komplett sett ; hvilken som helst løsning for kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av egenfunksjonene
Pk(ζ){\ displaystyle P_ {k} (\ zeta)}βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}β0{\ displaystyle \ beta _ {0}}k2{\ displaystyle k ^ {2}}vs.(ζ,τ){\ displaystyle c (\ zeta, \ tau)}
vs.(ζ,τ)=∑k=0∞vs.kPk(ζ)e-βkτ{\ displaystyle c (\ zeta, \ tau) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {k} P_ {k} (\ zeta) e ^ {- \ beta _ {k} \ tau} }hvor er konstante koeffisienter bestemt fra den opprinnelige fordelingenvs.k{\ displaystyle c_ {k}}vs.(ζ,τ=0){\ displaystyle c (\ zeta, \ tau = 0)}
vs.k=∫ζpåζbdζ vs.(ζ,τ=0)eζ/2Pk(ζ){\ displaystyle c_ {k} = \ int _ {\ zeta _ {a}} ^ {\ zeta _ {b}} d \ zeta \ c (\ zeta, \ tau = 0) e ^ {\ zeta / 2} P_ {k} (\ zeta)}Ved likevekt per definisjon og likevektskonsentrasjonsfordelingen er:
β=0{\ displaystyle \ beta = 0}
e-ζ/2P0(ζ)=Be-ζ=Be-mbgz/kBT{\ displaystyle e ^ {- \ zeta / 2} P_ {0} (\ zeta) = Be ^ {- \ zeta} = Be ^ {- m_ {b} gz / k_ {B} T}}som er enig i Boltzmann-distribusjonen .
Funksjonene er løsninger av differensiallikninger og tilfredsstiller grensebetingelsene for alle verdier av (som kan verifiseres ved substitusjon), og konstanten B kan bestemmes ut fra den totale mengden løsemiddel .
P0(ζ){\ displaystyle P_ {0} (\ zeta)}ζ{\ displaystyle \ zeta}
B=IKKEtot(sgD)(1e-ζb-e-ζpå){\ displaystyle B = N_ {tot} \ left ({\ frac {sg} {D}} \ right) \ left ({\ frac {1} {e ^ {- \ zeta _ {b}} - e ^ { - \ zeta _ {a}}}} høyre)}For å finne egenverdiene utenfor likevekt , går vi frem som følger. Ligningen i P har form av en enkel harmonisk oscillator av løsninger hvor
βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}P(ζ)=eJegωkζ{\ displaystyle P (\ zeta) = e ^ {i \ omega _ {k} \ zeta}}
ωk=±βk-14{\ displaystyle \ omega _ {k} = \ pm {\ sqrt {\ beta _ {k} - {\ frac {1} {4}}}}}Avhengig av verdien av , er det enten rent ( ) eller rent imaginært ( ). Bare en ren imaginær løsning kan tilfredsstille grensebetingelsene, det vil si løsningen i likevekt. Derfor skrives egenfunksjonene utenfor likevekt
βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}ωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}βk≥14{\ displaystyle \ beta _ {k} \ geq {\ frac {1} {4}}}βk<14{\ displaystyle \ beta _ {k} <{\ frac {1} {4}}}
P(ζ)=PÅcosωkζ+Bsyndωkζ{\ displaystyle P (\ zeta) = A \ cos {\ omega _ {k} \ zeta} + B \ sin {\ omega _ {k} \ zeta}}der A og B er konstanter og er en strengt positiv reell.
ω{\ displaystyle \ omega}
Ved å introdusere oscillatoramplituden og fasen som nye variabler,
ρ{\ displaystyle \ rho} ϕ{\ displaystyle \ phi}
u =def ρsynd(ϕ) =def P{\ displaystyle u \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho \ sin (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ P}v =def ρcos(ϕ) =def -1ω(dPdζ){\ displaystyle v \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho \ cos (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - {\ frac {1 } {\ omega}} \ left ({\ frac {dP} {d \ zeta}} \ right)}ρ =def u2+v2{\ displaystyle \ rho \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ u ^ {2} + v ^ {2}}solbrun(ϕ) =def v/u{\ displaystyle \ tan (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ v / u}den kvadratiske ligningen i P er fakturert i to ligninger av første grad
dρdζ=0{\ displaystyle {\ frac {d \ rho} {d \ zeta}} = 0}dϕdζ=ω{\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {d \ zeta}} = \ omega}Bemerkelsesverdig er at de oppnådde grensebetingelsene er uavhengige av så vel som av ekstreme punkter ogρ{\ displaystyle \ rho}ζpå{\ displaystyle \ zeta _ {a}}ζb{\ displaystyle \ zeta _ {b}}
solbrun(ϕpå)=solbrun(ϕb)=12ωk{\ displaystyle \ tan (\ phi _ {a}) = \ tan (\ phi _ {b}) = {\ frac {1} {2 \ omega _ {k}}}}Derfor får vi ligningen
ϕpå-ϕb+kπ=kπ=∫ζbζpådζ dϕdζ=ωk(ζpå-ζb){\ displaystyle \ phi _ {a} - \ phi _ {b} + k \ pi = k \ pi = \ int _ {\ zeta _ {b}} ^ {\ zeta _ {a}} d \ zeta \ { \ frac {d \ phi} {d \ zeta}} = \ omega _ {k} (\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b})}gir en nøyaktig løsning for frekvensene ωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}
ωk=kπζpå-ζb{\ displaystyle \ omega _ {k} = {\ frac {k \ pi} {\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b}}}}De naturlige frekvensene er positive siden og består av et sett med overtoner og den grunnleggende frekvensen . Endelig kan egenverdiene hentes fraωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}ζpå>ζb{\ displaystyle \ zeta _ {a}> \ zeta _ {b}}ω1 =def π/(ζpå-ζb){\ displaystyle \ omega _ {1} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ pi / (\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b})}βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}ωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}
βk=ωk2+14{\ displaystyle \ beta _ {k} = \ omega _ {k} ^ {2} + {\ frac {1} {4}}}Til sammen tilsvarer komponentene i ikke-likevektsoppløsningen en Fourier-serie spaltning av den opprinnelige konsentrasjonsfordelingen vektet av . Hver Fourier-komponent avtar så uavhengig som hvor er gitt ovenfor når det gjelder Fourier-seriefrekvensen .
vs.(ζ,τ=0){\ displaystyle c (\ zeta, \ tau = 0)}eζ/2{\ displaystyle e ^ {\ zeta / 2}}e-βkτ{\ displaystyle e ^ {- \ beta _ {k} \ tau}}βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}ωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}
Merknader og referanser
Referanser
-
(in) Max Mason og Warren Weaver , " The Settling of Small Particles in a Fluid " , Physical Review , vol. 23,1924, s. 412–426
-
(i) Martin R. Maxey og James J. Riley, " Equation of motion of a small rigid sfhere in a non-uniform flow " , Physics of Fluids A , vol. 26,1983, s. 883-889
Merknader
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">