Ulike forestillinger om avstandsekvivalens brukes i topologien , en gren av matematikken angående studiet av romlige deformasjoner ved kontinuerlige transformasjoner (uten å rive eller lime på strukturer).
Gitt et topologisk rom metrizable ( X , T ), kan man finne ulike avstander som definerer den samme topologien T . For eksempel kan den vanlige topologien til be defineres av avstanden d : ( x , y ) ↦ | x - y |, men også av d / (1 + d ), eller et hvilket som helst multiplum av d av en strengt positiv reell. Det er derfor nødvendig å spesifisere "ekvivalenser" mellom slike avstander.
To avstander d 1 og d 2 på samme sett X blir sagt:
Alle disse forholdene mellom avstandene er ekvivalensforhold .
Følgende eksempel gjør det mulig å markere ikke-ekvivalensen til de forskjellige forestillingene om ekvivalenser beskrevet ovenfor: vi kan gi ℝ de fire avstandene:
; ; ; .
Vi verifiserer deretter at avstandene d 1 og d 2 er topologisk ekvivalente, men ikke er like ekvivalente (selv om de har de samme Cauchy-sekvensene ), at avstandene d 1 og d 3 er jevnt like, men ikke er bornologisk ekvivalente, så at avstandene d 3 og d 4 er bornologisk ekvivalente, men er ikke Lipschitz-ekvivalente.