Logaritmisk skala

En logaritmisk skala er et graderingssystem i geometrisk progresjon . Hvert trinn multipliserer verdien med en positiv konstant . Derfor er posisjonen på aksen til en verdi proporsjonal med logaritmen .

En logaritmisk skala er spesielt egnet for regnskapsføring av størrelsesordener i applikasjoner. Det viser et stort utvalg av verdier i et lite rom, forutsatt at de ikke er null og har samme tegn.

Logaritmiske skalaer brukes enten til å utføre analoge beregninger eller for å presentere resultater på grafer .

Definisjon

Den logaritmiske skalaen plasserer verdier på den eksponentielt voksende aksen . Poeng atskilt med samme avstand representerer verdier i samme rapport.

Den logaritmiske skalaen er bare definert for strengt positive verdier.

Sammenligning av en lineær skala og en logaritmisk skala

Illustrasjonen over viser de to typer skalaer:

Med den lineære skalaen er to graderinger med forskjellen 10 på en konstant avstand.
Med den logaritmiske skalaen er to graderinger med forholdet 10 på konstant avstand.

På den logaritmiske skalaen blir store tall komprimert, flyttet nærmere 1 og lett representert, mens tall mindre enn 1 utvides og veldig raskt returneres til negativ uendelig.

Logaritmiske enheter

Noen ganger bruker vi logaritmiske enheter, det vil si at verdien er logaritmen til forholdet mellom to verdier av en størrelse. Det valgte logaritmiske grunnlaget avhenger av disiplinens vaner som bruker dem:

den naturlige logaritmen , hvis base er null , muliggjør bestemte beregninger og blir evaluert mer direkte takket være Taylor-serien , men tillater ikke intuitiv tilgang til desimalstørrelsen. Den neper er den naturlige logaritmen av forholdet mellom to krefter.
desimallogaritme (base 10) gir direkte en forestilling om størrelsesorden, siden karakteristikken , det vil si tegnet og delen før kommaet, gir den direkte. Dens lesbarhet gjør den nyttig innen mange teknologiområder , om enn i modifisert form. Den brukes i statistikk , og definerer pH i kjemi .
Den decibel , som vanligvis brukes i telekommunikasjon , elektronikk og akustikk er definert som 10 ganger desimaltegnet logaritmen av forholdet mellom to krefter; men hvis de tabellene av logaritmer og senere, lommekalkulatorer hadde ikke gitt enklere tilgang til desimal logaritmen, ville vi si med rigor at desibel er grunnlaget logaritmen 10 0.1 (eller ca 1,26) av forholdet mellom to krefter. Det er faktisk til denne multiplikatoren at en desibel tilsvarer.
base 2 logaritmen brukes i databehandling , med biter og i musikk , med oktaver .
På samme måte er halvtonen til den tempererte skalaen i musikk, som er den tolvte delen av en oktav, basalogaritmen 2 1 ÷ 12 (eller ca. 1,06) av frekvensen .

En lineær skala som er uteksaminert i en logaritmisk enhet, tilsvarer en logaritmisk skala, sett fra mengden som er vurdert.

Bruk

Den regnestaven utnytter egenskapene til logaritmisk skala for å gi multiplikasjon.

Grafene i semi-logaritmisk ramme brukes til å vise utviklingen av størrelser som den ene har en lineær evolusjon (generelt, den uavhengige variabelen på x-aksen), og den andre en eksponentiell evolusjon.

Eksempel: prisutvikling:

I økonomi er verdiene til internasjonale valutaer , aksjer , råvarer og andre handelsprodukter, underlagt prisvekst , innskrevet i en logaritmisk skala på y-aksen, mens tiden er innskrevet i y-aksen. Lineær på x -akser.

Eksempel: Frekvensrespons:

I elektronikk er frekvensresponsen til et system, og spesielt et filter , generelt representert på et semi-logaritmisk diagram, med en logaritmisk skala for frekvensene på abscissen og en lineær skala på ordinataksen, gradert i desibel , relativt til spenningen som oppnås ved en bestemt frekvens (for eksempel 1000 Hz ).

Siden desibel er en logaritmisk enhet, sett fra synspunktet til elektrisk spenning eller spenningsforhold , er skalaen også logaritmisk, som tillater, i Bode-diagrammet , asymptotiske plott, i rette linjer.

Grafene i logaritmisk merke på begge akser er egnet for størrelser inkludert både den uavhengige variabelen, da den avhengige variabelen kan ta ekstremt forskjellige verdier. Når den ene er proporsjonal med høyden til den andre til en kraft , tegner grafen en linje hvis skråning er proporsjonal med eksponenten.

Stigekonstruksjon

Vi kjenner minimum x min og maksimum x max verdier som må representeres, og lengden l på skalaen mellom disse to verdiene.

Lengden l tilsvarer en multiplikasjon med r = x max ÷ x min .

Punktet plassert i midten har samme avstand på x min og x maks . Verdien som tilsvarer midtpunktet er det geometriske gjennomsnittet av ekstreme verdier . ${\ sqrt {x _ {{min}} \ ganger x _ {{max}}}}$

I stedet for å beregne dette trinn for trinn, bruker vi den grunnleggende egenskapen til logaritmer:

logg ( a × b ) = logg ( a ) + logg ( b )

Vi kan beregne forholdet mellom verdier takket være den eksponensielle funksjonen , som er den gjensidige funksjonen til den logaritmiske funksjonen.

For å skalere aksen etter dine behov, kan du beregne forholdet mellom verdi per lengdeenhet på aksen. Logaritmen til progresjonen per lengdenhetstall oppnås ved en enkel inndeling: log ( r ) ÷ l og verdien av progresjonen er r 1 / l .

På denne måten, hvis vi deler avstanden l i n like segmenter, er forholdet mellom verdier som tilsvarer hvert segment r 1 / n . Den totale lengden, som tilsvarer forskjellen mellom x min og x max , tilsvarer altså godt en multiplikasjon med r , mens lengden på hvert segment tilsvarer en multiplikasjon med samme størrelse.

Punkter med like mellomrom betegner verdier i geometrisk progresjon .

Eksempel på konstruksjon av en logaritmisk skala:

Minimumsverdi: 0,1
Maksimal verdi: 100
relativ avvik: r = 100 ÷ 0,1 = 1000
akselengde: 600 piksler

Vi vil at multipler på 10 skal angis. For 1000-forholdet er det tre multiplikasjoner med 10, tilsvarende tre moduler på 600 ÷ 3 = 200 piksler.

Innenfor disse modulene vil vi indikere plasseringen til hver verdi, fra 2 til 9.

Multiplikasjonen med 2 tilsvarer avstanden mellom 0,1 og 0,2, 1 og 2, 10 og 20. Den tilsvarende lengden oppnås ved en regel på tre på logaritmer:, som gir 60,2 piksler. ${\ displaystyle {\ frac {600 \ times \ log (2)} {\ log (1000)}}}$
Likeledes gir multiplikasjonen med 3 95,4 piksler mellom 0,1 og 0,3, 1 og 3 og 10 og 30. Vi må åpenbart avrunde. ${\ displaystyle {\ frac {600 \ times \ log (3)} {\ log (1000)}}}$
Multiplene deres oppnås enkelt: avstanden mellom 1 og 4 er to multiplikasjoner med to, derfor 120,4 piksler; mellom 1 og 8, det av tre multiplikasjoner med to, det vil si 180,6; mellom 1 og 6 den av en multiplikasjon med tre og av en multiplikasjon med to, det vil si 95,4 + 60,2 = 155,6 piksler; og mellom 1 og 9, den av to multiplikasjoner med 3 eller 190,8 piksler.
Gradering 5 oppnås enkelt: siden to ganger fem er ti, er lengden fra 0,5 til 1, fra 5 til 10, fra 50 til 100, 60,2 piksler (vi kan derfor merke oss at multiplikasjonen med 5 tilsvarer en lengde på 200 - 60,2 = 139,8 piksler).
Det gjenstår bare de 7 som skal plasseres, etter den samme prosedyren for tre regel på logaritmene.
Lengden på disse segmentene er gyldig for multiplikasjoner, og også for divisjoner.
En forskyvning av en piksel til høyre tilsvarer en økning i exp (log (1000) ÷ 600) ≈ 1.0115795

Hver av modulene er gjengitt tre ganger, formen er uforanderlig, bare legenden om poengene endres.

Merk: Basen på logaritmen der beregningene utføres, er irrelevant.

Konstruksjon uten kalkulator

2 multiplisert ti ganger med seg selv gir 1024. Det er derfor, til nærmeste 2%, ti ganger lengden på segmentet som tilsvarer multiplikasjonen med 2 mellom de to endene av skalaen fra 0,1 til 100, og derfor måler dette segmentet 600 ÷ 10 ≈ 60 piksler. Med denne lengden kan vi plassere 2, 4, 5 og 8 som vist ovenfor.
7 × 7 er 49, eller 50 til 2%. Lengden for 100 er to moduler på 200 piksler, dvs. 400 piksler, vi trekker lengden for 2 siden det er nødvendig å dele verdien med to, resten 339,8; og verdien for 7 er halvparten, eller 169,9, som er avrundet til 169 siden 7 × 7 er litt mindre enn 50.
3 × 3 er 9. Vi vet lengden som tilsvarer 8, 3 × 60,2 = 180,6 piksler, som tilsvarer 10, 200 piksler, lengden som tilsvarer 9 er mellom de to, (180,6 + 200) ÷ 2 = 190,3; den som tilsvarer 3 er halvparten, som er avrundet til 95.

Når en bestemt verdi tas som referanse (for eksempel 1), kalles avstanden fra et punkt som representerer et tall til den som representerer den verdien, den logaritmiske koordinaten .

Se også

Relaterte artikler

Eksterne linker

Aix-en-Provence Planetarium : Logaritmer
(no) Blank papir med halvlogg