Assosiativ algebra

I matematikk er en assosiativ algebra (på en kommutativ ring A ) en av de algebraiske strukturene som brukes i generell algebra . Det er en ring (eller ganske enkelt en pseudo-ring ) B utstyrt med en tilleggsstruktur av modul på A og slik at multiplikasjonsloven til ring B er A - bilinær . Det er derfor et spesielt tilfelle av algebra over en ring .

Formell definisjon

La A være en kommutativ ring. Vi sier at ( B , +,., ×) er en assosiativ A- algebra når:

( B , + ,. ) Er en A- modul,
( B , +, ×) er en pseudo-ring ,
${\ displaystyle \ forall \ lambda \ i A, ~ \ forall x, y \ i B, \ qquad \ lambda \ cdot (x \ times y) = x \ times (\ lambda \ cdot y) = (\ lambda \ cdot x) \ ganger y ~.}$

Elementene i A kalles skalarer .

I det spesielle tilfellet der ringen A er et felt, snakker vi da om assosiativ algebra over et felt .

Vi snakker om enhetlig (eller enhetlig) algebra når B har en nøytral for multiplikasjon.

Eksempler

Enhver ring ( M , +, ×) (og til og med hvilken som helst pseudo-ring) er også en assosiativ-algebra for den eksterne loven definert av: for ethvert heltall og ethvert element av M , $\ mathbb {Z}$ $ikke$ $x$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ text {si}} n> 0 {\ text {then}} & n \ cdot x = \ underbrace {x + x + \ ldots + x} _ { n \ \ mathrm {times}} ~, \\ {\ text {si}} n <0 {\ text {then}} & n \ cdot x = \ underbrace {-xx- \ ldots -x} _ {| n | \ \ mathrm {times}} ~, \\ {\ text {si}} n = 0 {\ text {then}} & n \ cdot x = 0 ~. \ end {matrix}} \ right.}$
Hver ring er en assosiativ algebra i sentrum , derfor på hver underring A i dette sentrum.
La A være en kommutativ ring.
- Den algebra av en monoid L spissen A er en assosiativ og uniferous A -algebra. Dette er et spesielt tilfelle av forrige eksempel. (Hvis monoid L er , er denne algebraen for polynomer i k ubestemt over A. ) ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, +) ^ {k}}$
- Settet med endomorfismer av et A- modul er en assosiativ A- algebra.

Tilsvarende definisjon

Det er en ekvivalent definisjon når algebra B er ensformig:

La A være en kommutativ ring, B ring, og en morphism av ringene slik at f ( A ) i midten av B . Vi kan da definere en ekstern lov som gir B en struktur av A- assosiativ (og enhetlig) algebra. ${\ displaystyle f \ ,: \, A \ til B}$ ${\ displaystyle (a, b) \ mapsto f (a) b}$

Omvendt, hvis B er en assosiativ og enhetlig A- algebra, er en ringmorfisme slik at ${\ displaystyle f \ ,: \, a \ mapsto a.1_ {B}}$

{\ displaystyle (a.1_ {B}) \ times x = 1_ {B} \ times (ax) = (ax) \ times 1_ {B} = x \ times (a.1_ {B}) ~ {\ text {so}} ~ f (a) \ ganger x = x \ ganger f (a) ~;}

Bilde A er inneholdt i sentrum av B .

Se også

Vurdering og referanse

Definisjon brukt for eksempel i Serge Lang , Algebra [ detalj av utgaver ]